2.1第2课时　不等式的性质-2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教2019A版专用）

2.1第2课时　不等式的性质（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】不等式性质的理解与判断 2 【题型二】利用不等式的性质证明不等式 3 【题型三】利用不等式的性质求范围 4 【当堂温习】 5 【分层练习】 6 考试要求： 1.掌握不等式的基本性质. 2.运用不等式的性质解决有关问题. 素养要求： 通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升数学抽象、逻辑推理及数学运算素养. 自主预习 一、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 题型研析 【题型一】不等式性质的理解与判断 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，则下列不等式中成立的是 （填上正确的序号）． ①；②；③；④． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a，，则下列选项中能使成立的是 ，能使成立的是 （填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 解题策略： 利用不等式的性质判断命题真假的注意点： (1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质. (2)采用特殊值法进行排除，注意取值一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 【题型二】利用不等式的性质证明不等式 一、单选题 1．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·江西·期中）已知为实数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 3．（23-24高二上·浙江杭州·期末）下列表述正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．（23-24高一上·江苏南通·期末）若，，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2023高一·全国·专题练习）对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是 ． 6．（22-23高一·江苏·假期作业）设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②．其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是 （填序号）． 解题策略： 1.利用不等式的性质对不等式进行证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件，不可省略条件. 2.用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件. 【题型三】利用不等式的性质求范围 一、单选题 1．（22-23高一上·山东济宁·期末）已知，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2022高二下·浙江绍兴·学业考试）已知，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 三、填空题 5．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知，，则的范围是 . 6．（23-24高一上·浙江·期末）已知，，则的范围是 ，的范围是 ． 解题策略： 1.利用不等式的性质求取值范围，要建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围. 2.同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 当堂温习 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知a，b，c为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·全国·课前预习）不等式的性质 （1）如果，那么 ；如果，那么.即 . （2）如果，那么 .即 . （3）如果，那么 . （4）如果，那么 ；如果，那么 . （5）如果，那么 . （6）如果，那么 . （7）如果，那么 . 6．（22-23高一·全国·课后作业）对于实数a，b，“”是“”的 条件．（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”） 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·全国·课后作业）若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是（    ） A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5 C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4 2．（24-25高三上·北京·开学考试）设，且，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列命题中，为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（22-23高一上·湖南郴州·阶段练习）对于实数a，b，c下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 二、多选题 5．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，，，都是正数，且，，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·四川德阳·阶段练习）设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·浙江·期中）设表示不超过的最大整数，如，，则当时，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（22-23高一上·河南·期中）已知实数x，y满足，，则的范围为 ． 9．（24-25高一上·上海·课前预习）在下列空格上填适当的不等号： （1）若，则 ； （2）若，，则 1； ． 10．（23-24高一上·北京朝阳·期末）设，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④. 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题 11．（23-24高一上·上海·期中）完成下列各题 (1)设，，比较M、N的大小； (2)已知条件：，条件：，若是的充分条件，求实数m的数值范围. 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【能力篇】 一、单选题 1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）. A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 二、多选题 2．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 3．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知，下列命题中正确的是 (将正确命题的序号填在横线上) ①若，则      ②若，则; ③若，则;        ④若，则. 四、解答题 4．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式. (2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则” 【培优篇】 一、单选题 1．（2023高三下·浙江·期末）已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一上·浙江宁波·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 三、填空题 3．（22-23高二·江苏·单元测试）设a，b，c是互不相等的正数，则在四个不等式： （1）；      （2）； （3）；          （4） 其中恒成立的有 （把你认为正确的答案的序号都填上） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1第2课时　不等式的性质（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】不等式性质的理解与判断 2 【题型二】利用不等式的性质证明不等式 5 【题型三】利用不等式的性质求范围 8 【当堂温习】 11 【分层练习】 14 考试要求： 1.掌握不等式的基本性质. 2.运用不等式的性质解决有关问题. 素养要求： 通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升数学抽象、逻辑推理及数学运算素养. 自主预习 一、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 题型研析 【题型一】不等式性质的理解与判断 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，则下列不等式中成立的是 （填上正确的序号）． ①；②；③；④． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a，，则下列选项中能使成立的是 ，能使成立的是 （填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A D BCD AC 1．A 【分析】由，结合不等式性质，即可判断A；结合不等式性质利用反例当时，可得选项B错误；利用作差法比大小来判断C、D的正误，即得结果. 【详解】选项A，因为，则，所以，故A正确； 选项B，当时，由，则，故B错误； 选项C，若，则，所以，故C错误； 选项D，若，则，故，故D错误. 故选：A. 2．D 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，当时，由，得，B不是； 对于C，，可能有，如，C不是； 对于D，由，得，则；若，则，D是. 故选：D 3．BCD 【分析】由已知条件结合不等式的性质，判断结论是否正确. 【详解】对于A项，取，，，， 则，，所以，故A选项错误； 对于B选项，若，有，则，B选项正确； 对于C选项，若，则，则， 又因为，由不等式的性质可得，所以C选项正确； 对于D选项，若且，则，所以，，D选项正确． 故选：BCD． 4．AC 【分析】根据不等式的性质即可求解ABD，利用作差法即可求解C. 【详解】由于，故 对于A, ,故A正确， 对于B，由于故，B错误， 对于C，故，C正确， 对于D，若时，，故D错误， 故选;AC 5．③ 【分析】先给出，，作为①，②，④的反例，然后根据不等式的性质即可证明③正确. 【详解】当，，时，有，但，，，故①，②，④错误； 由于，，故，故③正确. 故答案为：③. 6． ①④ ②④ 【分析】由不等式的性质逐一判断即可求解. 【详解】①得， ④得， 故能使成立的是①④； ，则， 由②故，由④， 故，故能使成立的是②④． 故答案为：①④，②④. 解题策略： 利用不等式的性质判断命题真假的注意点： (1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质. (2)采用特殊值法进行排除，注意取值一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 【题型二】利用不等式的性质证明不等式 一、单选题 1．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·江西·期中）已知为实数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 3．（23-24高二上·浙江杭州·期末）下列表述正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．（23-24高一上·江苏南通·期末）若，，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2023高一·全国·专题练习）对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是 ． 6．（22-23高一·江苏·假期作业）设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②．其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是 （填序号）． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D C BCD BCD 1．D 【分析】利用不等式的性质，判断各选项是否正确. 【详解】由，则，A选项错误； 由，时，不满足，B选项错误； 由，则，C选项错误； 由，则，D选项正确. 故选：D 2．C 【分析】根据不等式性质逐选项判断即可. 【详解】对于A，若，当时，根据不等式性质，故A错误； 对于B，若，当时，大小无法确定，故B错误； 对于C，若，则，，对不等式两边同时乘以，则，故C正确； 对于D，若时，，故D错误， 故选：C. 3．BCD 【分析】根据不等式的基本性质判断ABC，利用作差法判断D即可. 【详解】A：由，得， 若，，得，则，即； 若，，得，则不成立，故A错误； B：若，则，故B正确； C：由，，得， 则，所以，即，故C正确； D：若，则， 所以，即，故D正确. 故选：BCD 4．BCD 【分析】结合不等式的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：取，，，，则，，故A错误； 对B：由，，则，则有，故B正确； 对C：由，，则，且等价于， 等价于，等价于，即C正确； 对D：由，，则， ，即等价于， 由，即等价于，等价于，即，故D正确. 故选：BCD. 5．②④ 【分析】根据不等式的基本性质即可逐一判断. 【详解】对于①∵，∴只有时才成立，∴①不正确； 对于②，；，∴②正确； 对于③，若，如，但，∴③不正确； 对于④，，∴，， 又∵，∴，∴，∴，∴④正确． 故答案为：②④. 6．① 【分析】由反证法判断①；利用特值法判断②. 【详解】对于①，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2，与已知条件a＋b＞2矛盾，故假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1，①正确； 对于②，若a＝－2，b＝－3，则成立，故由②不能推出“a，b中至少有一个大于1”． 故答案为：①. 解题策略： 1.利用不等式的性质对不等式进行证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件，不可省略条件. 2.用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件. 【题型三】利用不等式的性质求范围 一、单选题 1．（22-23高一上·山东济宁·期末）已知，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2022高二下·浙江绍兴·学业考试）已知，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 三、填空题 5．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知，，则的范围是 . 6．（23-24高一上·浙江·期末）已知，，则的范围是 ，的范围是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C B C ABC 1．C 【分析】首先用和表示，再根据条件的范围，求解的范围. 【详解】设， 得，解得：， 所以， 因为，，所以，， 所有的范围是. 故选：C 2．B 【分析】由不等式的性质求解即可. 【详解】， 故，，得 故选：B 3．C 【分析】根据不等式的性质，依次分析即可判断. 【详解】对于A，，则，则有，A正确； 对于B，，则，则有，B正确； 对于C，，，则有，C错误； 对于D，，，则有，D正确； 故选：C 4．ABC 【分析】利用不等式的基本性质求出各选项中代数式的范围，即可得出合适的选项. 【详解】因为实数、满足：，由不等式的可加性可得，解得，A对； 由题意可得，由不等式的可加性可得，解得，B对； 设，则，解得， 所以，， 因为，由不等式的可加性可得，C对D错. 故选：ABC. 5． 【分析】设，求出、的值，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】设，其中、， 则，解得，所以，， 因为，，则，， 由不等式的基本性质可得，即. 故答案为：. 6． 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围，利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】，，两个不等式相加可得，解得， 设， 所以，，解得，， 因为，， 由不等式的基本性质可得. 故答案为：；. 【点睛】易错点点睛：本题考查利用不等式的基本性质求代数式的取值范围，一般而言，不等式次数用得越多，所得代数式的取值范围越不准确，本题在求的取值范围时，可充分利用待定系数法得出，进而利用不等式的基本性质求解. 解题策略： 1.利用不等式的性质求取值范围，要建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围. 2.同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 当堂温习 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）已知a，b，c为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·全国·课前预习）不等式的性质 （1）如果，那么 ；如果，那么.即 . （2）如果，那么 .即 . （3）如果，那么 . （4）如果，那么 ；如果，那么 . （5）如果，那么 . （6）如果，那么 . （7）如果，那么 . 6．（22-23高一·全国·课后作业）对于实数a，b，“”是“”的 条件．（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”） 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B A AC ABD 1．B 【分析】通过不等式的性质和特例可排除ACD，根据不等式的性质判断B的真假. 【详解】对A：当时，；当时，.故A错误； 对B：因为，所以，故成立.故B正确； 对C：当时，.故C错误； 对D：若，则.故D错误. 故选：B 2．A 【分析】对于选项A根据题干用作差法比较大小，对于B，C，D均用取特殊值验证的方法验证即可. 【详解】对于A，，因为，所以，所以即，故选项A正确. 对于B，，取，，，，则，故选项B错误. 对于C，，取，，，，则，故选项C错误. 对于D，，取，，则，故选项D错误. 故选：A. 3．AC 【分析】根据不等式的性质判断ABC，利用特例判断D. 【详解】因为，且，所以， 所以，即，故A正确； 因为，，所以，故B错误； 因为，所以，故C正确； 当时满足题设条件，但不成立，故D错误. 故选：AC 4．ABD 【分析】由不等式的性质结合逐一判断每一个选项即可. 【详解】对于A，由题意，所以，故A正确； 对于B，，因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，则，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：ABD. 5． 【分析】略 【详解】略 6．充要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可. 【详解】当成立时，由可知与同号，再由可知与同为正，即； 当时，由不等式的性质可知且，即成立. 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要. 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·全国·课后作业）若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是（    ） A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5 C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4 2．（24-25高三上·北京·开学考试）设，且，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列命题中，为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（22-23高一上·湖南郴州·阶段练习）对于实数a，b，c下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 二、多选题 5．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，，，都是正数，且，，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·四川德阳·阶段练习）设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·浙江·期中）设表示不超过的最大整数，如，，则当时，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（22-23高一上·河南·期中）已知实数x，y满足，，则的范围为 ． 9．（24-25高一上·上海·课前预习）在下列空格上填适当的不等号： （1）若，则 ； （2）若，，则 1； ． 10．（23-24高一上·北京朝阳·期末）设，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④. 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题 11．（23-24高一上·上海·期中）完成下列各题 (1)设，，比较M、N的大小； (2)已知条件：，条件：，若是的充分条件，求实数m的数值范围. 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B A B BCD AD AD 1．C 【分析】由－4<b<2，得－4<－|b|≤0，根据不等式的性质同向相加可得结果. 【详解】∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0. 又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3. 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题. 2．