精品解析：福建省龙岩市第二中学2024-2025学年高二上学期9月开学质量检测（第一次月考）数学试题

龙岩二中2024~2025学年第一学期高二开学质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知在等比数列中，，则的值是（ ） A. 4 B. -4 C. D. 16 2. 已知是递增数列，则通项公式可能为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列，其前项和，则（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 64 4. 在数列中，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列是公差不为0的等差数列，且，，为等比数列的连续三项，则的值为 A. B. 4 C. 2 D. 6. 在正项等比数列中，为其前项和，若，则的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 7. 已知等差数列的前项和为，且，，则当取得最大值时，（ ） A. 37 B. 36 C. 18 D. 19 8. 高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ） A. 2023 B. 4046 C. 2022 D. 4044 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 该数列为递增数列 D. 10. 已知数列满足是的前项和，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等差数列 C. 若，则为等差数列 D. 若，则 11. 已知正项数列满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的值有3种情况 C. 若数列满足，则 D. 若为奇数，则（） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是公比为等比数列，若，则______. 13. 已知数列通项公式为，记数列的前项和为，则______. 14. 已知数列的各项都是正数，，若数列为严格增数列，则首项的取值范围是______，当时，记，若，则整数______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列，是等比数列，且. （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的通项公式. 17. 已知等差数列的前n项和为，且. （1）求； （2）求数列的前n项和. 18. 已知数列满足，. （1）求证：数列等比数列； （2）设求的前n项和. 19. 如果数列满足：且 则称为n阶“归化”数列. （1）若某3阶“归化”数列是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项； （2）若某11阶“归化”数列是等差数列，求该数列的通项公式； （3）若为n阶“归化”数列，求证 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙岩二中2024~2025学年第一学期高二开学质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知在等比数列中，，则的值是（ ） A. 4 B. -4 C. D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质计算出答案, 【详解】由题意得，解得. 故选：C 2. 已知是递增数列，则的通项公式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例可判断A，B；将化简为，判断增减性，判断C；判断的增减性，判断D. 【详解】对于A，，，A不合题意； 对于B，，则， 即，B不合题意； 对于C，，当n增大时，减小，则增大， 符合题意，C正确； 对于D，随着n的增大而减小，不合题意，D错误， 故选：C 3. 已知等差数列，其前项和为，则（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，求得，再由，即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，且， 由等差数列的性质，可得，所以， 又由. 故选：B 4. 在数列中，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知递推式求出，可得数列是以3为周期的周期数列，然后利用周期可求得结果. 【详解】因为，， 所以，， ，， 所以数列是以3为周期的周期数列， 所以， 故选：A 5. 已知数列是公差不为0的等差数列，且，，为等比数列的连续三项，则的值为 A B. 4 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：数列{an}是公差d不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，可得=a1•a7，化简可得a1与d的关系．可得公比q=．即可得出=． 详解：数列{an}是公差d不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项， ∴=a1•a7，可得=a1（a1+6d），化为：a1=2d≠0． ∴公比q====2． 则==． 故选A． 点睛：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6. 在正项等比数列中，为其前项和，若，则的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】由可求出，再由等比数列前项和的性质可求出的值. 详解】由，得， 因为数列为等比数列，所以成等比数列， 所以， 所以，整理得，, 解得或， 因为等比数列的各项为正数，所以， 所以， 故选：D 7. 已知等差数列的前项和为，且，，则当取得最大值时，（ ） A. 37 B. 36 C. 18 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质与前项和公式推得，，从而得解. 【详解】因为， ， 所以，，从而当时，取得最大值． 故选：C. 8. 高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ） A. 2023 B. 4046 C. 2022 D. 4044 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒序相加法，结合等比数列的下标性质进行求解即可. 【详解】根据等比数列的下标性质由， ∵函数，∴， 令，则， ∴，∴． 