22.1.3二次函数y＝a（-h）2+k的图像和性质 同步练习－2025学年人教版数学九年级上册

22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质 (时间45分钟,共10分) 一.选择题(每小题5分,共15分) 1.在下列二次函数中,其图象的对称轴是直线x=2的是( ) A.y=2(x﹣2)2 B.y=2(x+2)2 C.y=﹣2x2﹣4 D.y=2x2﹣4 2.抛物线y(x﹣5)2不经过的象限是( ) A.第一、第二象限 B.第一、第四象限 C.第二、第三象限 D.第三、第四象限 3.对于二次函数y=﹣(x﹣1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是( ) A.对称轴是直线x=1,最大值是2 B.对称轴是直线x=1,最小值是2 C.对称轴是直线x=﹣1,最大值是2 D.对称轴是直线x=﹣1,最小值是2 4.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是( ) A.B. C.D. 5.若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为( ) A.a+c B.a﹣c C.﹣c D.c 二.填空题(每小题5分,共15分) 6.抛物线y=2x2﹣8的顶点坐标是 ,对称轴是 ,开口方向 ,当 x= 时,y有最 值,为 ,它可由抛物线y=2x2向 平移 个单位长度得到. 7.已知点A(﹣2,y1),B(3,y2),C(5,y3)都是抛物线y=﹣3(x﹣1)2﹣m2+5(m为常数)的点,则将y1,y2,y3用“<”连接为 . 8.抛物线y=3(x+2)2﹣4的顶点坐标是 . 9.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B、C三点,点D是其顶点,若点P是x轴上一个动点,则CP+DP的最小值为 . 10.将二次函数y=x2﹣6x+8用配方法化成y=(x﹣h)2+k的形式为y= . 三.解答题(每小题10分,共50分) 11.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点: (1)y=2(x+3)2+5; (2)y=﹣3(x﹣1)2﹣2. 12.已知二次函数y=﹣(x+1)2+4的图象如图所示,请在同一坐标系中画出二次函数y=﹣(x﹣2)2+7的图象. 13.一抛物线与抛物线y=﹣2x2的形状相同,再根据下列条件分别求其解析式. (1)开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,4); (2)开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,0). 14.抛物线y=2x2+n与直线y=2x﹣1交于M(m,3). (1)求m和n的值; (2)求抛物线y=2x2+n的顶点坐标和对称轴; (3)对于二次函数y=2x2+n,当x在什么范围时,y随x的增大而减小? (4)y=2x2+n与y=2x﹣1还有其他交点吗?若有,请求出来;若没有,说明理由. 15.如图所示,已知二次函数图象的顶点在原点O,且经过点,点F(0,1)在y轴上. (1)直接写出二次函数的解析式; (2)点P是(1)中图象上的点,过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M,求证:FM平分∠OFP; (3)当 FPM是等边三角形时,请直接写出点P的坐标. 参考答案 一.选择题(共5小题) 1.解:A、y=2(x﹣2)2的对称轴为x=2,所以选项A正确; B、y=2(x+2)2的对称轴为x=﹣2,所以选项B错误; C、y=﹣2x2﹣4的对称轴为x=0,所以选项C错误; D、y=2x2﹣4对称轴为x=0,所以选项D错误; 故选:A. 2.解:∵y(x﹣5)2, ∴抛物线开口向上,顶点坐标为(5,0), ∴抛物线不经过第三,四象限, 故选:D. 3.解:由抛物线的解析式:y=﹣(x﹣1)2+2, 可知:对称轴x=1, 开口方向向下,所以有最大值y=2, 故选:A. 4.解:A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知,n2<0,错误; B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知,m>0,由直线可知,﹣m>0,错误; C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知,m<0,由直线可知,﹣m<0,错误; D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知,m<0,由直线可知,﹣m>0,正确, 故选:D. 5.解:抛物线对称轴为y轴 ∴x1,x2互为相反数 ∴x1+x2=0 所以当x取x1+x2时,y=c 故选:D. 二.填空题(共5小题) 6.抛物线y=2x2﹣8的顶点坐标是 (0,﹣8) ,对称轴是 y轴 ,开口方向 向上 ,当x= 0 时,y有最 小 值,为 ﹣8 ,它可由抛物线y=2x2向 下 平移 8 个单位长度得到. 解:抛物线y=2x2﹣8的顶点坐标是(0,﹣8),对称轴是y轴,开口方向向上,当x=0时,y有最小值,为﹣8,它可由抛物线y=2x2向下平移8个单位长度得到. 故答案为:(0,﹣8)、y轴、向上、0、小、0、下、8. 7.已知点A(﹣2,y1),B(3,y2),C(5,y3)都是抛物线y=﹣3(x﹣1)2﹣m2+5(m为常数)的点,则将y1,y2,y3用“<”连接为 y3<y1<y2 . 解:∵抛物线y=﹣3(x﹣1)2﹣m2+5中a=﹣3<0, ∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=1, ∴离对称轴水平距离越远,函数值越小, ∵由二次函数图象的对称性可知3﹣1<1﹣(﹣2)<5﹣1, ∴y3<y1<y2. 故答案为:y3<y1<y2. 8.抛物线y=3(x+2)2﹣4的顶点坐标是 (﹣2,﹣4) . 解:∵y=3(x+2)2﹣4, ∴该函数的顶点坐标是(﹣2,﹣4), 故答案为:(﹣2,﹣4). 9.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B、C三点,点D是其顶点,若点P是x轴上一个动点,则CP+DP的最小值为 . 解:在中,当x=0时,y=2, ∴C(0,2); ∵抛物线解析式为, ∴D(2,4); 如图所示,作点C关于x轴的对称点E,连接EP、DE,则E(0,﹣2), ∴PE=CP, ∴CP+DP=PE+DP, ∴当D、P、E三点共线时PE+DP最小,即CP+DP最小,最小值为DE, ∴CP+DP的最小值, 故答案为:. 10.将二次函数y=x2﹣6x+8用配方法化成y=(x﹣h)2+k的形式为y= (x﹣3)2﹣1 . 解:y=x2﹣6x+8=x2﹣6x+9﹣1=(x﹣3)2﹣1, 故答案为:(x﹣3)2﹣1. 三.解答题(共5小题) 11.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点: (1)y=2(x+3)2+5; (2)y=﹣3(x﹣1)2﹣2. 解:(1)∵a=2>0, ∴抛物线的开口向上,对称轴为:直线x=﹣3;顶点坐标是:(﹣3,5); (2)∵a=﹣3<0, ∴抛物线的开口向下,对称轴为:直线x=1;顶点坐标是:(1,﹣2). 12.已知二次函数y=﹣(x+1)2+4的图象如图所示,请在同一坐标系中画出二次函数y=﹣(x﹣2)2+7的图象. 解:答案如图 . 13.一抛物线与抛物线y=﹣2x2的形状相同,再根据下列条件分别求其解析式. (1)开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,4); (2)开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,0). 解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+4, 而抛物线y=ax2+4与抛物线y=﹣2x2的形状相同,开口方向相同, 所以a=﹣2, 所以抛物线的解析式为y=﹣2x2+4; (2)设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)2, 而抛物线y=a(x﹣1)2与抛物线y=﹣2x2的形状相同,开口方向相反, 所以抛物线的解析式为y=2(x﹣1)2. 14.抛物线y=2x2+n与直线y=2x﹣1交于M(m,3). (1)求m和n的值; (2)求抛物线y=2x2+n的顶点坐标和对称轴; (3)对于二次函数y=2x2+n,当x在什么范围时,y随x的增大而减小? (4)y=2x2+n与y=2x﹣1还有其他交点吗?若有,请求出来;若没有,说明理由. 解:(1)∵抛物线y=2x2+n与直线y=2x﹣1交于点(m,3), ∴将点(m,3),代入y=2x﹣1得: 3=2m﹣1, 解得:m=2, 则将(2,3)代入y=2x2+n得:3=8+n, 解得:n=﹣5; (2)根据(1)得出y=2x2﹣5, 顶点坐标(0,﹣5),对称轴y轴; (3)抛物线开口向上,当x<0时,y随x的增大而减小; (4)由题意得2x﹣1=2x2﹣5解得: x=﹣1,或x=2, 故y=2x2+n与y=2x﹣1图象还有其它交点为(﹣1,﹣3). 15.如图所示,已知二次函数图象的顶点在原点O,且经过点,点F(0,1)在y轴上. (1)直接写出二次函数的解析式; (2)点P是(1)中图象上的点,过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M,求证:FM平分∠OFP; (3)当 FPM是等边三角形时,请直接写出点P的坐标. (1)解:∵二次函数图象的顶点在原点O, ∴设二次函数的解析式为y=ax2, 将点(1,)代入y=ax2得:a, ∴二次函数的解析式为yx2; (2)证明:∵点P在抛物线yx2上, ∴可设点P的坐标为(x,x2), 过点P作PB⊥y轴于点B,则BF=|x2﹣1|,PB=|x|, ∴在Rt BPF中,PFx2+1, ∵PM⊥直线y=﹣1, ∴PMx2+1, ∴PF=PM, ∴∠PFM=∠PMF, 又∵PM∥y轴, ∴∠MFH=∠PMF, ∴∠PFM=∠MFH, ∴FM平分∠OFP; (3)解:当 FPM是等边三角形时,∠PMF=60 , ∴∠FMH=30 , 在Rt MFH中,MF=2FH=2 2=4, ∵PF=PM=FM, ∴x2+1=4, 解得:x= 2, ∴x212=3, ∴满足条件的点P的坐标为(2,3)或(﹣2,3). 学科网(北京)股份有限公司 $$