精品解析：山东省济南市2025届高三上学期开学摸底考试数学试题

绝密★启用并使用完毕前 2024—2025学年高中三年级摸底考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先求得集合，结合集合并集的运算，即可求解. 【详解】由集合， 根据并集的定义及运算，可得或. 故选：C. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据除法运算求得，再利用模长公式运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，再根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积为，得到关于的式子，求解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以， 所以，解得. 故选：. 4. 已知，是两条不同的直线，为平面内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面关系及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，是两条不同的直线，为平面内的一条直线， 由推不出，如且，此时得不到，故充分性不成立； 由也推不出，事实上当时，或与异面均有可能，故必要性不成立； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件。 故选：D 5. 已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上恒大于0，且单调递增，可求的取值范围. 【详解】因为函数 在 上单调递增， 所以在上单调递增，所以. 且在恒大于0，所以或. 综上可知：. 故选：B 6. 由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（ ） A. 60 B. 108 C. 132 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】根据插空法先排奇数，再排偶数去除0在首位的情况计算即可. 【详解】先排3个奇数，有种排法， 排完奇数后形成4个空，插入余下3个偶数，有种排法， 但此时0放在首位的情况有种，故满足条件的排法有. 故选：B 7. 直线与曲线 的交点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知要求交点即求方程的根，等价于求的根，等价于求和两函数图象交点，作出相关图形，利用数型结合从而可求解. 【详解】由题意可得，所以其与直线的交点， 等价于求的根，等价于的根， 等价于求函数与函数的交点， 易得函数为周期为2的函数，且时，， 所以是函数的一个对称中心， 对于，， 所以关于点对称，且为增函数，在均单调递增， 所以在，上单调递增， 所以可以作出和图象如下图， 由图可得其有2个交点，故A正确. 故选：A. 8. 设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由期望与方程的公式计算即可表示出两随机变量的期望与方差，再比较两者大小即可得. 【详解】， ， 故，故A、B错误； 设， 则 ， 同理： ， 由，，故， 同理，则有 ， 即，故C正确，D错误； 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（ ） 附:随机变量服从正态分布，则，，. A. 该市学生数学成绩的标准差为100 B. 该市学生数学成绩的期望为100 C. 该市学生数学成绩的及格率超过0.8 D. 该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布网线的对称性，正态分布的概念判断． 【详解】X服从正态分布，则标准差为10，期望为100，A错，B正确， ， ， ，C正确； 及格线，而优秀线是， ，这是优秀率，优秀率与及格率相差很大，人数相差也很大，D错． 故选：BC． 10. 已知函数，则（ ） A. 至少有一个零点 B. 存在，使得有且仅有一个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 当时，在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助零点的存在性定理可得A；结合导数、极值点定义与二次函数的性质可得B；借助对称性定义计算可得C；利用导数与单调性的关系计算可得D. 【详解】对A：由，当时，， 故在上必有零点，即至少有一个零点，故A正确； 对B：若存在，使得有且仅有一个极值点， 则有唯一变号零点， 由二次函数性质可知，二次函数在上不可能有唯一变号零点， 故不存在，使得有且仅有一个极值点，故B错误； 对C： ， 有， 故点是曲线的对称中心，故C正确； 对D：， 当，，由，则， 故在上单调递减，故D正确. 故选：ACD. 11. 在平面直角坐标系中，已知点， ，直线，相交于点，且它们的斜率之和是.设动点的轨迹为曲线，则（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 曲线关于某条直线对称 C. 若曲线与直线（）无交点，则 D. 在曲线上取两点， ，其中，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用直接法可得动点的轨迹方程，即可判断AB选项，联立直线与曲线，可判断C选项，联立曲线与单位圆，可得曲线与单位圆交于与，此两点间距离恰好为，即可判断D选项. 【详解】由已知，即， 化简可得动点的轨迹方程为， 将代入曲线方程可得成立， 所以曲线关于原点对称，A选项正确， 做出曲线，易知该曲线可表示渐近线为及轴的双曲线， 则对称轴过原点且倾斜角为或， 而, 则其对称轴为， 又，所以曲线不是轴对称图形， B选项错误； 联立直线与曲线方程，得无解，则或， 即或，综上，C选项正确； 联立曲线与单位圆，则， 解得或， 即曲线与单位圆交于，两点， 且， 所以当，分别与，重合时，，D选项错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则C的离心率的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，进而可求双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线的一条渐近线的方程为， 所以，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 13. 曲线 在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】对求导，得到，利用导数的几何意义，得到切线的斜率为，即可求解. 【详解】易知函数定义域为， 因为，所以， 当时，，又当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 故答案为：. 14. 数列 满足记 则 的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据数列范围及递推关系三角换元，结合二倍角正弦公式最后应用三角函数值域求解即可. 【详解】因为 所以设 , 当时取等号. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 . （1）求的周长； （2）若，求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件结合余弦定理化简，可求出a的值，即得答案； （2）利用二倍角公式化简，结合余弦定理求出bc的值，即可求得答案. 【小问1详解】 由得：， 即得，所以的周长为； 【小问2详解】 由得：， 所以，因为， 所以，所以， 又，则，即， 所以， 所以的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面 ,,， （1）证明：平面平面 ； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的定理证明结果即可； （2）建立如图所示坐标系，分别求出平面和平面的法向量，代入公式计算即可； 【小问1详解】 证明：记， 因为，所以， 所以， 即， 又底面平面， 所以， 因为，且平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 取中点，连接，则，所以平面， 所以三条直线两两垂直， 分别以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以 设平面的法向量为， 则，可取， 同理设平面的一个法向量为， 则，可取 所以，， 所以，平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的两个焦点分别是，，点M在上，且 . （1）求的标准方程； （2）若直线与交于A，B两点，且的面积为求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知可得，由椭圆的定义可得，根据椭圆中，，的关系可得，即可求解； （2）设，，联立直线和椭圆构成的方程组，根据可得，由韦达定理可得，，再根据，可得或，即可求解. 【小问1详解】 由题意，设的标准方程为， 则，，即，所以， 所以的标准方程为； 【小问2详解】 设，， 由联立得， 由题意，即， ，，显然直线过定点， 所以， 所以，即， 所以，解得或，均满足， 所以或. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若函数存在正零点， （i）求的取值范围； （ii）记为的极值点，证明：. 【答案】（1）单调递减区间是，无单调递增区间 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数的正负即可得函数的单调性； （2）（i）求导后借助导数分、及讨论函数的单调性，再结合零点的存在性定理计算即可得；（ii）利用零点定义与极值点定义可得，代入计算可得，再借助时，，即可得，再计算并化简即可得. 【小问1详解】 由已知可得的定义域为， 且， 因此当时，，从而， 所以的单减区间是，无单增区间； 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，， 令， 当时，单调递减． ①当时，可知在内单调递减， 又，故当时，，所以不存在正零点； ②当时，， 在单调递减，故当时，，函数不存在正零点； ③当时，，此时， 所以存在满足， 所以在内单调递增，在内单调递减． 令，则当时，， 故在内单调递增，在内单调递减， 从而当时，，即， 所以， 又因为，所以， 因此，此时存在正零点； 综上，实数的取值范围为； （ⅱ）由题意，，即， 从而，即， 由（ⅰ）知当时，，即，有， 又，故， 两边取对数，得， 于是，整理得． 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助，从而得到，即可得. 19. 已知数列为正项数列，数列满足. （1）试写出一个数列，使得为递增的等差数列； （2）若为递增的等差数列，从中任选一项，记为随机变量X. （i）比较与的大小关系，其中，并说明理由； （ii）若，证明：. 【答案】（1）（任意递增的正项等差数列均可） （2）（i），理由见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质及求和公式分析即可； （2）（i）利用等差数列的性质及前项和与的关系证明也为递增等差数列，从而得出结合条件放缩计算即可； （ii）先结合第一小问证明对于常数，，令再结合方差的计算公式取计算得即可证明. 【小问1详解】 不妨令，则， 显然是常数，所以为递增的等差数列， (任意递增的正项等差数列均可)； 【小问2详解】 （ⅰ）若为递增的等差数列，不妨设其公差为， 则，， 所以， 显然， 而，所以也为递增的等差数列； 故， 另一方面 ， 第一个等号成立当且仅当，第二个等号成立当且仅当，故不能同时成立． 故； （ⅱ）先证明如下引理： 对于常数，从数列的前顶中等可能的选一个数，为随机变量． 则，其中． 证明：设前项中不小于的最小项为，则， 另一方面 ， 故引理成立． 对于给定的常数，记数列为， 从中中等可能性地选取一个数，记为随机变量，则，且． 由引理知． 【点睛】关键点点睛：结合第二问第一小问的结论猜想并证明引理，对于常数，从数列的前顶中等可能的选一个数，为随机变量，则，其中，再结合方差的计算公式证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用并使用完毕前 2024—2025学年高中三年级摸底考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 已知，是两条不同的直线，为平面内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（ ） A. 60 B. 108 C. 132 D. 144 7. 直线与曲线 的交点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（ ） 附:随机变量服从正态分布，则，，. A. 该市学生数学成绩的标准差为100 B. 该市学生数学成绩的期望为100 C. 该市学生数学成绩的及格率超过0.8 D. 该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 10. 已知函数，则（ ） A. 至少有一个零点 B. 存在，使得有且仅有一个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 当时，在上单调递减 11. 在平面直角坐标系中，已知点， ，直线，相交于点，且它们的斜率之和是.设动点的轨迹为曲线，则（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 曲线关于某条直线对称 C. 若曲线与直线（）无交点，则 D. 在曲线上取两点， ，其中，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则C的离心率的值为________. 13. 曲线 在点处的切线方程为______. 14. 数列 满足记 则 的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 . （1）求的周长； （2）若，求△ABC的面积. 16. 如图，在四棱锥中，底面 ,,， （1）证明：平面平面 ； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的两个焦点分别是，，点M在上，且 . （1）求的标准方程； （2）若直线与交于A，B两点，且的面积为求的值. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若函数存在正零点， （i）求的取值范围； （ii）记为的极值点，证明：. 19. 已知数列为正项数列，数列满足. （1）试写出一个数列，使得为递增的等差数列； （2）若为递增的等差数列，从中任选一项，记为随机变量X. （i）比较与的大小关系，其中，并说明理由； （ii）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $