精品解析：2024年湖南省初中模拟数学信息卷（三）

湖南省初中模拟信息卷数学信息试卷（三） 时量：120分钟 满分：120分 注意事项； 1.答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2.答题时，切记答案要填写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3.考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 计算：的结果是（　　） A. 8 B. C. 2 D. 2. 为传承中华优秀传统文化，某校开展剪纸活动．下列剪纸作品中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 掷三枚质地均匀的正方体骰子，点数之和一定大于2 B. 明天下雨 C. 某篮球运动员投篮投进 D. 口袋中装有2个红球和1个蓝球，从中摸出2个球，其中必有蓝球 4. 黄金具有高度的延展性，经过反复地捶打，1克黄金可以打制成厚度为微米，大小约平方米的金箔纸，已知1微米米，则微米用科学记数法表示为米可表示为（　　） A. B. C. D. 5. 已知一次函数中 ，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 某物体如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 7. 某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障而维修，如图所示图像反映了他骑车上学的整个过程，则下列结论正确的是（ ） A. 修车花了25分钟 B. 小明家距离学校1000米 C. 修好车后骑行的速度是200米/分钟 D. 修好车后花了15分钟到达学校 8. 在反比例函数 的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，将任意四边形纸片剪掉一角得五边形，设四边形纸片与五边形纸片的内角和的度数分别为a 和β，则下列关系正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有A、B、C、D四个格点，下面四个结论中，正确的是（　　） A. A、B、C三点在一条直线上 B. 连接、，则是直角三角形 C. 连接， D. 连接、，则 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 已知，则___________． 13. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径卡钳，卡钳交叉点O 为的中点，测得，则零件内径的宽度_________． 14. 下图是根据甲、乙两城市一周的日均气温绘制的折线统计图，根据统计图判断本圈的日平均气温较稳定的城市是____________．（选填“甲”或“乙”） 15. 点向上平移5个单位，再向左平移2个单位得到点B，则点B的坐标为 ____________． 16. 小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h （单位：米）与在空中飞行的时间 t （单 位：秒）满足函数关系：，当篮球在空中的飞行时间____________秒时，篮球距离地面最高． 17. 某班开展图书交换阅读活动．甲、乙、丙三名同学有相同数量的图书、甲同学借给乙同学 4本，丙同学借给乙同学2本，一段时间后，他们约定：乙同学须将手中甲、丙两名同学现有图书数量总和的一半，借给甲同学，而后乙同学手上剩余图书的数量为______ 本． 18. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知，．当折痕GH最长时，线段BH的长为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，第19—20题每小题6分，第21—22题每小题8分，第 23—24题每小题9分，第25—26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，四边形． （1）尺规作图：作的平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，证明：点C 在的平分线上． 22. 物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为． （1）求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系， （2）求电流关于电路中的电阻的函数关系； （3）如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？ 23. 学校开展“阳光体育”运动，根据实际情况，决定开设篮球、健美操、跳绳、键球四个运动项目，了解学生最喜爱哪一个运动项目，学校从不同年级随机抽取部分学生进行调查，每人必须选择且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两幅统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有______人； （2）在扇形统计图中，求健美操项目所对应扇形圆心角的度数；并把条形统计图补充完整； （3）在最喜爱健美操项目的学生中，八年一班和八年二班各有2名同学有健美操基础，学校准备从这4人中随机抽取2人作为健美操领操员，请用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是同一个班级的概率． 24. 如图，的直径为，点 C、D是在圆上异于A、B的两点，过点C 作的垂线，交的延长线于点 E． （1）若，，求的值； （2）若是的平分线，求证：直线是的切线． 25. 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． （1）如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示． （2）如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，） 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点．其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）求的最大值； （3）若函数在其中范围内的最大值为，最小值为，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省初中模拟信息卷数学信息试卷（三） 时量：120分钟 满分：120分 注意事项； 1.答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2.答题时，切记答案要填写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3.考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 计算：的结果是（　　） A. 8 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法，根据加法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 为传承中华优秀传统文化，某校开展剪纸活动．下列剪纸作品中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选C． 3. 下列事件为必然事件是（ ） A. 掷三枚质地均匀的正方体骰子，点数之和一定大于2 B. 明天下雨 C. 某篮球运动员投篮投进 D. 口袋中装有2个红球和1个蓝球，从中摸出2个球，其中必有蓝球 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A、掷三枚质地均匀的正方体骰子，点数之和一定大于2，是必然事件，符合题意，选项正确； B、明天下雨，是随机事件，不符合题意，选项错误； C、某篮球运动员投篮投进，不符合题意，选项错误； D、口袋中装有2个红球和1个蓝球，从中摸出2个球，其中必有蓝球，是随机事件，不符合题意，选项错误； 故选：A． 4. 黄金具有高度的延展性，经过反复地捶打，1克黄金可以打制成厚度为微米，大小约平方米的金箔纸，已知1微米米，则微米用科学记数法表示为米可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 5. 已知一次函数中 ，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当时，y 随x 的增大而增大，当时，y 随x 的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数中 ，y 随x 的增大而增大， ∴， ∴， 故选：C． 6. 某物体如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从上往下看得到的视图判断即可． 【详解】解：根据俯视图的定义可知， 它的俯视图如图所示： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图，解题关键是理解三视图的定义，树立空间观念，准确识图． 7. 某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障而维修，如图所示的图像反映了他骑车上学的整个过程，则下列结论正确的是（ ） A. 修车花了25分钟 B. 小明家距离学校1000米 C. 修好车后骑行的速度是200米/分钟 D. 修好车后花了15分钟到达学校 【答案】C 【解析】 【分析】根据横坐标，可得时间；根据函数图像的纵坐标，可得路程． 【详解】解：A．由横坐标看出，小明修车时间为25-10=15（分钟），故本选项不符合题意； B．由纵坐标看出，小明家离学校距离2000米，故本选项不合题意； C．小明修好车后骑行到学校的平均速度是：（2000-1000）÷5=200（米/分钟），故本选项符合题意； D．由横坐标看出，小明修好车后花了30-25=5（分钟）到达学校，故本选项不合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图像，观察函数图像得出相应的时间，函数图像的纵坐标得出路程是解题关键． 8. 在反比例函数 的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了已知反比例函数的增减性求参数的取值范围，能根据反比例函数的增减性判断所在象限是解答本题的关键． 先根据“当，”得到反比例函数在二、四象限，进而得到，求解即可解答本题． 【详解】解：时，， 反比例函数在二、四象限， ， 解得：， 故选：A． 9. 如图，将任意四边形纸片剪掉一角得五边形，设四边形纸片与五边形纸片的内角和的度数分别为a 和β，则下列关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和问题，掌握多边形内角和公式是解题关键．先求出四边形纸片与五边形纸片的内角和的度数，再求解即可． 【详解】解：四边形的内角和，五边形的内角和， ， 故选：B． 10. 如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有A、B、C、D四个格点，下面四个结论中，正确的是（　　） A. A、B、C三点在一条直线上 B. 连接、，则是直角三角形 C. 连接， D. 连接、，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直线、三角形的分类、平移的性质，垂直的定义，理解网格的特点，掌握相关知识点是解题关键． 【详解】解：A、连接并延长，点不在直线上，即A、B、C三点不在一条直线上，结论错误，不符合题意； B、连接、，取格点，，而，即是钝角三角形，结论错误，不符合题意； C、连接，将点向上平移三个单位，再将点向上平移三个单位，点不在直线上，即不平行，结论错误，不符合题意； D、由网格可知，，结论正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：由题意知， 解得， 故答案为：． 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，利用整体代入法是解题关键．由可得，再整体代入求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 13. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O 为的中点，测得，则零件内径的宽度_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据题意易证明，则． 【详解】解：∵O 为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 下图是根据甲、乙两城市一周的日均气温绘制的折线统计图，根据统计图判断本圈的日平均气温较稳定的城市是____________．（选填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的性质：方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小.，判断即可． 【详解】解：由图知，乙的气温波动较小，故本周的日平均气温稳定的是乙城市． 故答案为：乙． 【点睛】本题主要考查了方差的性质，掌握利用方差判断稳定性是解题的关键． 15. 点向上平移5个单位，再向左平移2个单位得到点B，则点B的坐标为 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标的平移，掌握坐标平移的规律是解题关键．根据“左减右加（横轴），上加下减（纵轴）”，由此即可求解． 【详解】解：点向上平移5个单位，再向左平移2个单位得到点B， 则点B的坐标为，即， 故答案： 16. 小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h （单位：米）与在空中飞行的时间 t （单 位：秒）满足函数关系：，当篮球在空中的飞行时间____________秒时，篮球距离地面最高． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，篮球距离地面最高，则此时篮球处于二次函数的顶点处，把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，h有最大值，即此时篮球距离地面最高， ∴当篮球在空中的飞行时间为秒时，篮球距离地面最高， 故答案为：． 17. 某班开展图书交换阅读活动．甲、乙、丙三名同学有相同数量的图书、甲同学借给乙同学 4本，丙同学借给乙同学2本，一段时间后，他们约定：乙同学须将手中甲、丙两名同学现有图书数量总和的一半，借给甲同学，而后乙同学手上剩余图书的数量为______ 本． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减的意义，设一开始三名同学各有x本图书，则甲、丙借完图书给乙后乙有图书本，而甲、丙剩余图书之和为，再根据题意列式求解即可． 【详解】解：设一开始三名同学各有x本图书， 由题意得，乙同学手上剩余图书的数量为本， 故答案为：9． 18. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知，．当折痕GH最长时，线段BH的长为_________． 【答案】（或6.8） 【解析】 【分析】根据题意确定点E与点D重合时，折痕GH最长，根据翻折变换的性质得出，设，则在中根据勾股定理列出方程，解方程即可，再用即可求出答案． 【详解】当点E与点D重合时，GH最长，如图所示， 由折叠可知： 设，则 ∵四边形ABCD为矩形， ∴ 在中， ∵ ∴， 解得： ∴ 故填：（或6.8）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理的应用，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等，解题关键是确定折痕最长时E点的位置，根据题意列出方程求解． 三、解答题（本大题共8个小题，第19—20题每小题6分，第21—22题每小题8分，第 23—24题每小题9分，第25—26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，零指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先根据异分母分式加减法法则计算括号里的分式加减，再算乘除，化简后再将代入求值即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的相关运算法则是解题的关键． 