第１章　勾股定理　综合练习　2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第１章　勾股定理　综合练习　2024—2025学年北师大版数学八年级上册 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列各数中，与3，4能构成勾股数的是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且点P在△ABC的边AC上，则∠PAB+∠PBA＝（　　） A．45° B．30° C．60° D．90° 3．赵爽是我国东汉末至三国时代的一位数学家，其在为《周髀算经》作注时，解释了《周髀算经》中的勾股定理，并给出了证明（参照如图）：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这种证明方法所体现的数学思想是（　　） A．转化思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．函数思想 4．（2024春•安州区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝22，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（　　） A． B．2 C． D． 5．（2024春•高密市期末）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立柱AB的高度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度DB为0.4米，将踏板往前推送，使秋千绳索AD到达AE的位置，测得推送的水平距离CE为3米，此时秋千踏板离地面的垂直高度EF为1.4米，则立柱AB的高度为（　　） A．3米 B．4米 C．4.4米 D．5.4米 6．（2024•阳泉一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，AB＝25m，BC＝9m，CD＝12m，DA＝20m，∠C＝90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（　　） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 7．（2023·江苏南京·模拟预测）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有-道问题:“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何?”问题大意:如图，在△ABC中，AB = 13里，BC = 14里，AC = 15里，则△ABC的面积是（   ） A．80平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里 8．（22-23七年级下·陕西西安·期末）图，已知A村庄与B村庄相距，A村庄的土地灌溉点在C点处，B村庄的土地灌溉点在D处．已知，现要在线段之间选一点建一水站E，使得水站E分别到灌溉点C与灌溉点D的距离之和最短，最短距离是（    ）      A．10 B．17 C．14 D．13 9．（22-23八年级上·山西长治·期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，AD是的中线，过点B作AD的垂线，垂足记作点E，连接CE，若，，，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 二．填空题 11.在中，，，，则的长为 ． 12.若，，是一组勾股数，则       ． 13.若△ABC的三边长为a，b，c，且满足a2＝（c+b）（c﹣b），则△ABC的形状是 　 　． 14.如图,在△ABC中,AB=7cm,AC=25cm,BC=24 cm,动点 P 从点 A 出发沿AB 方向以1 cm/s的速度运动至点 B，动点 Q 从点 B 出发沿 BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发,连接PQ.当动点P、Q运动2s时,PQ= cm. 15.若图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为9cm²，则图中所有的正方形的面积之和为 cm². 16.如图,将一根 20cm长的细木棒放入长、宽、高分别为 4 cm、3c m 和12 cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 cm. 三、解答题 17.（2024合肥蜀山区期末) 如图所示，在每个小正方形的边长为单位1的网格中，△ABC是格点图形，求△ABC中AB边上的高． 18．某消防部队进行消防演练．在模拟演练现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12 m，如图，即AD＝BC＝12 m，此时建筑物中距地面12.8 m高的P处有一被困人员需要救援．已知消防车的车身高AB是3.8 m，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？ 19．如图，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，求∠ACB． 20．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 21．长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 22．如图，在△ABC中，AD、AE分别是高和角平分线． （1）若∠BAC＝86°，∠C＝32°，求∠DAE的度数； （2）若AB＝15，AC＝20，AD＝12，求证：∠BAC是直角． 23．小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到C位置时，过点C作CE⊥OA于点E，测得OC＝15cm，BD＝OE＝9cm（图中的点A，B，O，C在同一平面内）． （1）猜想此时OB与OC的位置关系，并说明理由； （2）求DE的长． 24．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）依题知BC＝　 　米，用含有x的式子表示AC为 　 　米； （2）请你求出旗杆的高度． 25．我区的自然风光无限，最具特色的是青龙大峡谷（A）和文佛奇峰山（B），它们位于笔直的高速公路X同侧，AB＝10km，A，B到直线X的距离分别为AE＝10.5km和BD＝4.5km． （1）方案一：旅游开发公司计划在高速公路X旁修建一服务区C，并从服务区C向A、B两景区修建笔直公路运送游客．公司选择较节省的方案（如图1：点B关于直线X的对称点是B1，连接AB1交直线X于点C），C到A、B的距离之和S1＝AC+BC，求S1． （2）方案二：在A，B两景区之间有一条与高速公路X垂直的省级公路Y，且A到省级公路Y的距离AH＝7km（如图2）．旅游开发公司打算在省级公路Y旁修建一服务区P，并从服务区P向A、B两景区修建笔直公路运送游客．由于地形条件的限制，P只能选择图2的位置，通过测量得PA＝PB，P到A、B的距离之和S2＝AP+BP．请你通过计算比较S1，S2的大小．（参考数据：） 学科网（北京）股份有限公司 $$