精品解析：2024年浙江省金华市南苑中学九年级适应性检测数学试题

九年级数学学科适应性检测试题卷 考生须知： 1.全卷分试题卷I、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共4页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时长为120分钟． 2.请将学校、班级、姓名和准考证号分别填写在答题卷的规定位置上． 3.答题时，把试题卷I的答案在答题卷I上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效． 4.不允许使用计算器． 卷I 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面哪个数的绝对值最小（ ） A. 0 B. C. D. 2. 某种芯片每个探针单元的面积为0.0000064cm2，0.0000064用科学记数法表示为( ) A. 6.4×10－5 B. 6.4×106 C. 6.4×10－6 D. 6.4×105 3. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 从3.14，0，，这四个数中任取一个数，取到无理数的概率是 （ ） A. B. C. D. 5. 下列运算，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 南苑中学42个班每个班分别选出一位同学参加校园十佳歌手比赛，下表是各班选手得分的情况，则该校选手得分的众数和中位数分别为（ ） 选手得分 91 92 93 94 96 97 得分人数 5 7 10 12 6 2 A. 11，13 B. 92， 93 C. 94，93 D. 93，94 7. 如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为， 测量得到， 蜡烛高为， 则像的长为（ ） A. B. C. D. 8. 将平行四边形的边与边分别绕点A、点B逆时针旋转，得到矩形， 若此时、D、B 恰好共线，，，那么边扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 9 9. 已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ） A 2 B. C. 4 D. 10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：=______． 12. 已知点位于第三象限，则a的取值范围是________． 13. 如图，矩形中，，．以点A为圆心，将边顺时针旋转，交于点，得到扇形，扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆半径是________． 14. 关于x的方程： 的解为正数，则m 的取值范围________． 15. 如图，矩形OABC位于直角坐标系中，点在第一象限内，点A在x轴上，点C在y轴上，反比例函数的图象交于点，交于点，点在边上．若恰好是以为斜边的等腰直角三角形，则k的值为__________． 16. 如图，在中，，，，点为上一点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点对应点为点，连接，． （1）当点D是的中点时，的最小值为______________ ； （2）当，且点Q在直线上时，连接，则的值为_______________． 三、解答题（本题有8小题，共72分，各题都必须写出必要的解答过程） 17. （1）解不等式组： （2）化简： 18. 如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． （1）如图1，在线段上找一点D，使得是三角形的中线． （2）如图2，在线段上找一点E，使得； （3）如图3，在三角形内寻找格点P，使得． 19. 某中学开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球五项球类活动，为了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一项），并根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）______，______，并补全条形统计图； （2）若全校共有1800名学生，求该校约有多少名学生爱踢足球； （3）在抽查的m名学生中，学校打算从喜欢羽毛球运动的甲、乙、丙、丁四人中选取2名参加区中学生羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法求同时选中甲、丙的概率． 20. 为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为． （1）求坐垫E到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到．参考数据：，，） 21. 如图，一次函数与反比例函数为的图象交于，两点． （1）求两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为5，求点Q的坐标． 22. 如图1，是小明设计一个数学原理图．如图2将两块形状相同，大小不相同的直角三角形纸片放入中，其中，圆心O在直角边上．连接并延长，交于点F．若． （1）求的半径． （2）求证： （3）求的长 ． 23. 已知抛物线，点O平面直角坐标系原点，点A坐标为． （1）抛物线必经过的定点是_______，_______ （2）若抛物线过点A，当时函数的最大值为p，最小值为q，求的值． （3）若抛物线与线段只有一个交点，求a的取值范围． 24. 如图，在菱形中，，为对角线，点E是边延长线上的任意一点，连结交于点F，平分交于点G，若． （1）__________； （2）求菱形的面积； （3）当时，求的值； （4）当时，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学学科适应性检测试题卷 考生须知： 1.全卷分试题卷I、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共4页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时长为120分钟． 