第1章一元二次方程复习题-2024-2025学年苏科版数学九年级上册

第一讲：一元二次方程 题型1：一元二次方程的概念 1.请判别下列哪个方程是一元二次方程（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+5＝0 C． D．3x+8＝6x+2 2.若关于的方程是一元二次方程，则的值是（  ） A．0 B． C．1 D． 题型2：一元二次方程的概念解 3.若a是关于x的方程的一个根，则的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 4.如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（  ） A． B．2023 C．2024 D．2025 5.若，则一元二次方程必有一个根是（  ） A．0 B．1 C． D． 题型3：解一元一次方程 6.直接平方法（1）2x2﹣8＝0 （2）（3x+2）2＝16 7.配方法（1）x2+4x﹣5＝0． （2）3x2+9x﹣1＝0． 8.公式法（1）x2+3x﹣4＝0 （2）2x2﹣4x﹣1＝0 9.因式分解法（1）x2﹣2x+1＝16 （2）(x－2) 2＝(2x-3)2 （3） （4） （5） （6） 题型4：根的判别式 10.关于x的一元二次方程（其中）的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不等的实数根 11.已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 12.已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）己知5是此方程的一个根，求k的值和这个方程的另一个根. 题型5：根与系数的关系 13.设x1、x2是方程x2+mx﹣2＝0的两个根，且x1+x2＝2x1x2，则m＝　 　． 14.已知、是一元二次方程的两个根，则的值是___________. 15.已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为 ． 16.已知，是一元二次方程的两个根，则的值于 ． 17.已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于__________. 题型6：用一元二次方程解决问题 18.用手机抢红包是大家春节期间进行交流联系、增强感情的一部分．下面是宁宁和她的妹妹在春节期间的对话。请问：（1）2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是多少？ （2）2024年除夕，宁宁和她妹妹用手机各抢到了多少元的红包？ 19.如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？ (2)能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长； 若不能，请说明理由． 20.超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为元，每天可售出件．根据市场调查发现，销售单价每增加元，每天销售量会减少件．设销售单价增加元． (1)每天售出件数_______．（用含有的式子表示）； (2)若市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过元，那么当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润元？ 21.如图，在中，，点P从A点出发，以的速度向B点动，点Q从B点出发，以的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发．请回答： （1）经过几秒后的面积等于？ （2）的面积能否等于，并说明理由？ 题型7：新定义等材料题 22.定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值． 23.小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于 对称； （2）若关于的多项式关于对称，则 ； （3）关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 24.配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知34是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式； （2）若可配方成（m、n为常数），则_________； 【探究问题】（1）已知，则　　； （2）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求 出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】已知实数x、y满足，求的最值． 课后作业： 1.下列方程中，关于的一元二次方程的是（  ） A. B． C． D． 2.一元二次方程2x2－1＝4x化成一般形式后，常数项是－1，一次项系数是（　　） A．2 B．－2 C．4 D．－4 3.若关于x的一元二次方程k-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（  ） A．k<1 B．k<1且k1 C．k1 D．k>1 4.方程的两根为，则等于（  ） A．4 B．－4 C．3 D．－3 5.若a是的一个根，则的值是（  ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 6.解方程（x-1）2-5（x-1）+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体，设x-1=y，则原方程可化为 y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即x-1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2-4（2x+5）+3=0的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 7.将一个正方形剪成①、②、③、④四块（如图1），恰能拼成如图2的矩形，若，则这个正方形的面积为（  ） A． B． C．9 D． 8.关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则a的值为（  ） A．-3 B．0 C．1 D．-3或0 9.如果关于x的方程（m﹣3）x|m-1|﹣3x＋1＝0是一元二次方程，则m＝_____． 10.二次三项式方程-4x-3的最值为____________． 11.某饲料厂一月份生产饲料500吨，三月份生产饲料720吨，若二、三月份每月平均增长的百分率为x，根据题意，则可列方程为_____________． 12.若a、b是方程的两根，则_______；=_________. 13.解方程．(1)3x2﹣1＝4x； （2）（x＋4）2＝5（x＋4）． （3） 14.如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 15.已知关于x的方程． (1)求证：不论k为何值，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为－4，求k的值和另一个根． 16.某商店销售一款口罩，每袋的进价为12元．当售价为每袋18元时，日均销售量为100袋．经市场调查发现，每袋售价涨价1元，日均销售量减少5袋．设口罩每袋涨价为：x元 （1）当x=3时，销售量是___________． （2）物价部门规定，该款口罩的每袋售价不得高于22元．当每袋涨价多少元时，商店销售该款口罩所得的日均利润为720元？ 17.【阅读材料】求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． 【直接应用】方程的解是，________，________． 【类比迁移】解方程：． 【问题解决】如图，在矩形中，，，点在上，若，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$