21. 如图，四边形． （1）尺规作图：作的平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，证明：点C 在的平分线上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的判定，三线合一定理： （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）可证明垂直平分，由三线合一定理可知平分，即点C 在的平分线上． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：如图所示，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴由三线合一定理可知平分， ∴点C 在的平分线上． 22. 物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为． （1）求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系， （2）求电流关于电路中的电阻的函数关系； （3）如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？ 【答案】（1） （2） （3）接入电路的滑动变阻器的电阻为． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数应用，掌握串联电路的特点以及欧姆定理是解题关键． （1）根据串联电路的特点可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之和，即可求解； （2）由欧姆定律可知，，进而得出电源的电压为，即可求解； （3）将代入（2）所求解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之和， 电路中的电阻； 【小问2详解】 解：由欧姆定律可知，， 由题意可知，小灯泡的电阻为，当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为， ，解得：， 即电源的电压为， 电流关于电路中电阻的函数关系为； 【小问3详解】 解：电流表的读数为， ， 解得：， 答：接入电路的滑动变阻器的电阻为． 23. 学校开展“阳光体育”运动，根据实际情况，决定开设篮球、健美操、跳绳、键球四个运动项目，为了解学生最喜爱哪一个运动项目，学校从不同年级随机抽取部分学生进行调查，每人必须选择且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两幅统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有______人； （2）在扇形统计图中，求健美操项目所对应的扇形圆心角的度数；并把条形统计图补充完整； （3）在最喜爱健美操项目的学生中，八年一班和八年二班各有2名同学有健美操基础，学校准备从这4人中随机抽取2人作为健美操领操员，请用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是同一个班级的概率． 【答案】（1）50 （2）健美操项目所对应的扇形圆心角的度数为108°，补全统计图见解析 （3）选中的2名同学恰好是同一个班级的概率为 【解析】 【分析】（1）用参加篮球的20人数除以所占的百分比来求出本次调查的总人数； （2）用360度乘健美操项目人数除以总人数来求出健美操项目所对应的扇形圆心角的度数，再利用总人数分别减去篮球、健美操、键球人数得到跳绳的人数，并补全统计图即可； （3）画出列表，从中得到共有12种可能出现的结果，其中2人来自同一班级的有4种， 再利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：由图形可知，参加篮球的20人数占40%， 所以本次调查的学生共有（人）， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：健美操项目所对应的扇形圆心角的度数：， 喜欢跳绳的学生人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：用列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有12种可能出现的结果，其中2人来自同一班级的有4种， 所以，从一班2人，二班2人中任取2人，来自同一班级的概率为， 答：选中的2名同学恰好是同一个班级的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计，用树状图或列表法求概率，理解相关知识是解答关键． 24. 如图，的直径为，点 C、D是在圆上异于A、B的两点，过点C 作的垂线，交的延长线于点 E． （1）若，，求值； （2）若是的平分线，求证：直线是的切线． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆周角，解直角三角形的应用，圆内接四边形，圆的切线的判定，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）根据圆的直径所对的圆周角是直角，得到，进而得出，再根据圆内接四边形的性质，得出，即可求解； （2）连接，根据角平分线的定义和圆周角定理，得到，推出，进而得到，即可证明结论． 【小问1详解】 解：的直径为， ， ，， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，连接， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 直线是的切线． 25. 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． （1）如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示． （2）如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案； （2）根据题意，，在中，，由等腰直角三角形性质得到；在中，，由，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 由题意知， 在中，，则，即， ； 【小问2详解】 解：如图所示： ， 在中，，由等腰直角三角形性质得到， 在中，， 由， 即， 解得， 气球离地面的高度． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及直角三角形性质、等腰直角三角形性质和正切函数测高等，熟练掌握解直角三角形的方法及相关知识点是解决问题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点．其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）求的最大值； （3）若函数在其中范围内的最大值为，最小值为，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，可得，，，故，再用待定系数法得抛物线的解析式为； （2）过作交抛物线于，由，得直线解析式为，设，可得，根据，有，由二次函数性质即得的最大值为； （3）求出抛物线的对称轴为直线，由，知，故，，可得，根据，得，即可解得答案． 【小问1详解】 解：在中，令得， ， ， 又，， ， ， ， ， 把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 过作交抛物线于，如图： 由，得直线解析式为， 设， 在中，令得： ， 解得， ，， ， ， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 的最大值为； 【小问3详解】 ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，中，随的增大而增大， ， ， 在（其中）范围内， 当时，取最大值，即， 当时，取最小值．即， ， ， ， 解得， ， 的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$