精品解析：2025届天津市第一中学高三上学期数学统练试卷（1）

天津一中高三年级数学统练（1） 一､选择题 1. 命题“对，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定的定义进行求解即可. 【详解】命题“对，”的否定是，. 故选：B 【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题. 2. 已知集合，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】={x|−1<x<3}， 因为x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A， 所以m+1>3，即m>2. 所以实数m的取值范围是(2,+∞). 故选C 3. 已知，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数的运算化简，可比较与的大小；分别计算与的大小关系，可比较，利用选项排除可得答案． 详解】，，排除B，C选项 ，排除D 故选：A 【点睛】本题考查比较对数大小，考查对数的运算性质，属于中档题． 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断出函数为奇函数，再由，即可求解. 【详解】由， 所以函数为奇函数，排除B、D. 当时， 则，故排除C. 故选：A 【点睛】本题考查了函数图像的识别，考查了函数的性质，属于基础题. 5. 若在处取得极大值，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，由题意可得出，解出、的值，再结合题意进行检验，即可得解. 【详解】因为，则 又在处取得极大值， ，解得或， 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极小值，与题意不符； 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极大值，符合题意，则， 故选：C. 6. 下图是某校随机抽取100名学生数学月考成绩频率分布直方图，据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），下列说法正确的是（ ） A. 平均数为74 B. 众数为60或70 C. 中位数为75 D. 该校数学月考成绩80以上的学生约占25% 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平均数等于小矩形的面积乘以各小矩形底边中点横坐标之和可判断A；取小矩形面积最大的底边中点横坐标作为众数可判断B；从左边开始将小矩形的面积之和等于的横坐标作为中位数可判断C；将成绩80以上的小矩形面积相加可判断D. 【详解】对于A， ，故A不正确； 对于B，由频率分布直方图可知众数为，故B不正确； 对于C，设中位数为，则， 解得，故C不正确； 对于D，数学月考成绩80以上的学生约占 ，即为25% ，故D正确； 故选：D 【点睛】本题考查了频率分布直方图求平均数、众数、中位数，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 7. 已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据时的函数值，即可选择判断. 【详解】由图可知，当时， 当时，，故排除； 当时，，故排除； 当时，，故排除； 当时，，满足题意. 故选：D. 【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及正余弦值的正负，属基础题. 8. 已知a，b，c为正实数，则代数式的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法结合基本不等式可求最小值. 【详解】设题中代数式为M，令，则， ， ， 于是 ， 等号当时，也即时取得， 因此代数式的最小值为． 故选：A. 9. 设是定义在R上偶函数，对任意，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把方程恰有3个不同的实数根，转化成在区间内函数与函数的图象有三个交点，数形结合去解决即可. 【详解】由题意可得，函数是周期为4的偶函数． 根据，，画出内的图象如图所示． 关于x的方程恰有3个不同的实数根， 则在区间内函数与函数的图象有三个交点， 则，解得． 故选：D 二､填空题 10. 若复数满足，则的虚部为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的运算法则和虚部的定义求解即可. 【详解】， 故的虚部为. 故答案为： 11. 已知在的展开式中第5项为常数项，展开式中含有项的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式中第5项为， 第5项为常数项，故，则， 所以的展开式中第项为：， 当时，，故第2项为：. 故答案为： 12. 与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知所求圆与圆外切，且在直线与圆之间，结合圆的性质求圆心和半径. 【详解】因为圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离， 可知所求最小圆的半径， 设与直线垂直的直线方程为， 又因为直线过圆心，则， 即，则， 联立方程，解得， 即与的交点， 设所求圆的圆心为，则，解得或（舍去）， 即圆心为， 故所求圆的方程为. 故答案为：. 13. 甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为__________. 【答案】0.245## 【解析】 【分析】根据题意知甲前4场有一场输，第五场必定获胜，由于比赛场次主客场安排固定，所以可计算出每种输一场的概率，最后相加可得到甲队以4：1获胜的概率. 【详解】由题意知甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”， 设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5， 则甲队前5场比赛，第一场负，另外四场全胜概率为 ， 甲队前5场比赛，第二场负，另外四场全胜概率为 ， 甲队前5场比赛，第三次场，另外四场全胜概率为 ， 甲队前5场比赛，第四次场，另外四场全胜概率为 所以甲队以4：1获胜的概率 . 故答案为：0.245 14. 若对满足条件的正实数都有恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用基本不等式得到，再进行换元，转化为在时恒成立，求得，即得结果. 【详解】依题意正实数x，y，满足等式， 化简得，即，当且仅当时等号成立. 设，则恒成立，即在时恒成立， 函数在时是递增的，故，即. 故. 故答案为：. 15. 已知函数关于的不等式只有一个整数解，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】由，利用导数研究其单调性、极值，可得函数的图象如图，对分类讨论，分别利用一元二次不等式的解法，结合函数图象判断出不等式的整数解，即可得结果. 【详解】 由， 令，解得， 令，解得， 的递增区间为，递减区间为， 故的最大值是， 时，时，且， 故在时，，在时，， 函数的图象如图， ①时，由不等式得或， 而时无整数解，的解集为， 整数解有无数多个，不合题意； ②时，由不等式得解集为， 整数解有无数多个，不合题意； ③时，由不等式，得或， 的解集为无整数解， 只需的解集整数解只有一个， 且在上递增，在递减， 而，这一正整数只能为3， ， ， 综上所述，的取值范围是，故答案为. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值、不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解. 三､解答题 16. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，. （1）求角的大小； （2）若在线段上，且，，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知和正弦定理可得答案； （2）设，，，由余弦定理可解得x、y，再由面积公式可得答案. 【详解】（1）由题意及正弦定理得，所以， 又因为为锐角三角形，故. （2）设，，，则， 由余弦定理有，. 两式相加有. 中，， 故或(舍)，所以， 故. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形问题. 17. 设函数. （Ⅰ）求的最小正周期和对称中心； （Ⅱ）若函数，求函数在区间上的最值． 【答案】（Ⅰ）， ；（Ⅱ），. 【解析】 【分析】（Ⅰ）把已知函数解析式变形，再由辅助角公式化积，利用周期公式求周期，再由求得值，可得函数的对称中心； （Ⅱ）求出的解析式，得到函数在区间上的单调性，则最值可求． 【详解】（Ⅰ）由已知，有 ． 最小正周期为， 由，得，． 对称中心为； （Ⅱ）由，得， 当时，，，可得在区间上单调递增， 当时，，，可得在区间上单调递减． ． 又，． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查型函数的图象和性质，是中档题． 18. 已知四棱锥中，平面，，，，线段的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面平行的条件即可求解; （2）求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合线面角与向量夹角的关系即可求解； （3）根据（2）的得出平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合面面角与向量夹角的关系即可求解. 【小问1详解】 以点A为坐标原点，以AB，AD所在直线分别为x，z轴，以与AB垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如下图所示， 则，，，，，． 所以，. 因为平面，, 所以平面PAB的法向量为， 所以， 所以，由因为平面PAB， 所以直线平面PAB． 【小问2详解】 由题意知，，， 设为平面PCD的法向量,则 ，即， 令，则， 所以， 因为，设直线BE与平面PCD所成角为， 则， 所以直线BE与平面PCD所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由题意知，， 设平面PAD的法向量为，则 ，即， 令，则， 所以， 又因为平面PCD的法向量， 设平面PCD与平面PAD的夹角为， 则． 所以平面PCD与平面PAB夹角的余弦值为． 19. 已知函数 ． （1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程； （2）若函数f（x）在 上为单调增函数，求a的取值范围； （3）设m，n为正实数，且m>n，求证： ． 【答案】(1) ；(2) ；（3）证明见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）导函数为，由，解得并检验，再求得，切点为（1,0），由点斜式可求得切线方程．（2）由题意可在上恒成立，所以在上恒成立，分离参数得，所以，．（3）由于是多个变量，所以利用变形，换元变成一个变量，变形为，设．求导可证h(x)>0. 试题解析：（1），由题意知，代入得，经检验，符合题意． 从而切线斜率，切点为（1,0），所以切线方程为 （2），因为f（x）在上为单调增函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立． 当时，由，得． 设．，． 所以当且仅当，即x=1时，g（x）有最小值2． 所以，所以． 所以a的取值范围是． （3）要证，只需证，只需证，设． 由（2）知在上是单调增函数，又． 所以， 即成立，所以 【点睛】 对于两个变量的不等式、函数的证明，我们有一种常见方法是通过换元的形式把两个变量化成一个变量，要注意新的变元的范围，如本题令．构造新的函数，再进行证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津一中高三年级数学统练（1） 一､选择题 1. 命题“对，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，若成立一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 3. 已知，，，则有（ ） A B. C. D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 若在处取得极大值，则值为（ ） A 或 B. 或 C. D. 6. 下图是某校随机抽取100名学生数学月考成绩的频率分布直方图，据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），下列说法正确的是（ ） A. 平均数为74 B. 众数为60或70 C. 中位数为75 D. 该校数学月考成绩80以上的学生约占25% 7. 已知某函数图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知a，b，c为正实数，则代数式的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 9. 设是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二､填空题 10. 若复数满足，则的虚部为__________. 11. 已知在的展开式中第5项为常数项，展开式中含有项的系数为__________. 12. 与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是___________． 13. 甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为__________. 14. 若对满足条件的正实数都有恒成立，则实数的取值范围为__________. 15. 已知函数关于的不等式只有一个整数解，则实数的取值范围是_____ 三､解答题 16. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，. （1）求角的大小； （2）若在线段上，且，，求的面积. 17. 设函数. （Ⅰ）求的最小正周期和对称中心； （Ⅱ）若函数，求函数在区间上的最值． 18. 已知四棱锥中，平面，，，，线段的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知函数 ． （1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程； （2）若函数f（x）在 上为单调增函数，求a的取值范围； （3）设m，n为正实数，且m>n，求证： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$