精品解析：广东省深圳市南实集团南海中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题

南实集团南海中学2024-2025学年第一学期九年级开学考数学试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形” 根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形. 故选：B. 2. 下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意； B、不是因式分解，故本选项不符合题意； C、不是因式分解，故本选项不符合题意； D、是因式分解，故本选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 3. 一元二次方程的根的情况是(　　) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 4. 某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下： 工程队 每天施工面积（单位：） 施工总面积（单位：） 施工时间（单位：天） 甲 两个工程队同时完成工作任务 乙 x 根据以上信息求x的值，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．根据两个工程队用时相同，可列方程，然后作答即可． 【详解】解：依题意得，， 故选：A． 5. 如图，的对角线，交于点，已知，，的周长为，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，，进而由的周长为即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵的周长为， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，在中，，为中线，为的中点，交于点，若， ，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 2.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知CE的长度，再根据中位线定理，即可求得DF的长度． 【详解】解：∵在中，，为中线，，， ∴, ∴， ∵为的中点， ∴, ∵，点D是BC的中点， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及中位线定理，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键． 7. 如图所示，在正方形中，O是对角线的交点，过O作，分别交于E、F，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先利用证明，故得，进而得出，在中利用勾股定理即可解得的长．本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 又， ， ， ∴， ， 又， ， ∴中，． 故选：C． 8. 已知三个实数，，满足，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质以及完全平方公式的应用；将得到，根据得出，将，代入即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 综上：，， 故选：B． 二．填空题（每题3分，共15分） 9. 某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 10. 已知，是一元二次方程的两个根，则__． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，代入计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ，． ∴． 故答案为：1． 11. 若正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的一个内角度数是_____． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和与外角和，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 设这个正多边形是n边形，根据正多边形的内角和是外角和的2倍，列出一元一次方程，求出n的值，再根据多边形的内角和公式，即可解答． 【详解】解：设这个正多边形是n边形，依题意，得 ， 解得， ∴这个正多边形的一个内角度数是． 故答案为：． 12. 如图，，平分，于D，交于C．若则______，______． 【答案】 ①. 10 ②. 5 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质的应用，求出，即可得出，根据角平分线的性质得出是解题的关键． 【详解】∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过P作于点E， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， 故答案为：，． 13. 如图，矩形中，，，点是矩形内一个动点，且满足，点是内一个点，则的最小值为 __． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，解直角三角形，作交于点，求出，将绕点逆时针旋转得，连接，则是等边三角形，当、、、共线，且时，最小，其值为的长，解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，作交于点， 由题意得：， ， 点在与平行，且距离为2的直线上运动， 将绕点逆时针旋转得，连接， 则是等边三角形， ，， 当、、、共线，且时，最小，其值为的长， 设交于点， ，， ， ， 最小值为， 故答案为：． 三．解答题（共61分） 14. 解不等式组：，并写出它的正整数解． 【答案】，正整数解为1，2，3 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组并求出其整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的方法是解答此题的关键．再求出每个不等式的解，再求出解集，然后再找到对应的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①： 解不等式②： 故不等式组的解集为：， 正整数解为：1，2，3． 15. 计算： （1）先化简，再求值：，其中． （2）解方程．． 【答案】（1）； （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，解分式方程等知识．熟练掌握分式的化简求值，分母有理化，解分式方程是解题的关键． （1）先通分计算加法，然后进行除法，最后进行减法运算可得化简结果，最后代值求解即可； （2）先去分母将分式方程化成整式方程，求整式方程的解，最后进行检验即可． 【小问1详解】 解： ； 当时，原式． 【小问2详解】 解：， ， ， 解得，， 经检验，是原方程的增根， ∴原方程无解． 16. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到，请画出（其中的对应点分别为，，）； （2）再将线段绕点顺时针旋转得到线段，请画出线段； （3）在网格内描出两个格点，请画出直线，使得直线垂直平分线段． 【答案】（1） 如图，即为所作， ； （2） 如图，即为所作， ； （3） 如图，直线即为所作， ． 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，线段垂直平分线的性质，熟练掌握平移变换的性质、旋转变换的性质是解此题的关键． （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点，，，再顺次连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，即可得出答案； （3）根据线段垂直平分线的性质画出得直线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为． （1）求证：； （2）过点作于点，若，求的面积. 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，全等三角形，角平分线的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，即可． （1）根据平行四边形的性质，则，，，则，根据、分别平分、，全等三角形的判定和性质，即可； （2）过点作于点，根据角平分线的性质，则；根据平行四边形的周长，则，根据，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点， ∵是的角平分线，， ∴， ∵平行四边形的周长为， ∴， ∵， ∴． 18. 中华优秀传统文化源远流长,是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用720元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买6本． （1）求两种图书的单价分别为多少元； （2）为筹备“国际数学节 3月14日”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大,书店打折优惠，两种图书均按九折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少． 【答案】（1）《孙子算经》30元，《周髀算经》40元； （2）《孙子算经》106本，《周髀算经》54本，最少4806元． 【解析】 【分析】（1）设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元，利用数量总价单价，结合用720元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买6本，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出《周髀算经》的单价，再将其代入中，即可求出《孙子算经》的单价； （2）设购买本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购买这两种图书共花费元，利用总费用单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【小问1详解】 解：设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元； 【小问2详解】 解：设购买本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》， 根据题意得：， 解得：． 设购买这两种图书共花费元，则， ， ， 随的增大而减小， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时． 答：当购买106本《孙子算经》、54本《周髀算经》时，总费用最少． 19. 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材 如图是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示． 素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①②两种长方形纸板，其中． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 裁去角上个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，则长方形纸板宽为______． 目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 【答案】目标1：； 目标2：（1）； （2）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为， 折叠后的储物箱如图： 则， 解得， 制作的收纳盒的高为，底面长和宽为、， ∵储物盒的高玩具机械狗的高， 玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 【解析】 【分析】目标1：根据图2中储物盒放置区域的长为即可求出长方形纸板①四角截去的小正方形的边长，由此再根据几何关系即可求出a； 目标2：（1）设角上截去的四个小正方形边长为，用x表示出储物盒的底面长和宽，根据底面的面积列出方程，解方程求出x即可求得储物盒的高，再根据长方体体积公式即可得到答案； （2）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为．表示出折叠后的储物和长宽高，根据几何关系列出方程组，求解方程组得到x和y的值，从而可求出储物盒的长宽高，与机械狗的长宽高进行比较即可进行判断． 本题考查了长方体的展开图，找准几何关系并列出方程是解题关键． 【详解】目标1： 解：储物区域的长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则①中的四角裁去小正方形的边长为， 则收纳盒的宽小正方形的边长． 故答案为：40； 目标2： （1）已知，储物盒底面积为，设角上截去的4个小正方形边长为，， 则， 化为或（舍去）， ∴收纳盒的高为，体积为， 则储物盒的容积为； （2）略 20. 阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 如图①，在等边中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是的外角的平分线上一点，且．求证：． （1）点拨：如图②，作，与的延长线相交于点E，得等边，连接EM．易证：，请完成剩余证明过程： （2）拓展：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，），是正方形的外角的平分线上一点，且，求证：． （3）思维迁移：结合上面的思维探究，你对（1）中证明、（2）中证明是否有不同的思路，选（1）、（2）中的一个结论加以证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：如图③，延长到，使，连接、， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是正方形的外角的平分线上一点， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 解：选（1），证明如下： 由等边三角形的性质，外角平分线，可得，， 如图①，延长到，使，连接， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由，可得，，则，，根据，计算求解即可证明结论； （2）如图③，延长到，使，连接、， 则是等腰直角三角形，由，可证三点共线，证明，则，，，，根据，计算求解即可证明结论； （3）选（1），由等边三角形的性质，外角平分线，可得，，如图①，延长到，使，连接，证明，则，，，，根据，计算求解即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，正方形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握等边三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边对等角是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南实集团南海中学2024-2025学年第一学期九年级开学考数学试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是(　　) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下： 工程队 每天施工面积（单位：） 施工总面积（单位：） 施工时间（单位：天） 甲 两个工程队同时完成工作任务 乙 x 根据以上信息求x的值，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的对角线，交于点，已知，，的周长为，则的长为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在中，，为中线，为的中点，交于点，若， ，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 2.5 7. 如图所示，在正方形中，O是对角线的交点，过O作，分别交于E、F，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知三个实数，，满足，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二．填空题（每题3分，共15分） 9. 某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是_________． 10. 已知，是一元二次方程的两个根，则__． 11. 若正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的一个内角度数是_____． 12. 如图，，平分，于D，交于C．若则______，______． 13. 如图，矩形中，，，点是矩形内一个动点，且满足，点是内一个点，则的最小值为 __． 三．解答题（共61分） 14. 解不等式组：，并写出它的正整数解． 15. 计算： （1）先化简，再求值：，其中． （2）解方程．． 16. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到，请画出（其中的对应点分别为，，）； （2）再将线段绕点顺时针旋转得到线段，请画出线段； （3）在网格内描出两个格点，请画出直线，使得直线垂直平分线段． 17. 如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为． （1）求证：； （2）过点作于点，若，求的面积. 18. 中华优秀传统文化源远流长,是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用720元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买6本． （1）求两种图书的单价分别为多少元； （2）为筹备“国际数学节 3月14日”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大,书店打折优惠，两种图书均按九折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少． 19. 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材 如图是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示． 素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①②两种长方形纸板，其中． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 裁去角上个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，则长方形纸板宽为______． 目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 20. 阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 如图①，在等边中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是的外角的平分线上一点，且．求证：． （1）点拨：如图②，作，与的延长线相交于点E，得等边，连接EM．易证：，请完成剩余证明过程： （2）拓展：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，），是正方形的外角的平分线上一点，且，求证：． （3）思维迁移：结合上面的思维探究，你对（1）中证明、（2）中证明是否有不同的思路，选（1）、（2）中的一个结论加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $