精品解析：2024年湖南省长沙市初中学业水平考试全真模拟试卷（二）

长沙市2024年初中学业水平考试全真模拟试卷（二） 数 学 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的． 请在答题卡中填涂符合题意的选项． 本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 小戴同学的微信钱包账单如图所示，表示收入8元，下列说法正确的是（ ） 微信账单： A. 表示收入3元 B. 表示支出3元 C. 表示支出元 D. 收支总和为11元 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 近年来我国芯片技术突飞猛进，在这领域常使用长度单位纳米（1纳米毫米），将数据“5纳米”用科学记数法表示为（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 4. 世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 对顶角相等 D. 两点确定一条直线 5. 下列汉字中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. AQI是空气质量指数简称，其数值越大说明空气污染状况越严重，对人体健康的危害也就越大．2023年某天5座城市的空气质量指数分别为，这组数据的中位数是（ ） A. 28 B. 32 C. 46 D. 50 7. 如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（ ） A B. C. D. 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 要测一个残损轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，再作弦的垂直平分线交于点C，交圆弧于点D，测出和的长度，即可计算出轮子的半径．若测得，则轮子的半径为（　　） A. B. C. D. 10. 世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（ ） A. 6分 B. 7分 C. 8分 D. 9分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 12. 分解因式：_____________． 13. 不等式组的解集是__________． 14. 如图，为的内接三角形，为的直径，点D在上，，则的度数等于__． 15. 第24 届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4 日在北京开幕，在全国掀起了冰雪运动的热潮．某校组织了关于冬奥知识竞答活动，并且对此次竞答活动成绩最高的小颖同学奖励两枚“2022北京冬梦之约”的邮票．现有如图所示“2022北京冬梦之约”的四枚邮票，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机选取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．小颖抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的概率____________． 16. 如图，四边形顶点是四边形各边中点，若把涂满红油漆需要桶，那么要把其余部分涂满黑颜色，需要_______桶 三、解答题（本大题共9小题，第17-19题每小题6分，第20-21题每小题8分，第22-23题每小题9分，第24-25题每小题10分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 建于明洪武七年（1374年），高度30米的聊城光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟，在30米高的光岳楼顶楼P处，利用自制测角仪测得正南方向商店A点的俯角为，又测得其正前方的海源阁宾馆B点的俯角为（如图②）．求商店与海源阁宾馆之间的距离（结果保留根号）． 图① 图② 20. 为了提高中学生身体素质，某中学开设了A：篮球、B：足球、C：跳绳、D：羽毛球四种体育活动．为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种），将数据进行整理并绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）这次调查中，一共调查了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若全校共有学生4000名，请你估计全校喜欢足球的有多少名学生？ 21. 如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 22. 聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元． （1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率； （2）2023年小区改造的平均费用为每个80万元，2024年为提高小区品质，每个小区改造费用计划增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？ 23. 如图1，的各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H． （1）求证：四边形为矩形； （2）如图2，当为矩形时， ①求证：四边形为正方形； ②若，四边形面积为6，求的长． 24. 定义：对于已知的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数，它的相关函数为. （1）已知点在一次函数相关函数的图像上，求的值； （2）已知二次函数. ①当点在这个函数的相关函数的图像上时，求的值； ②当时，求函数的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，连结.直接写出线段与二次函数的相关函数的图像有两个公共点时的取值范围. 25. 如图，已知等腰三角形内接于，点上一点（不与点重合），连接，且． （1）如图1，若为直径． ①求的值； ②求四边形的面积． （2）如图2，在上取一点，使，连接，交于点，若，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长沙市2024年初中学业水平考试全真模拟试卷（二） 数 学 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的． 请在答题卡中填涂符合题意的选项． 本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 小戴同学的微信钱包账单如图所示，表示收入8元，下列说法正确的是（ ） 微信账单： A. 表示收入3元 B. 表示支出3元 C. 表示支出元 D. 收支总和为11元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，收入为正，则支出为负，进行作答即可． 【详解】解：由题意，得：表示支出3元； 故选B． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式的应用，掌握同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方的法则，完全平方公式是解决问题的关键．利用同底数幂的除法法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，合并同类项法则，对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：，则A不符合题意； ，则B不符合题意； ，则C符合题意； ，不是同类项，无法合并，则D不符合题意； 故选：C． 3. 近年来我国芯片技术突飞猛进，在这领域常使用长度单位纳米（1纳米毫米），将数据“5纳米”用科学记数法表示为（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：5纳米毫米毫米， 故选：C． 4. 世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 对顶角相等 D. 两点确定一条直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行， 故选：A． 5. 下列汉字中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此作答即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 6. AQI是空气质量指数的简称，其数值越大说明空气污染状况越严重，对人体健康的危害也就越大．2023年某天5座城市的空气质量指数分别为，这组数据的中位数是（ ） A. 28 B. 32 C. 46 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数的求解，中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）． 【详解】解：将该组数据按照从小到大的顺序排列： 故中位数为：32 故选：B 7. 如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据一次函数交点求解二元一次方程组的解，解题的关键是掌握一次函数的交点是对应二元一次方程组的解，据此求解即可. 【详解】解：由图像可得，函数和的图象交于点P的坐标为， 则二元一次方程组的解为， 故选：B 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答． 【详解】解：由题意得：， 故选A. 【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键． 9. 要测一个残损轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，再作弦的垂直平分线交于点C，交圆弧于点D，测出和的长度，即可计算出轮子的半径．若测得，则轮子的半径为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．由垂径定理，可得出的长；连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：设圆心为O，连接． 在中，， 根据勾股定理得：，即：， 解得：； 故轮子半径为， 故选：B． 10. 世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（ ） A. 6分 B. 7分 C. 8分 D. 9分 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得小组赛的总场数为小组数×（小组数﹣1）÷2，可得3个队的总积分，进而分类讨论小组得6分或7分能否出线即可． 【详解】解：根据题意得：4个队单循环比赛共比赛4×3÷2=6场， 每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负）， 所以6场后各队的得分之和不超过18分， ①若一个队得7分，剩下3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线， ②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线． 故选B． 【点睛】本题考查了比赛问题中的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的突破点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识，利用二次根式的被开方数是非负数得出关于x的不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，综合提公因式和公式法求解是关键．先提取公因式，再根据完全平方公式求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 不等式组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴． 故答案为：． 14. 如图，为的内接三角形，为的直径，点D在上，，则的度数等于__． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余，先根据半径所对的圆周角是直角得出，进而得到，再根据同弧所对的圆周角相等得出，最后利用角的和差求解即可． 【详解】∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 15. 第24 届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4 日在北京开幕，在全国掀起了冰雪运动的热潮．某校组织了关于冬奥知识竞答活动，并且对此次竞答活动成绩最高的小颖同学奖励两枚“2022北京冬梦之约”的邮票．现有如图所示“2022北京冬梦之约”的四枚邮票，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机选取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．小颖抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的概率____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，画出树状图确定全部可能结果以及满足条件的情况，即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 一共有种等可能的情况，小颖抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的情况有种， ∴小颖抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的概率是：， 故答案为： 16. 如图，四边形顶点是四边形各边中点，若把涂满红油漆需要桶，那么要把其余部分涂满黑颜色，需要_______桶 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，中位线定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方；根据题意得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵分别是的中点， ∴， ∴ ∴，同理可得， 则 同理可得 ∴ 若把涂满红油漆需要桶，那么要把其余部分涂满黑颜色，需要桶, 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，第17-19题每小题6分，第20-21题每小题8分，第22-23题每小题9分，第24-25题每小题10分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了绝对值的性质和特殊角的三角函数值，先利用特殊角的三角函数值和二次根式的性质与化简代入计算，再加减是解题关键． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题是化简求值问题，考查了乘法公式，单项式乘以多项式法则，积的乘方的逆用．根据乘法公式、单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运算，代值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 19. 建于明洪武七年（1374年），高度30米的聊城光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟，在30米高的光岳楼顶楼P处，利用自制测角仪测得正南方向商店A点的俯角为，又测得其正前方的海源阁宾馆B点的俯角为（如图②）．求商店与海源阁宾馆之间的距离（结果保留根号）． 图① 图② 【答案】商店与海源阁宾馆之间的距离米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解决本题的关键是借助俯角构造直角三角形，运用三角函数定义表示与所求线段相关的线段的长度．利用的正切值可求得长，利用的正切值可求得长，即为商店与海源阁宾馆之间的距离． 【详解】解：∵两条水平线是平行的， ∴， ∵米，， ∴（米）， （米）， ∴（米）， 答：商店与海源阁宾馆之间的距离米． 20. 为了提高中学生身体素质，某中学开设了A：篮球、B：足球、C：跳绳、D：羽毛球四种体育活动．为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种），将数据进行整理并绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）这次调查中，一共调查了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若全校共有学生4000名，请你估计全校喜欢足球的有多少名学生？ 【答案】（1）一共调查了200名学生 （2）见解析 （3）估计全校喜欢足球的约有1400名学生 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图及扇形统计图，根据各统计图正确得出所需信息是解题关键． （1）根据喜欢A的人数和所占的百分比，可以求出总人数； （2）根据（1）中求得的总人数，乘以喜欢C所占的百分比，求出喜欢C的人数，补全统计图即可； （3）先根据扇形统计图求出足球所占的百分比，再用4000乘以百分比，求4000名学生中喜欢足球的人数即可． 【小问1详解】 解：（名） 答：一共调查了200名学生． 【小问2详解】 解：（名） 补全图形如图所示： 【小问3详解】 解：（名） 答：估计全校喜欢足球的约有1400名学生． 21. 如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查对平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质和判定等知识点． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据证出； （2）根据题意求得平行且相等即可证得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 22. 聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元． （1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率； （2）2023年小区改造的平均费用为每个80万元，2024年为提高小区品质，每个小区改造费用计划增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？ 【答案】（1）该市改造小区投入资金的年平均增长率为 （2）该市2024年最多可以改造个小区 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据“2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，每年投入资金的增长率相同”列出方程，即可求解； （2）设该市在2024年可以改造个老旧小区，根据题意，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为， ∵2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，每年投入资金的增长率相同， ∴， 解得：，（舍去）， 答：该市改造小区投入资金的年平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该市在2024年可以改造个老旧小区， 根据题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴的最大值为， 答：该市2024年最多可以改造个小区 23. 如图1，的各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H． （1）求证：四边形为矩形； （2）如图2，当为矩形时， ①求证：四边形为正方形； ②若，四边形的面积为6，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了特殊平行四边形综合， （1）根据平行四边形的邻角互补，以及角平分线平分角，得到四边形的四个内角均为，即可得证； （2）①由（1）可知，四边形为矩形，根据矩形的性质以及角平分线平分角，得到均为等腰直角三角形，进而推出，得到四边形为正方形；②根据正方形的面积为6，得到正方形的边长为，利用勾股定理和等腰三角形的性质，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理和等腰三角形的性质，求出的长． 【小问1详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：①同（1）法可得：四边形为矩形； ∵为矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， 即：， 又∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形； ②由①得：， ∵四边形的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的邻角互补，是解题的关键． 24. 定义：对于已知的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数，它的相关函数为. （1）已知点在一次函数的相关函数的图像上，求的值； （2）已知二次函数. ①当点在这个函数的相关函数的图像上时，求的值； ②当时，求函数的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，连结.直接写出线段与二次函数的相关函数的图像有两个公共点时的取值范围. 【答案】（1）1；（2）①、 ；②，；（3）， 【解析】 【分析】（1）先求出的相关函数，然后代入求解，即可得到答案； （2）先求出二次函数的相关函数，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可； ②当-3≤x＜0时，y=x2-4x+，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x2+4x-，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围． 【详解】解：（1）根据题意， 一次函数相关函数为， ∴把点代入，则 ， ∴； （2）根据题意，二次函数的相关函数为， ①当m＜0时，将B（m，）代入y=x2-4x+得m2-4m+， 解得：m=2+（舍去）或m=． 当m≥0时，将B（m，）代入y=-x2+4x-得：-m2+4m-=， 解得：m=2+或m=2． 综上所述：m=或m=或m=． ②当-3≤x＜0时，y=x2-4x+，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小， ∴当时，有最大值，即， ∴此时y的最大值为． 当0≤x≤3时，函数y=-x2+4x，抛物线的对称轴为x=2， 当x=0有最小值，最小值为， 当x=2时，有最大值，最大值y=． 综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x2+4x相关函数的最大值为，最小值为； （3）如图1所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点． ∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3． 如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1， ∴-n=1，解得：n=-1． ∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1）， ∴n=1． 如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线y=x2-4x-n经过点M（，1）， ∴+2-n=1，解得：n=． ∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键． 25. 如图，已知等腰三角形内接于，点为上一点（不与点重合），连接，且． （1）如图1，若为直径． ①求的值； ②求四边形的面积． （2）如图2，在上取一点，使，连接，交于点，若，求的长度． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据圆周角定理得出，根据为直径，得出，根据，得出； ②过点A作于点E，连接，根据勾股定理得出，求出，根据，得出，，证明垂直平分，根据，得出点O在上，证明，得出，求出，得出，求出，最后求出四边形的面积即可； （2）证明，得出，，，求出，得出，证明，得出，求出，得出，设，则，，求出，证明，得出，即，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴； ②过点A作于点E，连接，如图所示： ∵，， ∴， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴点O在上， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：，负值舍去， 即． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等和相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$