B 【分析】选项A，B，C，通过取特殊值，即可判断出正误；选项B，利用不等式的性质，结合条件，即可判断出正误. 【详解】对于选项A，取，显然满足，但，所以选项A错误， 对于选项B，因为，由不等式的性质知，所以选项B正确， 对于选项C，取，显然满足，但，此时，所以选项C错误， 对于选项D，取，显然满足，此时，所以选项D错误， 故选B. 3．A 【分析】应用不等式的性质，结合特值排除法判断即可. 【详解】A项，由，知，即，不等式两边同除以正数，则，故A正确； B项，若，不一定成立，如：，但，故B错误； C项，若，也不一定成立，如：，但，故C错误； D项，若，当时，，故D错误. 故选：A. 4．B 【分析】由不等式的性质，逐个分析选项的结论. 【详解】当时，有，由得，A选项说法正确； 当时，，则有，故B选项说法错误； 当，有，则，即，C选项说法正确； 当，时，有，由则，D选项说法正确； 故选：B. 5．BCD 【分析】在已知条件下，利用不等式的性质，判断选项中的结论是否正确. 【详解】已知，，，都是正数，且，， 对于A选项，满足已知条件，但此时，A选项错误； 对于B选项，由不等式的同向可加性，，时，有，B选项正确； 对于C选项，由，，有，所以，C选项正确； 对于D选项，由，， 有， 所以，得，D选项正确； 故选：BCD 6．AD 【分析】利用不等式的性质可判断AD；举反例可判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，令，所以，故B错误； 对于C，令，所以，故C错误； 对于D，因为，所以， 可得，所以，故D正确. 故选：AD. 7．AD 【分析】根据新定义判断A选项；B、C举出反例；D选项，首先设，，然后对和分别讨论即得. 【详解】对于A，因为表示不超过的最大整数，所以，故A对； 对于B，取，则，得， ，故B不成立. 对于C，取，， ，得，故C不成立. 对于D，设，， 则，而； 当时，，此时， 当时，，此时， 综上：，故D对. 故选：AD 8． 【分析】用、表示出，然后可算出答案. 【详解】设，则，解得， ∴ ∵，∴， ∵，∴ ∴． 故答案为： 9． > > < 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】（1）由于，故，即， （2）由于，则，又，， 故答案为：>，>，< 10．①③④ 【解析】利用不等式性质直接判断①④正确，利用指数函数的单调性判断③正确，利用特殊值验证②错误即可. 【详解】由知，，，故，得，故①正确； 取，满足，但，不满足，故②错误； 由指数函数单调递增可知，，则，故③正确； 由知，，，根据不等式性质可知，，故，故④正确. 故答案为：①③④. 11．(1). (2) 【分析】（1）利用作差法的方法比较大小； （2）由题意是的充分条件，，考虑和两类情况进行讨论.. 【详解】（1）， 所以； （2）因为是的充分条件，设, 则是的充分条件，即 若，当，即时，满足条件, 若，要使, 则,即 , 综上，实数的范围是. 12．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【详解】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 【能力篇】 一、单选题 1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）. A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 二、多选题 2．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 3．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知，下列命题中正确的是 (将正确命题的序号填在横线上) ①若，则      ②若，则; ③若，则;        ④若，则. 四、解答题 4．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式. (2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则” 参考答案： 题号 1 2 答案 D BC 1．D 【分析】对于A，举一个反例即可；对于B，先由得，再由得；对于C，举一个反例即可；对于D，作差，根据差值的正负即可判断. 【详解】对于A，若，不一定有，如当时，故A错误； 对于B，因为，所以， 又因为，所以，故B错误； 对于C，若，，则不一定成立， 如当，时，，此时，故C错误； 对于D， ， 因为，，所以， 所以，故，故D正确. 故选：D. 2．BC 【分析】取特值可判断A，D；由不等式的性质可判断B，C. 【详解】对于A，取，但，故A错误； 对于B，若，对不等式两边同时平方则，故B正确； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，则，故D错误. 故选：BC. 3．②③ 【分析】①取检验即可；②和③利用不等式两端同时乘以一个正数，不等式的方向不改变；④取检验即可 【详解】①若，当时，则，故①错误； ②若，不等式两边同时乘以，则，故②正确； ③若，不等式两边同时乘以，则，故③正确； ④若，当时，则，故④错误； 故答案为：②③ 4．(1)；证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）根据题意直接写出答案，利用作差法证明该不等式； （2）利用三角形的三边关系和放缩法即可证明. 【详解】（1）由题可得，； 证明：因为，，， 所以，，，从而，即 （2）由三角形三边关系，可得，而函数，为单调递增函数， ， ，， 故， 所以， 【培优篇】 一、单选题 1．（2023高三下·浙江·期末）已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一上·浙江宁波·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 三、填空题 3．（22-23高二·江苏·单元测试）设a，b，c是互不相等的正数，则在四个不等式： （1）；      （2）； （3）；          （4） 其中恒成立的有 （把你认为正确的答案的序号都填上） 参考答案： 题号 1 2 答案 B ABD 1．B 【分析】特殊化的方法，取可判断A，取，可判断C，D,可排除A,C,D，可得答案B，也可利用不等式性质证明B正确. 【详解】对于A，取，该不等式成立，但不满足； 对于C，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足； 对于D，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足； 下面证明B 法一 不等式等价于，而. 函数在上单增，故. 法二 若，则，故，矛盾. 故选：B 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，函数的单调性，反证法，属于中档题. 2．ABD 【分析】根据不等式的性质，即可判断. 【详解】对A，若，则，A正确； 对B，若，则，则，B正确； 对C，若，，设，此时，C错误； 对D，若，，则，则，D正确. 故选：ABD 3．（1）（2）（4） 【解析】根据不等式的性质判断（1）（4），根据的单调性证明，取特殊值判断（3）. 【详解】（1），故（1）恒成立 （2）由于函数在单调递减，在单调递增 当a＞1时，a2＞a＞1，f（a2）＞f（a）即， 当0＜a＜1，0＜a2＜a＜1，f（a2）＞f（a）即 当a＝1， 故（2）恒成立； （3）若a﹣b＝﹣1，则该不等式不成立，故（3）不恒成立； （4）由于．故C恒成立． 故答案为 ：（1）（2）（4） 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，属于中档题. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$