2.请将学校、班级、姓名和准考证号分别填写在答题卷的规定位置上． 3.答题时，把试题卷I的答案在答题卷I上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效． 4.不允许使用计算器． 卷I 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面哪个数绝对值最小（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是有理数大小比较，根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可，熟知绝对值的性质是解答此题的关键． 【详解】解：，，，，， ， 的绝对值最小． 故选：A． 2. 某种芯片每个探针单元的面积为0.0000064cm2，0.0000064用科学记数法表示为( ) A. 6.4×10－5 B. 6.4×106 C. 6.4×10－6 D. 6.4×105 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 3. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形” 根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形. 故选：B. 4. 从3.14，0，，这四个数中任取一个数，取到无理数的概率是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率计算、无理数等知识，首先确定四个数中无理数有1个，然后根据简单概率计算公式求解即可，熟练掌握简单概率计算公式是解题关键． 【详解】解：3.14，0，，这四个数中，无理数为，共计1个， 所以，从这四个数中任取一个数，取到无理数的概率是． 故选：D 5. 下列运算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方的运算法则逐一计算即可解答，根据运算法则准确计算是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D符合题意． 故选：D． 6. 南苑中学42个班每个班分别选出一位同学参加校园十佳歌手比赛，下表是各班选手得分的情况，则该校选手得分的众数和中位数分别为（ ） 选手得分 91 92 93 94 96 97 得分人数 5 7 10 12 6 2 A. 11，13 B. 92， 93 C. 94，93 D. 93，94 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数，根据众数和平均数概念求解，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数． 【详解】解：众数是一组数据中出现次数最多的数据， 故众数是94 把数据按从小到大顺序排列，可得中位数． 故选：C． 7. 如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为， 测量得到， 蜡烛高为， 则像的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．通过证明，得出，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 将平行四边形的边与边分别绕点A、点B逆时针旋转，得到矩形， 若此时、D、B 恰好共线，，，那么边扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作,平行四边形的面积就是扫过的面积. 【详解】解：连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作, 扫过的面积为,及，围成的面积，即平行四边形的面积就是扫过的面积. 由旋转可知，， ， 是平行四边形， 中，， ， ， 故选A． 9. 已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得两个抛物线与x轴的交点坐标，据此求解即可． 【详解】解：令，则和， 解得或或或， 不妨设， ∵和关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， ∴与原点关于点对称， ∴， ∴或（舍去）， ∵抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为， ∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余角的性质得到∠FAC＝∠ABC，根据全等三角形的性质得到S△FAM＝S△ABN，推出S△ABC＝S四边形FNCM，根据勾股定理得到AC2＋BC2＝AB2，解方程组得到3AB2＝57，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形ABGF是正方形， ∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°， ∴∠FAC＋∠BAC＝∠FAC＋∠ABC＝90°， ∴∠FAC＝∠ABC， 在△FAM与△ABN中， ， ∴△FAM≌△ABN（AAS）， ∴S△FAM＝S△ABN， ∴S△ABC＝S四边形FNCM， ∵在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∵AC＋BC＝6， ∴（AC＋BC）2＝AC2＋BC2＋2AC•BC＝36， ∴AB2＋2AC•BC＝36， ∵AB2﹣2S△ABC＝10.5， ∴AB2﹣AC•BC＝10.5， ∴3AB2＝57， 解得AB＝或﹣（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握割补法得出图形面积之间的关系是解题关键． 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：=______． 【答案】3（x+3）（x﹣3） 【解析】 【详解】解：原式==3（x+3）（x﹣3）， 故答案为3（x+3）（x﹣3）． 12. 已知点位于第三象限，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，在第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点位于第三象限， ∴ ∴ 故答案为： 13. 如图，矩形中，，．以点A为圆心，将边顺时针旋转，交于点，得到扇形，扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆半径是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及弧长公式的应用，先求出，再由弧长公式求出的长，进一步求出该圆锥的底面圆半径，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， 的长， 该圆锥的底面圆半径为：， 故答案为：． 14. 关于x的方程： 的解为正数，则m 的取值范围________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数，确定出的范围即可，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 分式方程的解为正数， 且， 解得：且． 故答案为：且． 15. 如图，矩形OABC位于直角坐标系中，点在第一象限内，点A在x轴上，点C在y轴上，反比例函数的图象交于点，交于点，点在边上．若恰好是以为斜边的等腰直角三角形，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作于，易证得，，，根据题意，，得出，即可得出，进而得出，解得即可，表示出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：作于， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点， ，， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，点为上一点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，． （1）当点D是的中点时，的最小值为______________ ； （2）当，且点Q在直线上时，连接，则的值为_______________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理得到长，当点在上时，最小，计算即可； （2）现根据三角形的面积求出长，然后利用勾勾股定理求出长，分两种情况：当点在上，当点在的延长线上，分别进行计算即可解答． 【详解】解：（1）当点是的中点时，如图所示，以为圆心，以长为半径作圆，交于点，则为最小值， ，，， ， 是的中点， ， ， ， 故答案为：； ； （2）如图： ， ， ， ， ， 点、、在同一条直线上，由旋转得： ， 分两种情况： 当点上，过点作，交于点， ， ， ， 即， ， ， ， ； 当点在的延长线上，过点作，交于点， 同理可得， 综上所述： 的值为或， 故答案为：或． 三、解答题（本题有8小题，共72分，各题都必须写出必要的解答过程） 17. （1）解不等式组： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解不等式，整式的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）分别解出两个不等式，求出解集的公共部分，进而得到不等式组的解集； （2）根据整式的混合运算法则把原式化简即可． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为； （2）原式． 18. 如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． （1）如图1，在线段上找一点D，使得是三角形的中线． （2）如图2，在线段上找一点E，使得； （3）如图3，在三角形内寻找格点P，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用矩形对角线相互平分，即可得到的中点，即可解答； （2）分别取格点，，使，且，连接，交于点E，结合相似三角形的判定与性质可知，点E即为所求； （3）分别作线段，的垂直平分线，相交于点，利用圆周角定理即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，利用矩形对角线相互平分，可得， 是三角形的中线； 【小问2详解】 解：如图2，取格点，，使，且，连接，交于点E， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图3，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，连接，，， 根据垂直平分线的性质可得， 在以点为圆心，长度为半径的圆上， 根据圆周角定理可得， 故点P即为所求． 19. 某中学开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球五项球类活动，为了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一项），并根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）______，______，并补全条形统计图； （2）若全校共有1800名学生，求该校约有多少名学生爱踢足球； （3）在抽查的m名学生中，学校打算从喜欢羽毛球运动的甲、乙、丙、丁四人中选取2名参加区中学生羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法求同时选中甲、丙的概率． 【答案】（1）100，5，条形统计图补全见解析 （2）该校约有名学生爱踢足球 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）篮球30人占，可得总人数，由此可以计算出，再求出足球人数为35人，即可解决问题； （2）用样本估计总体的思想即可解决问题； （3）画出树状图，共有12种可能出现的结果，同时选中甲、丙的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意， 选择排球的人数所占的百分比为：， ， 选择足球的人数为：人， 补全条形统计图如下： 故答案为：100，5， 【小问2详解】 解：人 即该校约有名学生爱踢足球； 【小问3详解】 解：画树状图得： 共有12种可能出现的结果，同时选中甲、丙的结果有2种， 同时选中甲、丙的概率为． 20. 为积极响应绿色出行号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为． （1）求坐垫E到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到．参考数据：，，） 【答案】（1）坐垫到地面的距离约为 （2）的长约为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义． （1）通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解即可； （2）根据坐㻗到的距离调整为人体腿长的0.8时，由小明的腿长约为，求出，进而求出即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为， 根据题意可知，，， ， ， 在中，， 所以坐垫到地面的距离为， 答：坐垫到地面的距离约为； 【小问2详解】 如图，由题意得，当时，人骑行最舒服， 在中，， 所以， 答：的长约为． 21. 如图，一次函数与反比例函数为的图象交于，两点． （1）求两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为5，求点Q的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键； （1）将点坐标代入即可得出反比例函数，求得函数的解析式，进而求得的坐标，再将、两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）由函数的图象即可得出反比例函数的值大于一次函数值且大于零的的取值范围； （3）由题意，设且，则，求得，根据三角形面积公式得到，解得即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴反比例函数的解析式为， 把代入，得， ∴点坐标为， ∵一次函数解析式，经过，， 故得 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 ∵，， ∴由图象可得，当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方，且都在x轴上方 ∴时x的取值范围或； 【小问3详解】 由题意，设且， 解得， 或． 22. 如图1，是小明设计一个的数学原理图．如图2将两块形状相同，大小不相同的直角三角形纸片放入中，其中，圆心O在直角边上．连接并延长，交于点F．若． （1）求的半径． （2）求证： （3）求的长 ． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，余角的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理．熟练掌握相关判定与性质是解题的关键． （1）由垂径定理得，在中，由勾股定理求得．在中，由勾股定理求得，即，求解即可． （2）先由余角性质得，再由等腰三角形的性质得，又由，即可由相似三角形的判定定理得出结论； （3）根据，，可得，解得．在中，．再由（2）求解即可． 【小问1详解】 解：，圆心在边上， ． 在中， ． 在中， ， ，解得． 的半径为． 【小问2详解】 证明：，， ． ， ， ． ， ， ，即． 【小问3详解】 解：，， ，解得． 在中，． ，即， ． 23. 已知抛物线，点O为平面直角坐标系原点，点A坐标为． （1）抛物线必经过的定点是_______，_______ （2）若抛物线过点A，当时函数的最大值为p，最小值为q，求的值． （3）若抛物线与线段只有一个交点，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意得，根据当或时，，即可求解； （2）利用待定系数法求得解析式为，再根据二次函数的性质即可求解； （3）根据题意得的解析式为，，顶点为，分两种情况：当时，原点在上方，顶点在线段下方，当时，原点在上方，在下方，根据抛物线与线段只有一个交点分别讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，当时，， ∴抛物线必经过定点和， 故答案为：，； 【小问2详解】 将代入，得，解得， 即：抛物线的解析式为：， 当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， 当时，，当时，， 则当时函数的最大值为，最小值为，即：，， ∴； 【小问3详解】 ∵点坐标， ∴的解析式为， ，则顶点为， 若，则，若，则， 当时，原点在上方，顶点在线段下方， 要使抛物线与线段只有一个交点，需使得在上方， ∴，解得； 当时，原点在上方，在下方， 要使抛物线与线段只有一个交点，只需要使得有两个相等的解， 即：有两个相等的解，且该解在0到4之间， ∴，解得： 又∵，则， ∴， ∴； 综上，抛物线与线段只有一个交点时，或． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的根据． 24. 如图，在菱形中，，为对角线，点E是边延长线上的任意一点，连结交于点F，平分交于点G，若． （1）__________； （2）求菱形的面积； （3）当时，求的值； （4）当时，求的长． 【答案】（1）90 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得，，可证明，得，而，所以； （2）过点作于，根据菱形性质得，再解直角三角形求得，再根据菱形的面积公式即可求解； （3）由菱形的性质可知，则，设，则，求得，利用角平分线的性质可得，即可求解； （4）由（2）可知，结合勾股定理可得，，则，由，可知，则，由（3）可知，，再证，得，求得，则，，由勾股定理得，根据即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ∵平分交于点， ， ． 故答案为：90； 【小问2详解】 在菱形中，， 过点作于， ∴， ∴菱形的面积； 【小问3详解】 在形中，，， ∴， 则，设，则， ∴， 设点到，的距离分别为，，点到的距离为， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 【小问4详解】 由（2）可知，则， ∴，则， ∵， ∴，则， 由（3）可知，， ∵，则 ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$