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 该数列为递增数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据首项可得，再逐个选项判断即可. 【详解】对AB，由，得，故，故A正确，B错误； 对C，得该数列为递增数列，故C正确； 对D，，则，故D正确. 故选：ACD 10. 已知数列满足是的前项和，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等差数列 C. 若，则为等差数列 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】确定，求和得到A正确，确定得到B正确，计算，时不成立，C错误，确定数列通项公式，再利用错位相减法求和得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：当，则，所以，正确； 对选项B：已知，当时，， 当时，，则，故， （时也成立），所以为等差数列，正确； 对选项C：已知，当时，， 当时，，则，， （时不成立），所以不是等差数列，不正确； 对选项D：已知，当时，， 当时，，则，， （时不成立，所以， 当时，， 当时，， ， ， 所以时也成立，正确. 故选：ABD 11. 已知正项数列满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的值有3种情况 C. 若数列满足，则 D. 若为奇数，则（） 【答案】BD 【解析】 【分析】由数列的递推式结合分类讨论，计算可得正确结论． 【详解】正项数列满足， 可得，则，，，，，，，， 故数列从第4项起，周期为3，故，故A错误； 若，当为偶数时，，当为奇数时，； 当为偶数时，，或26，当为奇数时，，故B正确； 设，则， 若则，得，即，经检验符合题意，故C错误； 若为奇数，当为偶数时，， 当为奇数时，，即为偶数，矛盾，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是公比为的等比数列，若，则______. 【答案】25 【解析】 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】因为 所以 故答案为：25 13. 已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，则______. 【答案】52 【解析】 【分析】先确定的正负，再分和求出的表达式，代入计算即可； 【详解】令， 所以当时，，当时，， 所以，当时，； 当时， ， 所以， 故答案为：52. 14. 已知数列的各项都是正数，，若数列为严格增数列，则首项的取值范围是______，当时，记，若，则整数______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先由题给条件求得，再利用即可求得；先利用裂项相消法求得，再列不等式组，即可求得整数的值. 【详解】正项数列，为严格增数列， 则，则，解之得 又，则，则 由，可得 由可得 ，则，则 又当时，，则 由可得，， 又，则， 解之得，则整数 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列，是等比数列，且. （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式和等比数列通项公式基本量运算求解即可； （2）结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【小问1详解】 设数列的公差为，数列的公比为， 由，所以，求得，所以； 由，得，所以，所以. 【小问2详解】 因为， 所以 . 16. 已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的通项公式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系即可求解； （2）由累加法即可求解. 【小问1详解】 因为点都在函数， 所以 当时，， 当时，，时，也满足此式. 所以 【小问2详解】 由（1）可得， 由 所以 当时，，满足此式； 所以 17. 已知等差数列的前n项和为，且. （1）求； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系求通项公式即可； （2）裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 由① 所以当时，② ①②得：，整理得：， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以. 18. 已知数列满足，. （1）求证：数列等比数列； （2）设求的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推关系化简可得，从而可得结论； （2）由（1）可知，，则，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可求的前n项和. 【小问1详解】 因为，所以，即， 又因为，所以，， 所以，故数列是以首项为3，公比为3的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可知，，即， 所以. 所以，① ，② 由①－②，得， 所以. 故的前项和为. 19. 如果数列满足：且 则称为n阶“归化”数列. （1）若某3阶“归化”数列是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项； （2）若某11阶“归化”数列是等差数列，求该数列的通项公式； （3）若为n阶“归化”数列，求证 【答案】（1） （2）答案见解析. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设成公差为r的等差数列，显然，由得到，由得到，得到答案； （2）设公差为，根据等差数列求和公式得到，当，和，求出首项和公差，得到通项公式； （3）设为中所有大于0的数，为中所有小于0的数，故，，所以. 【小问1详解】 设成公差为r的等差数列，显然， 则由得， 由得，解得， 数列为所求3阶“归化”数列. 【小问2详解】 设等差数列的公差为， 因为，所以，所以，即. 当时，此时， 与归化数列的条件相矛盾. 当时，由， 故，又， 联立解得， 所以 当时，由，，同理解得， 所以. 综上，当， 【小问3详解】 由已知可得：必有 也必有（，）， 设为中所有大于0的数，为中所有小于0的数， 由已知得，， 所以. 【点睛】数列不等式问题，常常需要进行放缩，放缩后变形为等差数列或等比数列，在结合公式进行证明，又或者放缩后可使用裂项相消法进行求和，常常使用作差法和数学归纳法，技巧性较强. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$