专题2　压轴小题中函数性质的灵活应用作业A——2025届高三数学一轮复习

专题02 压轴小题中函数性质的灵活应用 作业A 一、单选题(共8小题) 1．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2022·全国）奇函数满足，当时，，则（ ） A． B． C． D． 4．在上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5．（2021·全国），当时，恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 6．上的函数，对任意的，都有，且，则下列说法正确的是（    ） A．是以2为周期的偶函数 B．是以2为周期的奇函数 C．是以4为周期的偶函数 D．是以4为周期的奇函数 7．设定义在上的偶函数满足：，且当时，，若，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D． 8．定义在上的函数满足，对任意的，，，恒有，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多选题(共3小题) 9. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f ，f(0)＝－2，且f 为奇函数，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)是一个周期为3的周期函数 D．f(2 025)＝－2 10.定义域为R的函数f(x)在(－1,0]上递增，f(1＋x)＝f(1－x)，且图象关于点(2,0)对称，则下列正确的是(　　) A．f(0)＝f(2) B．f(x)的最小正周期T＝2 C．f(x)在(1,2]上单调递减 D．f(2 021)>f(2 022)>f(2 023) 11.(2023·邯郸模拟)f(x)是在R上的函数，f(x)－f(－x)＝0，且满足f(x＋1)为奇函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝－cos，下列结论正确的是(　　) A．f(1)＝0 B．f(x)的周期为2 C．f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 D．f ＝－ 三、填空题(共3小题) 12．已知函数，若关于直线对称，且对都有，且当时，；则___________. 13．（2020·全国）对任意、，都有，则实数的取值范围为______． 14．是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题： ①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在[﹣9，﹣6]上为减函数；④方程在[﹣9，9]上有4个根； 其中正确的命题序号是___________. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 压轴小题中函数性质的灵活应用 作业A 一、单选题(共8小题) 1．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知函数是上的减函数，于是有，解得，故选：B. 2．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为，, 所以，函数为奇函数；，所以函数在上单调递增， 因为，所以，所以，，解得.故选：A. 3．（2022·全国）奇函数满足，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数为奇函数，则，解得，所以，当时，， 由已知条件可得，所以，函数是以为周期的周期函数， 则；故选：B. 4．在上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由是偶函数可得其图象的对称轴为，所以函数的图象关于直线对称． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 因为，所以，即．故选D． 5．（2021·全国），当时，恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在上单调递减，因为，所以，即，在上恒成立，所以，即，故选B． 6．上的函数，对任意的，都有，且，则下列说法正确的是（    ） A．是以2为周期的偶函数 B．是以2为周期的奇函数 C．是以4为周期的偶函数 D．是以4为周期的奇函数 【答案】D 【详解】即①， 在①中将变换为，则，则， 又因为，所以，所以②， 在②将变换为，所以，所以，所以的周期为. 因为，所以，所以为奇函数；故选：D. 7．设定义在上的偶函数满足：，且当时，，若，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的偶函数，所以，所以， 所以函数是周期为4的函数，所以，，． 又当时，，所以，所以当时，单调递减， 所以，即．故选B． 8．定义在上的函数满足，对任意的，，，恒有，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为对任意的，，，恒有， 所以函数在上为增函数，则在上为增函数， 又，而，所以，所以为奇函数， 综上，为奇函数，且在上为增函数，所以不等式等价于， 即，亦即，可得，解得.故选：B． 二、多选题(共3小题) 9. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f ，f(0)＝－2，且f 为奇函数，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)是一个周期为3的周期函数 D．f(2 025)＝－2 【答案】BCD 【详解】函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝－2，则f(x)不可能是奇函数，故A错误； 定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝－f ，变形可得f(x)＝－f ，而f 为奇函数， 则f ＝－f ，则f(－x)＝－f ，则有f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故B正确； 已知函数f(x)满足f(x－1)＝－f ，即f(x)＝－f ，则有f(x＋3)＝－f ＝f(x)， 即函数f(x)是一个周期为3的周期函数，故C正确； f(x)是偶函数且周期为3，则f(2 025)＝f(0)＝－2，故D正确． 10.定义域为R的函数f(x)在(－1,0]上递增，f(1＋x)＝f(1－x)，且图象关于点(2,0)对称，则下列正确的是(　　) A．f(0)＝f(2) B．f(x)的最小正周期T＝2 C．f(x)在(1,2]上单调递减 D．f(2 021)>f(2 022)>f(2 023) 【答案】AC 【详解】由f(1＋x)＝f(1－x)知，f(x)图象的对称轴为直线x＝1，所以f(0)＝f(2)，故A正确； 由f(1＋x)＝f(1－x)知，f(2＋x)＝f(－x)，又图象关于点(2,0)对称，即f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)， 所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)＝f(x＋4)，f(x)的最小正周期为4，故B错误； 因为f(x)在(－1,0]上单调递增，且T＝4，所以f(x)在(3,4]上单调递增，又图象关于点(2,0)对称， 所以f(x)在[0,1)上单调递增，因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)在(1,2]上单调递减，故C正确； 根据f(x)的周期为4，可得f(2 021)＝f(1)，f(2 022)＝f(2)，f(2 023)＝f(－1)，因为f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(2)＝f(0)，由C选项的分析可知，函数f(x)在[0,1)上单调递增，在(－1,0]上单调递增， 确定的单调区间内均不包含x＝±1，若f(－1)＝f(1)＝0，则f(2 021)>f(2 022)>f(2 023)不成立，故D错误． 11.(2023·邯郸模拟)f(x)是在R上的函数，f(x)－f(－x)＝0，且满足f(x＋1)为奇函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝－cos，下列结论正确的是(　　) A．f(1)＝0 B．f(x)的周期为2 C．f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 D．f ＝－ 【答案】ACD 【详解】因为f(x＋1)为奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(－0＋1)＝－f(0＋1)，所以f(1)＝0，A正确； 因为当x∈[0,1)时，f(x)＝－cos，所以f(0)＝－cos 0＝－1， 因为f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(2)＝－f(0)＝1，故f(2)≠f(0)，所以2不是f(x)的周期，故B错误； 因为f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x＋1)的图象关于原点对称，所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，C正确； 由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(x)－f(－x)＝0，可得f(x＋2)＝－f(－x－1＋1)＝－f(－x)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)为周期函数，周期为4， 所以f ＝f， 又当x∈[0,1)时，f(x)＝－cos，所以f ＝－cos，D正确． 三、填空题(共3小题) 12．已知函数，若关于直线对称，且对都有，且当时，；则___________. 【答案】 【详解】关于直线对称，而函数的图象右移1个单位得的图象， 则函数的图象关于直线对称，即，故周期为8，又当时，， 所以；故答案为： 13．（2020·全国）对任意、，都有，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】在上单调递增，，解得．因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14．是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题： ①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在[﹣9，﹣6]上为减函数；④方程在[﹣9，9]上有4个根； 其中正确的命题序号是___________. 【答案】①②④ 【详解】①对于任意，都有成立，令，则， 又是上的偶函数，，，， 又由，故，故①正确； ②由①知，的周期为6，又是上的偶函数，， 而的周期为6，，， 直线是函数的图象的一条对称轴，故②正确； ③当，且时，都有，函数在上为减函数， 是上的偶函数，函数在上为增函数， 而周期为6，函数在为增函数，故③不正确； ④周期为6，，函数在有四个零点，故④正确， 所以，正确的命题序号是①②④，故答案为①②④. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $$