专题1　压轴小题中指对幂比较大小 讲义——2025届高三数学一轮复习

专题01 指对幂比较大小 讲义 【考情分析】 指对幂比较大小是高考小题压轴题常考的内容，难度较大。 解决此类问题的方法主要有：一是构造函数后利用单调性判断，二是通过放缩比较大小，三是作差(商)比较法； 【知识总结】 1.指、对、幂大小比较的常用方法： (1)底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； (2)指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； (3)底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； (4)底数、指数、真数都不同，找中间变量0，1或其它能判断大小的中间量，利用中间量进行大小判定； 2.指对数的同构常用的公式：，(注意需使式子有意义) 3.常用放缩公式：(注意：若是解答题，需要作证明，否则要扣分) (1)指数放缩：(取等号)；(1取等号) (2)对数放缩：(取等号)；(取等号) (3)三角放缩：时， 【考点题型】 题型一：构造相同的函数比较大小 【例1-1】已知，且，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【对点训练1】 1．，若，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知为自然对数的底数），，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 6．若，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 7．若a，b，，且满足，，，则（    ） A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a 8．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型二：构造不同的函数比较大小 【例2-1】若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】已知则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例2-3】已知，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【对点训练2】 1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 2．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则a，b，c大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型三：用放缩法比较大小 【例3-1】已知，，.则（   ） A． B． C． D． 【例3-2】设，，，则（ ） A． B． C． D． 【对点训练3】 1．设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．实数x，y，z分别满足，，，则x，y，z的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，试比较a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．设，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．设，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 9．设，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四 作差(商)法比较大小 【例4】已知，则（    ） A． B． C． D． 【对点训练4】 1.已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2.(2022·全国·高考真题)设，则（    ） A． B． C． D． 3.设，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4.已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 指对幂比较大小 讲义 【考情分析】 指对幂比较大小是高考小题压轴题常考的内容，难度较大。 解决此类问题的方法主要有：一是构造函数后利用单调性判断，二是通过放缩比较大小，三是作差(商)比较法； 【知识总结】 1.指、对、幂大小比较的常用方法： (1)底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； (2)指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； (3)底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； (4)底数、指数、真数都不同，找中间变量0，1或其它能判断大小的中间量，利用中间量进行大小判定； 2.指对数的同构常用的公式：，(注意需使式子有意义) 3.常用放缩公式：(注意：若是解答题，需要作证明，否则要扣分) (1)指数放缩：(取等号)；(1取等号) (2)对数放缩：(取等号)；(取等号) (3)三角放缩：时， 【考点题型】 题型一：构造相同的函数比较大小 【例1-1】已知，且，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以可得， 设函数，则， ， 令，则在上恒成立，所以单调递减， 则，所以在上单调递减， 所以，从而；故选：A． 【例1-2】已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】；设，；时，； 则在，上单调递减；；即；．故选：D 【对点训练1】 1．，若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以在上是奇函数.所以；对求导得， 令，则；当时，，所以在上单调递增， 则时，，即，所以在上单调递增. ，所以，因为在上单调递增，所以. 令，则；所以当时，单调递减； 当时，单调递增；所以， 而，即，所以，即；所以，即，则 所以；所以，即；故选：A 2．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，令，则， 再令，则，所以当时，即在上单调递增， 当时，所以，所以，即在上单调递增， 所以，即，即，即， 因为，所以，所以，所以，即， 所以；故选：D 3．已知为自然对数的底数），，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，可得，令，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 因为，，， 所以，即；故选：C． 4．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴，即，∴，∴，∴， ∴；令，则，∴在上单调递增， ∴，即，∴，∴；故选：D. 5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，，，易知，当且仅当时取等号， 所以，记，，则， 所以在上单调递增，所以，即．故选：A 6．若，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，，得，，， 令，则，当时，当时， 所以在上是增函数，在上是减函数，于是， 即，又，，，所以；故选：C. 7．若a，b，，且满足，，，则（    ） A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a 【答案】B 【详解】由，，，得，，，令，则， 当时，，当时，，所以在上是增函数， 在上是减函数，于是，即，又b，，所以； ， 因为，所以，，，因此， 于是，又a，，所以； 令，则，所以在上是增函数，，，即，，， 于是，又a，，所以；综上；故选：. 8．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，，所以，． ．设，则． 令，则易知在上单调递增．令，解得，且， 所以当时，，即；当时，即， 则在上单调递减，在上单调递增． 又因为，所以，即， 则，即，所以．故选:A． 题型二：构造不同的函数比较大小 【例2-1】若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于和，∵，， 构造函数，则，. 对求导，得，当时，，∴在上单调递减. ∵，∴，即； 对于和，∵；∴可以构造函数，则， 当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减， ∴，∴，∴，即； 对于和，∵，∴可以构造函数，则， 当时，，∴在上单调递减；又∵，且， ∴，∴，∴，即；∴，故选：B. 【例2-2】已知则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】构造函数，，则，当时，， 当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减， 故，故，当且仅当时取等号．由于，则， 则，则，则，当且仅当时取等号． 当时，，所以，所以． 构造函数，则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，所以，当且仅当时取等号，故，当且仅当时取等号． 当时，，则，所以．综上得：．故选：A． 【例2-3】已知，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【详解】，又，则，设，显然为增函数， 因为，所以；又，，则 令，设，则，当时单调递增， 则在上单调递增，故，解得；故选：B 【对点训练2】 1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由条件知，，构造函数，， 则，所以在上递增，于是，所以， 构造函数，则， 当是，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，于是，得到，所以；故选：D． 2．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则恒成立，即在上递增，且， 故，取，则，即，可得，即； 令，则恒成立，即在上递减，且， 故，取，则，即，可得，即； 综上可得：的大小关系为；故选：B 3．已知，则a，b，c大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，，则，即当时，， ∴在上单调递增，∴，∴，∴，即； 令，，∴，∴在上单调递增， ∴，∴，∴，即，综上可知：；故选：D 4．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将用变量x替代，则，，，其中， 令，则，令，则， 易知在上单调递减，且，，∴，使得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 又，，∴，∴在上单调递增， ∴，即，∴， 记，，则，在上单调递增， 又，所以，所以,所以；综上，；故选：B． 5．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将用变量x替代，则，，，其中， 令，则，令，则， 易知在上单调递减，且，，∴，使得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 又，，∴，∴在上单调递增， ∴，即，∴， 记，，则，在上单调递增， 又，所以，所以；综上，；故选：B． 6．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】；构造函数， 令，，则所以在单增， 所以，所以，所以，所以. 令,，，所以在递减，所以， 所以，所以，所以，所以；故选：D. 7．已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】构造函数，则，，且， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减，所以； 设，则，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增，所以 故，所以，即．综上，，故选：A． 8．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造函数，则， 所以在上单调递增，则，故，构建，则， 在上恒成立， 故在上单调递减，则，∴， 所以，即，所以，故，综上，，故选：C 题型三：用放缩法比较大小 【例3-1】已知，，.则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数，，则， 当时，，在上递增，当时，在上递减， ，；构造函数，，则， 当时，在上递增，当时，在上递增， ，，；故选：B. 【例3-2】设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设分别是在时所对应的函数值， 设，则， 所以时，单调递减，时，单调递增， 所以，即，同理可证，所以 当时，可得，即，构造函数， 则， 所以时，单调递减，时，单调递增， 所以，即，整理得，即，所以，故选：A 【对点训练3】 1．设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，构造函数，，则， 因为在上为减函数，所以当时，， 又，所以，故，所以函数在单调递增， 故，故， 因为，， 构造函数，，则， 因为 ；所以 ，所以在是增函数， ，即，所以，即，综上，；故选：C. 2．已知，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造，则， 构造，则， 故在内单调递减，． 故对任意恒成立，则在单调递增， 因为，所以，故，即， 即，即，即， 同理构造，则， 构造，则，故在内单调递减，，故对任意恒成立，则在单调递增，故，即，即， 即，即，则a，b，c的大小关系是．故选：C． 3．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 设 ，由于在单调递增， 且其值均大于0， 单调递减，所以单调递减，又 ， 所以在单调递减，且，所以在时，，因此在时单调递减， 故，即，即， 设 当时，，所以在单调递增， 所以，即，综上可知，故选：B 4．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则恒成立， 所以在上递减，则，即，所以，于是有，即； 设，，时，， 设，则，时，，所以是减函数，所以恒成立， 所以在时是减函数，并且，所以时，，所以． 综上，．故选：A． 5．实数x，y，z分别满足，，，则x，y，z的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知得 ，，，设 ，，当时，， 所以 在上单调递减，因此， 即 所以 ，； 又设，，当时，， 所以在上单调递增，因此 ， 所以 ，则；综上得；故选：B． 6．已知，，，试比较a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先证明两个不等式：（1），设， 则，即在上递减，故， 即成立 （2），设，则， 即在上递增，故，即成立 再说明一个基本事实，显然，于是. 由（1）可得，取，可得； 由（2）可得，取，可得，再取，可得，即. ，显然，于是； ，显然，于是.故；故选：B 7．设，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记，，当时，，所以在上递增， 则当时，，即，取，所以， 记，因为，所以在上单调递减， 时，，即，取，所以，故，即； 记，因为，当时，， 所以在上单调递增，所以当时，，即，取， 所以，即；所以；故选：C. 8．设，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，在上单调递增，， 即，则；令，则， 在上递减，，即，则；，即； 令，则，在上的单调递增， ，即，则，即；综上所述：；故选：D. 9．设，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记；因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以. 记；因为，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以；所以. 记；，当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以. 所以；综上所述：；故选：C 题型四 作差(商)法比较大小 【例4】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对， 因为，即，所以，即； 对，又，令，则，所以当时，，当时，，所以，即，当且仅当时取等号， 所以，令，则， 所以当时，所以在上单调递增，显然，又，即，即，所以，即.故选：C 【对点训练4】 1.已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在上为减函数， 所以，，即，则， ， 因此，.故选：D. 2.(2022·全国·高考真题)设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：比较法 ，， ①，令 则 ， 故在上单调递减，可得，即，所以 ； ②，令 则 ， 令，所以 ， 所以在上单调递增，可得 ，即 ， 所以在上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 方法二：构造法：设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以，故， 设，则；令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，又，所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以；故选：C. 3.设，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，令，解得， 故当时，单调递减，故，即，则. 令，则， 故当时，单调递增，时，单调递减，则，即. ，故； ，故； 综上所述：.故选：D. 4.已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，因为 ，所以有： ，所以， ，设，， 当时，，所以在上单凋递减， 因此，即，，，，，所以， 综上可知.故选：C. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $$