专题2.4 圆的方程8种常见考法归类（71题）-2024-2025学年《考点通关》高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

2024-2025学年《考点通关》高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册) 专题2.4 圆的方程8种常见考法归类（71题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求圆的标准方程 （一）由圆的标准方程求圆心、半径 （二）求圆的标准方程 题型二 圆的一般方程 （一）圆的一般方程辨析 （二）由圆的一般方程求圆心、半径 （三）求圆的一般方程 题型三 根据对称性求圆的方程 题型四 点与圆的位置关系 （1） 由圆的方程判断点与圆的位置关系 （2） 由点与圆的位置关系求参数的取值范围 题型五 圆过定点问题 题型六 与圆有关的轨迹问题 题型七 与圆有关的最值问题 题型八 圆的方程的实际应用 知识点1 圆的标准方程 1.圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2.圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 注：(1)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (2)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 圆的标准方程 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2>0) 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r≠0) 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r≠0) 圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0) 圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) 4.求圆的标准方程的常用方法 (1)几何法 利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程得结果． (2)待定系数法 由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：先设方程，再列式，后求解． 5．求圆的标准方程时常用的几何性质 求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质： (1)弦的垂直平分线必过圆心． (2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． (3)圆心与切点的连线长是半径长． (4)圆心与切点的连线必与过该切点的切线垂直． 题型一 求圆的标准方程 （一）由圆的标准方程求圆心、半径 解题策略：由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点． 1．（2024·高二课时练习）已知圆的标准方程为，则此圆的圆心及半径长分别为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二单元测试）圆的圆心和半径分别是（   ） A． B． C． D． 3.【多选】（2024·江苏·高二假期作业）下列说法错误的是（    ） A．圆的圆心为，半径为5 B．圆的圆心为，半径为 C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 4．（2024·江苏·高二假期作业）已知圆C的标准方程为，则圆心C的坐标为________，圆的面积为________． 5.（2024·北京海淀·校考三模）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B．1 C． D． 6.（2024·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 等号成立. 7.（2024·全国·高三专题练习）已知直线过圆的圆心，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 （2） 求圆的标准方程 解题策略： (1)确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，即建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷． (2)由圆的几何性质易得圆心坐标和半径时，用几何法可以简化运算，其他情况可用待定系数法． 8.（24-25高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 9．（2024·河北邯郸·高二统考期末）已知圆的圆心为点，且经过原点，则圆的标准方程为__________. 10.（2024·江苏·高二假期作业）圆心在轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为_______． 11.（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 12．（福建省泉州外国语中学2023-2024学年高二上学期期中质量监测数学试题）与x轴相切，且圆心坐标为的圆的标准方程为_______________ 13．（2024·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 14.（2024·高二课时练习）已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（    ） A． B． C． D． 15.（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 16．（2024·江苏·高二假期作业）求经过点和坐标原点，并且圆心在直线上的圆的方程． 17.（2024·陕西西安·校联考模拟预测）过三点、、的圆的圆心坐标为___________. 18．（广东省肇庆市百花中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题）直线与直线相交于点，直线过点且与直线平行. (1)求直线的方程； (2)求圆心在直线上且过点的圆的方程. 知识点2 圆的一般方程 1．圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点. 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为 . 3.二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是 注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点： (1)x2，y2项的系数均为1； (2)没有xy项； (3)D2＋E2－4F＞0. 4.待定系数法求圆的方程 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出D，E，F. 题型二 圆的一般方程 （一）圆的一般方程辨析 解题策略：1.二元二次方程与圆的关系： 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆；②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆． 2.判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；②B＝0； 二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数． 19．（2024·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（2024·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）方程表示圆，则实数a的可能取值为（    ） A． B．2 C．0 D． 21.（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22.（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （二）由圆的一般方程求圆心、半径 解题策略：由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0求圆心和半径长的方法：①利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求出圆心及半径长；②运用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0判断是否为圆，如果是，也可以利用公式写出圆心，利用公式r＝求出半径长． 23．（上海市第三女子中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题）圆的圆心坐标是________. 24．（2024·高二课时练习）圆C：的圆心是_____，半径是_____． （3） 求圆的一般方程 解题策略： 1. 待定系数法求圆的一般方程的步骤 2.解决四点是否共圆问题,一般可先求过其中三点的圆的方程,然后把第四个点的坐标代入,若满足方程,则四点共圆,若不满足方程，则四点不共圆。 25．（2024·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）求适合下列条件的圆的方程： (1)圆心在直线上，且过点的圆； (2)过三点的圆. 26．（2024·河南·校联考模拟预测）已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为______. 27．（2024·河南郑州·模拟预测）已知点四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为______． 28．（2024·江苏·高二假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 29．（2024·高二校考课时练习）已知圆经过点和，该圆与两坐标轴的四个截距之和为，求圆的方程. 题型三 根据对称性求圆的方程 解题策略：(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置，其半径与已知圆相等.(2)两圆关于点对称，则对称点为两圆圆心连线的中点. 30.（2024高三·全国·专题练习）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 31.（2024·云南昆明·高二统考期末）已知圆的圆心坐标为，半径为2，圆与圆关于轴对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 32．（2024·高二单元测试）圆关于直线对称的圆是（    ） A． B． C． D． 33．（2024·全国·高三专题练习）与圆关于直线对称的圆的标准方程是______. 34.（2024·四川成都·高二统考期末）已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 35．（2024·高二课时练习）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 36．（2024·河南开封·高二统考期末）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 37．（2024·高二课时练习）求圆关于直线的对称圆方程. 38.（2024·四川凉山·高二校考阶段练习）若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是___________ 知识点3 点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. 2.判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0 点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0 题型四 点与圆的位置关系 解题策略：1.圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 2.点与圆的位置关系的判断与应用 (1)判断点与圆的位置关系的方法 ①只需计算该点与圆的圆心之间的距离，与半径作比较即可； ②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． (2)求解参数范围 若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围． （一）由圆的方程判断点与圆的位置关系 39.（2024·江苏·高二假期作业）点与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 40．【多选】（2024·高二课时练习）下列各点中，不在圆的外部的是（    ） A． B． C． D． 41．（2024·江苏·高二假期作业）写出圆心为,半径为5的圆的标准方程,并判断点是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？ 42．（2024·高二课时练习）点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定 （二）由点与圆的位置关系求参数的取值范围 解题策略：由点与圆的位置关系确定参数的范围时,可以根据点与圆的位置关系将方程中的等号变为“<”“>”或“=”,还可以用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来求解. 43.【多选】（2024·全国·高二专题练习）点在圆的内部，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 44．（2024·高二校考课时练习）若点在圆的内部，则a的取值范围是（　　）. A． B． C． D． 45.（2024·全国·高三专题练习）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 46.（23-24高二上·重庆·期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47.（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五 圆过定点问题 48．（2024·上海徐汇·高二上海中学校考期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__． 49．（2024·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期中）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 50．（2024·高二课时练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 51．（2024·全国·高三专题练习）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______ 52．（2024·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知曲线：． （1）当取何值时，方程表示圆？ （2）求证：不论为何值，曲线必过两定点． （3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值． 知识点4 圆的轨迹问题 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2.求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式． (2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程． (3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程． 代入法用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可；定义法即动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后根据定义直接写出动点的轨迹方程． 题型六 与圆有关的轨迹问题 解题策略：求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，设出动点M的坐标(x，y)． (2)列出点M满足条件的集合． (3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0. (4)将上述方程化简． (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点． 53．（上海市上海中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题）点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为______． 54.（2024·高一单元测试）已知定点，是圆上的一动点，是的中点，则点的轨迹方程是_______________. 55．（2024·高二课时练习）已知圆：，过点的直线与圆交于点，，线段的中点为，则点的轨迹方程为___________. 56．（2024·安徽阜阳·高二校联考阶段练习）已知圆经过点，且被直线平分. (1)求圆的一般方程； (2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程. 57．（2024·山东日照·高二校考阶段练习）已知圆C经过点且圆心C在直线上. (1)求圆C方程； (2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程. 58.（2024·浙江丽水·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是______． 59.（2024·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程； 60．（2024·高二课时练习）正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的取值范围为___________. 61.（23-24高二上·河北保定·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 62．【多选】（2024·高一单元测试）已知点，动点满足，则下面结论正确的为（    ） A．点的轨迹方程为 B．点到原点的距离的最大值为5 C．面积的最大值为4 D．的最大值为18 知识点5 圆的最值 1.圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 2.与圆有关的最值问题常见的几种类型 (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题． (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．　 题型七 与圆有关的最值问题 63．（2024·高二课时练习）圆过点，求面积最小的圆的方程为_________ 64．（2024·高二课时练习）如果圆的方程为，那么当圆面积最大时，该圆的方程为________，最大面积为________． 65．（2024·高二课时练习）已知圆经过点，且圆心在直线上运动，求当半径最小时的圆的标准方程为_______________ 66．（2024·四川巴中·高二统考期末）已知圆C过点，当圆C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为______． 67．（2024·山东青岛·高二校联考期中）圆上的点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 68.（2024·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为（   ） A．34 B．40 C．44 D．48 69.（2024·广东佛山·统考模拟预测）已知圆：，过点的两条直线，互相垂直，圆心到直线，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．4 题型八 圆的方程的实际应用 70.（23-24高二上·广东东莞·期末）东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥（如下图）的跨度AB约为126米，拱高OP约为9米，该拱桥每隔约7米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与OP相距35米的吊杆MN的高度约为（    ）（参考数据：） A．7.3米 B．6.3米 C．5.3米 D．4.3米 71.（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. $$2024-2025学年《考点通关》高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册) 专题2.4 圆的方程8种常见考法归类（71题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求圆的标准方程 （一）由圆的标准方程求圆心、半径 （二）求圆的标准方程 题型二 圆的一般方程 （一）圆的一般方程辨析 （二）由圆的一般方程求圆心、半径 （三）求圆的一般方程 题型三 根据对称性求圆的方程 题型四 点与圆的位置关系 （1） 由圆的方程判断点与圆的位置关系 （2） 由点与圆的位置关系求参数的取值范围 题型五 圆过定点问题 题型六 与圆有关的轨迹问题 题型七 与圆有关的最值问题 题型八 圆的方程的实际应用 知识点1 圆的标准方程 1.圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2.圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 注：(1)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (2)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 圆的标准方程 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2>0) 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r≠0) 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r≠0) 圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0) 圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) 4.求圆的标准方程的常用方法 (1)几何法 利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程得结果． (2)待定系数法 由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：先设方程，再列式，后求解． 5．求圆的标准方程时常用的几何性质 求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质： (1)弦的垂直平分线必过圆心． (2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． (3)圆心与切点的连线长是半径长． (4)圆心与切点的连线必与过该切点的切线垂直． 题型一 求圆的标准方程 （一）由圆的标准方程求圆心、半径 解题策略：由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点． 1．（2024·高二课时练习）已知圆的标准方程为，则此圆的圆心及半径长分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程直接求解即可. 【详解】由标准方程可得：圆的圆心为，半径为， 故选：B. 2．（2024·高二单元测试）圆的圆心和半径分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程的定义即可得圆心坐标和半径. 【详解】由圆的标准方程可得， 圆心坐标为,半径. 故选：B 3.【多选】（2024·江苏·高二假期作业）下列说法错误的是（    ） A．圆的圆心为，半径为5 B．圆的圆心为，半径为 C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 【答案】ABD 【详解】对于A：由圆可得：圆心为，半径为，故选项A错误； 对于B：由圆可得：圆心为，半径为，故选项B错误， 对于C：由圆可得：圆心为，半径为，故选项C正确； 对于D：由圆可得：圆心为，半径为，故选项D错误， 故选：ABD. 4．（2024·江苏·高二假期作业）已知圆C的标准方程为，则圆心C的坐标为________，圆的面积为________． 【答案】 【分析】由圆的标准方程直接得出圆心和半径，进而得圆的面积. 【详解】圆C的标准方程为, 则圆心，半径，故圆的面积． 故答案为：，． 5.（2024·北京海淀·校考三模）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为，因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上，所以，解得. 故选：A 6.（2024·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】D【详解】因为直线经过圆的圆心， 故， 所以， 当且仅当 ，即时，等号成立. 故选：D 7.（2024·全国·高三专题练习）已知直线过圆的圆心，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】由题意得圆心为（1,1），因为直线过圆心， 所以，即， 所以， 所以当时，的最小值为. 故选：A （2） 求圆的标准方程 解题策略： (1)确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，即建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷． (2)由圆的几何性质易得圆心坐标和半径时，用几何法可以简化运算，其他情况可用待定系数法． 8.（24-25高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【分析】根据圆的标准方程写出答案 【详解】根据圆的标准方程可写出， 故选：A. 9．（2024·河北邯郸·高二统考期末）已知圆的圆心为点，且经过原点，则圆的标准方程为__________. 【答案】 【分析】先求出圆的半径，再写出圆的标准方程. 【详解】由已知得圆的半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 10.（2024·江苏·高二假期作业）圆心在轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为_______． 【答案】或. 【详解】由题意，设圆的方程为， 因为点在圆上，可得，解得b＝0或b＝－8， 所以所求圆的方程为或. 故答案为：或. 11.（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出线段的中垂线，求得与轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程. 【详解】由题意，，中点为， 所以线段的中垂线为，令得， 所以，半径，所以圆M的标准方程为． 故选：B. 12．（福建省泉州外国语中学2023-2024学年高二上学期期中质量监测数学试题）与x轴相切，且圆心坐标为的圆的标准方程为_______________ 【答案】 【分析】根据圆的圆心坐标结合与y轴相切可得到该圆的半径可得答案. 【详解】∵圆心坐标为，又与y轴相切， ∴圆的半径为2， ∴圆的标准方程为. 故答案为：. 13．（2024·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出圆的标准方程. 【详解】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点， 圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. 故选：A. 14.（2024·高二课时练习）已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆C：可知圆心，， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 故所求圆的方程为：. 故选：D 15.（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】借助待定系数法计算即可得. 【详解】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为， 则有，解得， 故该圆方程为. 故选：D. 16．（2024·江苏·高二假期作业）求经过点和坐标原点，并且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】 【分析】利用待定系数法或几何法求解. 【详解】法一（待定系数法）： 设圆的标准方程为， 则有，解得， ∴圆的标准方程是． 法二（几何法）： 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为． ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由，得， 即圆心坐标为，半径r＝＝5． ∴圆的标准方程是． 17.（2024·陕西西安·校联考模拟预测）过三点、、的圆的圆心坐标为___________. 【答案】 【详解】设圆的方程为：，代入点的坐标有： ，所以， 所以圆的方程为：. 故答案为：. 18．（广东省肇庆市百花中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题）直线与直线相交于点，直线过点且与直线平行. (1)求直线的方程； (2)求圆心在直线上且过点的圆的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题可得，然后根据直线的位置关系可设，进而即得； （2）根据圆的几何性质可得圆心和半径，即得. 【详解】（1）由，可得，即， 由题可设直线，又直线过点， 所以， 所以直线的方程为； （2）因为圆心在直线上且过点， 由，可得线段的中垂线方程为， 由，可得， 所以圆心坐标为，半径为， 所以圆心在直线上且过点的圆的方程为. 知识点2 圆的一般方程 1．圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点. 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为 . 3.二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是 注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点： (1)x2，y2项的系数均为1； (2)没有xy项； (3)D2＋E2－4F＞0. 4.待定系数法求圆的方程 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出D，E，F. 题型二 圆的一般方程 （一）圆的一般方程辨析 解题策略：1.二元二次方程与圆的关系： 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆；②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆． 2.判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；②B＝0； 二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数． 19．（2024·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可. 【详解】由，得， 解得. 故选：B 20．（2024·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）方程表示圆，则实数a的可能取值为（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】先把整理成圆的标准形式，满足右边关于的表达式大于零. 【详解】由，可得， 所以， 解得或， 选项中只有符合题意. 故选：D. 21.（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据圆的定义列出不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 若曲线是圆，所以，所以或， 所以“m”是“曲线是圆”的充分不必要条件. 故选：A. 22.（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B. （二）由圆的一般方程求圆心、半径 解题策略：由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0求圆心和半径长的方法：①利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求出圆心及半径长；②运用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0判断是否为圆，如果是，也可以利用公式写出圆心，利用公式r＝求出半径长． 23．（上海市第三女子中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题）圆的圆心坐标是________. 【答案】 【分析】化圆的一般方程为标准方程，即可求得圆心坐标． 【详解】由，得， 可得圆心坐标为． 故答案为：． 24．（2024·高二课时练习）圆C：的圆心是_____，半径是_____． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，即可得出答案. 【详解】将圆方程化为标准方程可得，. 所以，圆心，半径. 故答案为：；. （3） 求圆的一般方程 解题策略： 1. 待定系数法求圆的一般方程的步骤 2.解决四点是否共圆问题,一般可先求过其中三点的圆的方程,然后把第四个点的坐标代入,若满足方程,则四点共圆,若不满足方程，则四点不共圆。 25．（2024·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）求适合下列条件的圆的方程： (1)圆心在直线上，且过点的圆； (2)过三点的圆. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先设圆的标准方程为，根据题意得到，再解方程组即可. （2）首先设圆的一般方程为：，，根据题意得到，再解方程组即可. 【详解】（1）设圆的标准方程为，由题知： ，解得. 所以圆的标准方程为：. （2）设圆的一般方程为：，， 由题知：， 所以圆的方程为：. 26．（2024·河南·校联考模拟预测）已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为______. 【答案】 【分析】首先设圆的一般方程，结合条件，利用待定系数法，即可求解. 【详解】设圆的方程为，令，， 则由圆经过抛物线与轴的交点可知方程与同解， 所以，，所以圆的方程为， 又因为圆过点，所以，所以， 所以圆的方程为. 故答案为： 27．（2024·河南郑州·模拟预测）已知点四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为______． 【答案】3 【分析】待定系数法求得过的圆的方程为，从而可得，解得，再根据两点距离公式即可求解. 【详解】设过的圆的方程为： ，， 则，解得， 所以过的圆的方程为： . 又因为点在此圆上，所以，解得， 所以点D到坐标原点O的距离为. 故答案为： 28．（2024·江苏·高二假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A 29．（2024·高二校考课时练习）已知圆经过点和，该圆与两坐标轴的四个截距之和为，求圆的方程. 【答案】. 【分析】利用待定系数法设出圆的方程，然后利用圆与两坐标轴的四个截距之和为，即可求解. 【详解】设圆的一般方程为，由圆经过点和， 代入圆的一般方程，得(*) 设圆在轴上的截距为、，则它们是方程的两个根，得. 设圆在轴上的截距为、，则它们是方程的两个根，得. 由已知，得，即.　③ 由(*)③联立解得. 故所求圆的方程为. 题型三 根据对称性求圆的方程 解题策略：(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置，其半径与已知圆相等.(2)两圆关于点对称，则对称点为两圆圆心连线的中点. 30.（2024高三·全国·专题练习）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据已知圆与所求圆对称，求出圆心和半径，即可得出圆的方程. 【详解】因为所求圆的圆心与圆的圆心关于原点对称， 所以所求圆的圆心为，半径为，故所求圆的方程为. 故选：B. 31.（2024·云南昆明·高二统考期末）已知圆的圆心坐标为，半径为2，圆与圆关于轴对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为圆与圆关于轴对称， 所以圆的圆心与点关于轴对称， 所以的坐标为， 又圆的半径为2，所以圆 半径为2， 所以圆的方程为， 故选：C. 32．（2024·高二单元测试）圆关于直线对称的圆是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心关于直线对称的点的坐标，即可得到对称圆的方程. 【详解】圆圆心为，半径为， 设点关于直线对称的点为， 则，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以圆关于直线对称的圆是. 故选：D. 33．（2024·全国·高三专题练习）与圆关于直线对称的圆的标准方程是______. 【答案】 【分析】先求得所求圆的圆心坐标，进而得到该圆的标准方程. 【详解】圆的圆心，半径， 点关于直线对称的点坐标为 则所求圆的标准方程为 故答案为： 34.（2024·四川成都·高二统考期末）已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径为， 关于直线的对称点是， 所以圆的圆心是，半径是， 所以圆的方程为. 故选：B 35．（2024·高二课时练习）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得圆的圆心坐标和半径，再求得关于的对称点，得到圆的圆心坐标，进而求得圆的方程. 【详解】由题意知,圆的圆心与关于直线对称，且两圆半径相等， 因为圆，即， 所以圆心，半径为， 设圆关于直线对称点为， 则，解得，即， 所以圆的方程为，即. 故选：A. 36．（2024·河南开封·高二统考期末）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果. 【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：A 37．（2024·高二课时练习）求圆关于直线的对称圆方程. 【答案】 【分析】求出已知圆的半径和圆心坐标，再求出其圆心关于直线对称的点的坐标，则可求对称圆的方程. 【详解】由可得， 故圆心坐标为 ，半径为1， 设点P关于直线的对称点为 ， 则有 ，解得，故 ， 所以圆关于直线的对称圆的方程为：. 38.（2024·四川凉山·高二校考阶段练习）若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是___________ 【答案】 【详解】解：圆的圆心为，圆的圆心为， 则线段的中点为， 因为圆和圆关于直线对称， 所以， 所以直线的方程是，即， 故答案为： 知识点3 点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. 2.判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0 点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0 题型四 点与圆的位置关系 解题策略：1.圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 2.点与圆的位置关系的判断与应用 (1)判断点与圆的位置关系的方法 ①只需计算该点与圆的圆心之间的距离，与半径作比较即可； ②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． (2)求解参数范围 若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围． （一）由圆的方程判断点与圆的位置关系 39.（2024·江苏·高二假期作业）点与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径，， 故点在圆内. 故选：B 40．【多选】（2024·高二课时练习）下列各点中，不在圆的外部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用给定的圆方程，把各选项中的点的坐标代入判断作答. 【详解】对于A，，点在圆内； 对于B，，点在圆外； 对于C，，在圆上； 对于D，，在圆内. 故选：ACD 41．（2024·江苏·高二假期作业）写出圆心为,半径为5的圆的标准方程,并判断点是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？ 【答案】答案见解析 【分析】将点的坐标代入圆的方程，验证是否在这个圆上．根据点到圆心的距离判断该点在圆外还是在圆内. 【详解】圆心为,半径为5的圆的标准方程是． 把点的坐标代入方程的左边, 得,左右两边相等, 点的坐标满足圆的方程,所以点在这个圆上． 把点的坐标代入方程的左边, 得,左右两边不相等, 点的坐标不满足圆的方程,所以点不在这个圆上． 又因为点到圆心A的距离． 故点在圆内． 42．（2024·高二课时练习）点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外. 【详解】因为，所以点在圆外， 故选：C （二）由点与圆的位置关系求参数的取值范围 解题策略：由点与圆的位置关系确定参数的范围时,可以根据点与圆的位置关系将方程中的等号变为“<”“>”或“=”,还可以用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来求解. 43.【多选】（2024·全国·高二专题练习）点在圆的内部，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由已知条件可得，即，解得. 故选：AD. 44．（2024·高二校考课时练习）若点在圆的内部，则a的取值范围是（　　）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果. 【详解】由题可知，半径，所以，把点代入方程， 则，解得，所以故a的取值范围是. 故选：D 45.（2024·全国·高三专题练习）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径为， 由得，则两直线与的交点为， 依题意得，解得. 故选：B 46.（23-24高二上·重庆·期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合点与圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 若点在圆外，则， 解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C. 47.（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【分析】由点在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可. 【详解】由题意知， 故， 又由圆的一般方程， 可得，即， 即或， 所以实数的范围为. 故选：C. 题型五 圆过定点问题 48．（2024·上海徐汇·高二上海中学校考期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 49．（2024·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期中）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【详解】将代入圆方程，得，解得或0， 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意. 故选：C． 50．（2024·高二课时练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 51．（2024·全国·高三专题练习）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______ 【答案】 【分析】设抛物线交轴于点，交轴于点、，根据题意设圆心为，求出，写出圆的方程，可得出关于、的方程组，即可得出圆所过定点的坐标. 【详解】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 52．（2024·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知曲线：． （1）当取何值时，方程表示圆？ （2）求证：不论为何值，曲线必过两定点． （3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）当时，可知方程表示直线；当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得； （3）根据（2）的结论，可知以为直径的圆面积最小，从而得到圆的方程，与已知方程对应相等可构造方程组，解方程组求得结果． 【详解】解：（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时方程表示圆． （2）证明：方程变形为． 由于取任何值，上式都成立，则有． 解得或 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点. （3）由（2）知曲线过定点A，，在这些圆中，以为直径的圆的面积最小（其余不以为直径的圆的直径大于的长，圆的面积也大）， 从而以为直径的圆的方程为， 所以，解得． 知识点4 圆的轨迹问题 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2.求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式． (2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程． (3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程． 代入法用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可；定义法即动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后根据定义直接写出动点的轨迹方程． 题型六 与圆有关的轨迹问题 解题策略：求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，设出动点M的坐标(x，y)． (2)列出点M满足条件的集合． (3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0. (4)将上述方程化简． (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点． 53．（上海市上海中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题）点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】设出动点，利用条件得到，再化简即可得到结果. 【详解】设点，由题知，两边平方化简得，即， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 54.（2024·高一单元测试）已知定点，是圆上的一动点，是的中点，则点的轨迹方程是_______________. 【答案】 【详解】如图所示，    设，，则，① 因为Q为AP的中点， 所以，② 所以由①②得：，即：， 所以点Q的轨迹方程为：. 故答案为：. 55．（2024·高二课时练习）已知圆：，过点的直线与圆交于点，，线段的中点为，则点的轨迹方程为___________. 【答案】 【分析】先判断点在圆内，连接，设出点的坐标，在利用垂径定理得到，写出和坐标，利用，得到，的关系，即可得出结果. 【详解】由圆：方程变形为标准式， 进而得出，所以点在圆内部， 又因为为线段的中点，连接，由垂径定理得， 设点的坐标，得，， 所以，得，整理得， 所以点的轨迹方程为， 故答案为：    56．（2024·安徽阜阳·高二校联考阶段练习）已知圆经过点，且被直线平分. (1)求圆的一般方程； (2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线方程求定点，结合圆的性质，可得圆心，利用两点之间距离公式，可得答案； （2）设动点坐标，根据题意，建立等量关系，代入圆的方程，可得答案. 【详解】（1）直线恒过点. 因为圆恒被直线平分， 所以恒过圆心， 所以圆心坐标为，又圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的方程为，即. （2）设.因为为线段的中点，所以， 因为点是圆上的动点，所以， 即，所以的轨迹方程为. 57．（2024·山东日照·高二校考阶段练习）已知圆C经过点且圆心C在直线上. (1)求圆C方程； (2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用待定系数法即得； （2）根据相关点法，设出点M的坐标，利用中点公式结合圆的方程即得. 【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为，则 ， 解之得， 所以圆C的标准方程为； （2）设M（x，y），，由及M为线段EF的中点得， 解得, 又点E在圆C：上， 所以有， 化简得：, 故所求的轨迹方程为． 58.（2024·浙江丽水·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是______． 【答案】 【详解】   如图所示，取OA中点D，连接DQ，则DQ为的一条中位线，， 即有DQ∥OP，且，故Q在以D为圆心，DQ长为半径的圆上， 所以Q的轨迹方程为. 故答案为：. 59.（2024·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程； 【答案】 【详解】 设，线段的中点， 因为为线段的中点，， ， ，即，得. 所以点的轨迹方程是． 60．（2024·高二课时练习）正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的取值范围为___________. 【答案】 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出点的轨迹方程为圆，再求出的取值范围即可. 【详解】如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则， 设点，则由， 得， 整理得， 即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 圆心M到点D的距离为，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：.    61.（23-24高二上·河北保定·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据题设，应用两点距离公式可得，整理并化为圆的标准形式，即可确定圆心. 【详解】令P(x，y)，则，两边平方并整理得：， ∴圆心为(4，0)． 故选：A． 62．【多选】（2024·高一单元测试）已知点，动点满足，则下面结论正确的为（    ） A．点的轨迹方程为 B．点到原点的距离的最大值为5 C．面积的最大值为4 D．的最大值为18 【答案】ABD 【分析】设动点，根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项，再由圆外一点到圆上一点的距离范围判断B和C选项，利用向量的数量积公式和代入消元法即可判断D选项. 【详解】设动点，则由得：， 即， 化简得：，即，所以A选项正确； 所以点轨迹是圆心为，半径为的圆， 则点到原点的距离最大值为，所以B选项正确； 又，和点轨迹的圆心都在轴上，且， 所以当圆的半径垂直于轴时，面积取得最大值，所以C选项错误； 又， 因为（）， 所以（）， 则，所以D选项正确； 故选：ABD. 知识点5 圆的最值 1.圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 2.与圆有关的最值问题常见的几种类型 (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题． (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．　 题型七 与圆有关的最值问题 63．（2024·高二课时练习）圆过点，求面积最小的圆的方程为_________ 【答案】 【分析】根据题意知所求圆为以为直径的圆，再利用条件即可求出结果. 【详解】当为直径时，过的圆的半径最小，从而面积最小，又， 所以，所求圆的圆心为中点，半径为，则所求圆的方程为：. 故答案为：. 64．（2024·高二课时练习）如果圆的方程为，那么当圆面积最大时，该圆的方程为________，最大面积为________． 【答案】 【分析】设圆的半径为，将圆的方程化为标准方程，可得.即可得出半径的最大值，以及的取值，代入圆的方程以及根据圆的面积公式，即可得出答案. 【详解】设圆的半径为， 将圆的方程化为标准方程可得，. 因为， 当最大时，圆的面积最大. 所以，当时，半径最大为1， 此时圆的方程为，面积为. 故答案为：；. 65．（2024·高二课时练习）已知圆经过点，且圆心在直线上运动，求当半径最小时的圆的标准方程为_______________ 【答案】 【分析】设出圆心，表达出半径，配方求出最小值，从而得到圆心和圆的标准方程. 【详解】设圆心， 则半径为， 故当时，取得最小值为，此时圆心为， 故当半径最小时的圆的方程为. 故答案为： 66．（2024·四川巴中·高二统考期末）已知圆C过点，当圆C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为______． 【答案】 【分析】根据圆的几何性质可知圆C到原点O的距离最小时，则，进而联立直线方程可得圆心坐标，即可求解. 【详解】由可得线段中点坐标为，又， 所以垂直平分线的方程为，所以圆心C在线段垂直平分线上， 当圆C到原点O的距离最小时，则,所以直线方程为， 联立，所以圆心, 又半径,故圆的方程为： 故答案为： 67．（2024·山东青岛·高二校联考期中）圆上的点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的一般方程化为标准方程得圆心及半径，圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径. 【详解】圆化为标准方程得， 圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为 所以圆上的点到直线的最大距离为. 故选:C. 68.（2024·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为（   ） A．34 B．40 C．44 D．48 【答案】B 【分析】借助点到直线的距离公式与圆上的点到定点距离的最值计算即可得. 【详解】设，则 ， 即等价于点到点的距离的平方的两倍加八， 又， 即. 故选：B. 69.（2024·广东佛山·统考模拟预测）已知圆：，过点的两条直线，互相垂直，圆心到直线，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【详解】过圆心C分别作直线，的垂线，垂足分别为，． ，互相垂直，所以四边形为矩形． 由圆C：，可得，又， ， 所以，当且仅当时取等号，即的最大值为1， 故选：B. 题型八 圆的方程的实际应用 70.（23-24高二上·广东东莞·期末）东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥（如下图）的跨度AB约为126米，拱高OP约为9米，该拱桥每隔约7米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与OP相距35米的吊杆MN的高度约为（    ）（参考数据：） A．7.3米 B．6.3米 C．5.3米 D．4.3米 【分析】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为，利用待定系数法求出圆的方程，将代入即可求得. 【详解】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 设圆心坐标为，则， 可设圆拱所在圆的方程为, 由题意可得：， 解得：， 所以所求圆的方程为， 将代入圆方程,得: , 因为，所以. 故选：B. 71.（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. 【分析】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为，将，，，代入化简即可得出答案； （2）将当代入圆的方程求出，与相比即可得出答案. 【详解】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为， 因为该拱圆过，，， 所以，解得． 所以拱圆的一般方程为， 即． （2）当时，， 得 所以该景区游船可以从桥下通过． $$