精品解析：湖南省长沙市2024年初中学业水平考试全真模拟数学试卷(四)

长沙市2024年初中学业水平考试全真模拟试卷（四） 数学 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 实数，，，，，中，有理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 我国自主研发的北斗三号新信号22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片已实现规模化应用．已知22纳米米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列有关环保的四个标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出的中点．若的长为18米，则间的距离是（ ） A 9米 B. 18米 C. 27米 D. 36米 7. 老师上课提出问题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下为四位同学列出的方程，正确的是（ ） 甲：设该品牌的饮料每瓶是元，则 乙：设该品牌饮料每箱瓶，则 丙：设该品牌的饮料每瓶是元，则 丁：设该品牌饮料每箱瓶，则 A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 乙、丁 D. 只有乙 8. 如图，点P是反比例函数图像上的一点，轴于F点，且面积为4．若点也是该图像上的一点，则m的值为（ ） A －2 B. －4 C. 2 D. 4 9. 如图是二次函数图象一部分，图象过点，对称轴为直线，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（ ）个． ①；②若点函数图象上的两点，则；③；④；⑤． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 现有书架共4层，每层书本的数量如图所示，小明和小红整理书架上的书本，规定：两人轮流搬动，要求把所有的书本整理到第一层，每人每次可以搬动同一层上任意数量的书本，但是每次只能搬到下方紧邻的一层.小明先搬，在有策略的情况下，为了保证最后一本也是自己搬，小明第一次搬书的方式是（ ） A. 第二层2本 B. 第二层3本 C. 第三层4本 D. 第四层5本 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解______． 12. 已知关于x的不等式组有解，实数a的取值范围为_________． 13. 中卫三中规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩的比计算学期成绩，小明同学本学期三项成绩依次为90分、80分、90分，则小红同学本学期的体育成绩是________分． 14. 如图，一圆弧形钢梁的拱高为，跨径为，则这钢梁圆弧的半径长为 _______m． 15. 如图，将两条宽度均为2的纸条相交成的角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为______ 16. 如图，圆桌周围有个箱子，按顺时针方向编号，小明先在号箱子中丢入一颗红球，然后沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子丢一颗球，规则如下： ①若前一个箱子丢红球，则下一个箱子就丢绿球． ②若前一个箱子丢绿球，则下一个箱子就丢白球． ③若前一个箱子丢白球，则下一个箱子就丢红球．他沿着圆周走了圈，求号箱内有________颗红球． 三、解答题（本大题共9小题，第17-19题每小题6分，第20-21题每小题8分，第22-23题每小题9分，第24-25题每小题10分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中满足． 19. 某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学兴趣小组，在课外活动中他们带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有一棵大树，如图所示，小明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得大树的顶部的仰角为30°．测量可知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大树AB的高．（精确到1米，参考数据：） 20. 某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了________名学生． （2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图； （3）若该中学九年级共有600名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为等级的学生有多少名？ （4）若从体能为等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是女生的概率． 21. 如图，在中，，，于点E，与相交于点F． （1）求证：； （2）若，的中线，求的长． 22. 为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子习俗．下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈端午节前在超市购买粽子的数量（单位：个）和付款金额（单位：元）． 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 （1）求豆沙粽和肉粽的单价； （2）为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子的单价合计．两种包装中分别有个豆沙粽，个肉粽，包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，两种包装的销量分别为包，包，，两种包装的销售总额为17280元，求的值． 23. 在中，平分，交边于点E，过点B作，垂足为点O，交边于点F，连接． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，若，，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的等腰三角形（不包含等腰直角三角形）． 24. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”． 例如，点是函数的图象的“等值点”． （1）判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）求函数图象的“等值点”坐标； （3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有3个“等值点”时，请直接写出m的值． 25. 如图，是的直径，C是上的一点，过点B作的切线，过圆心O作的平行线交直线于点F，交于点E，交于点D，连接． （1）判断与的位置关系，并证明结论； （2）若四边形是平行四边形，求的值； （3）若运动后能与重合，则 ，请说明图形的运动过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长沙市2024年初中学业水平考试全真模拟试卷（四） 数学 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 实数，，，，，中，有理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数的分类，有理数包括整数和分数，无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比，若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环，据此逐个判断即可． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是无理数； 是无限不循环小数，属于无理数， 综上，有理数的个数有4个， 故选D． 2. 我国自主研发北斗三号新信号22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片已实现规模化应用．已知22纳米米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列式子运算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，解决本题的关键是牢记相关运算法则．直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方运算法则依次判断即可． 【详解】A. 不是同类项，不能合并，原计算错误； B.，计算正确； C. ，原计算错误； D. ，原计算错误； 故选：B． 4. 下列有关环保的四个标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一分析判定． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”即可得到结论． 【详解】解：水面和杯底互相平行， ， ∵， ． 水中的两条光线平行， ． 故选：B． 6. 如图，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出的中点．若的长为18米，则间的距离是（ ） A. 9米 B. 18米 C. 27米 D. 36米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线的运用，理解并掌握中位线的性质是解题的关键，根据点是的中点，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，是的中位线， ∴， ∴（米）， 故选：． 7. 老师上课提出问题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下为四位同学列出的方程，正确的是（ ） 甲：设该品牌的饮料每瓶是元，则 乙：设该品牌饮料每箱瓶，则 丙：设该品牌的饮料每瓶是元，则 丁：设该品牌饮料每箱瓶，则 A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 乙、丁 D. 只有乙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．根据题意可设这种饮料的原价每瓶是元，则根据等量关系“九折购买的饮料数量比元购买的一箱饮料的数量多2瓶”，或“一箱加2瓶的饮料九折后的价格是元”；若设每箱有瓶，则根据“购买一箱加2瓶时，每瓶的价格和每瓶九折后的价格相等”分别列出方程即可． 【详解】解：设这种饮料的原价每瓶是元，则有； 设该种饮料每箱有瓶，则有， 因此四位同学列出的方程中，乙、丙两个同学是正确的，故B正确． 故选：B． 8. 如图，点P是反比例函数图像上的一点，轴于F点，且面积为4．若点也是该图像上的一点，则m的值为（ ） A. －2 B. －4 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用反比例函数的系数的几何意义得出 ，即可求出． 【详解】解：， ， ， 在该图像上， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义，正确表示出时解题的关键． 9. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（ ）个． ①；②若点函数图象上的两点，则；③；④；⑤． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系．根据抛物线与轴的交点判断①，根据抛物线的性质判断②，根据抛物线的对称轴判断③，根据抛物线的顶点坐标的位置判断④，根据时，判断⑤． 【详解】解：抛物线与轴交于正半轴， ，①正确； 对称轴为直线， 时，随的增大而增大， ，②错误； 对称轴为直线， ， 则，③正确； 抛物线的顶点在轴的上方， ，④错误； 当时，， 则，⑤正确， 故选：B． 10. 现有书架共4层，每层书本的数量如图所示，小明和小红整理书架上的书本，规定：两人轮流搬动，要求把所有的书本整理到第一层，每人每次可以搬动同一层上任意数量的书本，但是每次只能搬到下方紧邻的一层.小明先搬，在有策略的情况下，为了保证最后一本也是自己搬，小明第一次搬书的方式是（ ） A. 第二层2本 B. 第二层3本 C. 第三层4本 D. 第四层5本 【答案】A 【解析】 【分析】根据必胜策略问题分析，小明先取的数量使得剩下的2层数量相等，根据对称性原则，则小明获胜，据此即可求解． 【详解】解：小明从第二层2本，则第二层和第四层的数量一致，然后对于第二层与第四层根据小红每次取的数量取相同的数量搬动，对于第三层，小明搬动余下的书，则小明获胜． 故选：A． 【点睛】本题考查了必胜策略问题，掌握对称性原则是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提取公因式，再利用完全平方公式即可． 【详解】解： ． 故答案为： 12. 已知关于x的不等式组有解，实数a的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得不等式组的每个不等式的解集，根据不等式组有解，建立起新的不等式组，解之即可，本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组有解建立新不等式组是解题的关键． 【详解】∵， ∴解①得，，解②得，， ∵不等式组有解， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 中卫三中规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩的比计算学期成绩，小明同学本学期三项成绩依次为90分、80分、90分，则小红同学本学期的体育成绩是________分． 【答案】87 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式计算即可得出答案，熟练掌握加权平均数的计算公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：小红同学本学期的体育成绩是（分）， 故答案为：． 14. 如图，一圆弧形钢梁的拱高为，跨径为，则这钢梁圆弧的半径长为 _______m． 【答案】29 【解析】 【分析】考查垂径定理以及勾股定理，设圆弧形圆心为，作交于点C，连接，交于点D，设这个门拱的半径为r，则，根据垂径定理得到，在中，由勾股定理得，然后即可得到关于r的方程，解方程即可． 【详解】解：如图，设圆弧形圆心为，作交于点C，交于点D，连接，设这个门拱的半径为r， 由题意得：， 则， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 即， ∴， 这个门拱的半径为m． 故答案为：． 15. 如图，将两条宽度均为2的纸条相交成的角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质与面积，先判断四边形的形状为菱形，然后利用菱形的面积公式计算是解题的关键． 【详解】过点作于E，于F，如图所示： ∵两条纸条宽度相同， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：． 16. 如图，圆桌周围有个箱子，按顺时针方向编号，小明先在号箱子中丢入一颗红球，然后沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子丢一颗球，规则如下： ①若前一个箱子丢红球，则下一个箱子就丢绿球． ②若前一个箱子丢绿球，则下一个箱子就丢白球． ③若前一个箱子丢白球，则下一个箱子就丢红球．他沿着圆周走了圈，求号箱内有________颗红球． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意先找到各个红球都在那个箱内，然后找到哪一圈会在号箱内丢红球，从而得到规律即可求解，根据题意找到变化规律是解题的关键. 【详解】解：根据题意可知， 第圈红球在号箱内， 第圈红球在号箱内， 第圈红球在号箱内， 第圈红球在号箱内， ， ∴第圈会在号箱内丢一颗红球， ∵， ∴红球颗数为颗， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，第17-19题每小题6分，第20-21题每小题8分，第22-23题每小题9分，第24-25题每小题10分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方和绝对值，再算除法，最后算加减即可． 【详解】原式． 18. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】，2018 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 根据分式的运算法则进行化简，然后将代入原式即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 19. 某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学兴趣小组，在课外活动中他们带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有一棵大树，如图所示，小明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得大树的顶部的仰角为30°．测量可知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大树AB的高．（精确到1米，参考数据：） 【答案】20米 【解析】 【分析】延长EF交AB于点G，设AB为x，利用三角函数解直角三角形用x表示出EG、AC，根据CD=EG﹣AC列出方程求出x即可． 【详解】延长EF交AB于点G，如图， 设AB=x米，则BG=AB﹣2=（x﹣2）米， 在Rt△BGE 中，EG=（AB﹣2）÷tan∠BEG= ， 在Rt△BAC 中CA=AB÷tan∠ACB=， 则CD=EG﹣AC= ， 解得：． 答：大树AB的高约为20米． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的概念是解题的关键． 20. 某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了________名学生． （2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图； （3）若该中学九年级共有600名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为等级的学生有多少名？ （4）若从体能为等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是女生的概率． 【答案】（1）50 （2）名，图见解析 （3）48名 （4） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． （1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量； （2）用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图； （3）用600乘以D等级的百分比可估计该中学九年级学生中体能测试结果为D等级的学生数； （4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：（名）， 即本次抽样调查共抽取了50名学生； 故答案为：50； 【小问2详解】 解：测试结果为等级的学生数为：（名）， 补全条形图如下： ； 【小问3详解】 解：（名）， 即估计该中学九年级学生中体能测试结果为等级的学生有48名； 【小问4详解】 解：画树状图如图： 共有12个等可能的结果，所抽取的两人恰好都是女生的结果有2个， 抽取的两人恰好都是女生的概率． 21. 如图，在中，，，于点E，与相交于点F． （1）求证：； （2）若，的中线，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识，利用证明是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质求出，，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据含角的直角三角形的性质求出，，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 如图， 在中，中线， ， ，， ， ， ， ． 22. 为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈端午节前在超市购买粽子的数量（单位：个）和付款金额（单位：元）． 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 （1）求豆沙粽和肉粽的单价； （2）为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子的单价合计．两种包装中分别有个豆沙粽，个肉粽，包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，两种包装的销量分别为包，包，，两种包装的销售总额为17280元，求的值． 【答案】（1）豆沙粽的单价为3元，肉粽的单价为7元 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用： （1）设豆沙粽的单价为元，肉粽的单价为元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，列出方程，可求出m的值，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：设豆沙粽的单价为元，肉粽的单价为元， 由题意可得，， 解得：； 答：豆沙粽的单价为3元，肉粽的单价为7元． 【小问2详解】 解：由题意得： ， 解得或， ， ， ． 23. 在中，平分，交边于点E，过点B作，垂足为点O，交边于点F，连接． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，若，，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的等腰三角形（不包含等腰直角三角形）． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得到，然后利用角平分线的概念得到，得到，然后证明出垂直平分，进而得到，即可证明出四边形是菱形； （2）首先证明出四边形是正方形，然后得到，得到是等腰三角形；然后证明出四边形，四边形是矩形，得到，证明出是等腰三角形；然后证明出，得到，是等腰三角形；然后根据平行线的性质和角度的转化得到，然后得到，证明出是等腰三角形． 【小问1详解】 ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 综上所述，等腰三角形有，，，． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，菱形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 24. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”． 例如，点是函数的图象的“等值点”． （1）判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）求函数的图象的“等值点”坐标； （3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有3个“等值点”时，请直接写出m的值． 【答案】（1）不存在，理由见详解 （2）， （3）或或 【解析】 【分析】（1）当时，可得，即可求解； （2）当时，可得，即可求解； （3）可求，由“等值点”定义可得：二次函数图象与直线图象的交点为对应的“等值点”，可得，从而可求，分类讨论①当时，可求，两部分组成的图象只有个“等值点”，；②当时，可求，两部分组成的图象有个“等值点”，，；③当时，（ⅰ）当时，（ⅱ）当时，（ⅲ）当时，（ⅲ）当时，（ⅲ）当时；即可求解． 【小问1详解】 解：不存在，理由如下： 当时， ， ，不成立， 不存在“等值点”． 【小问2详解】 解：当时， ， 整理得：， ，， “等值点”为，． 【小问3详解】 解：将沿直线翻折后的图象记为， 可设， 由可得顶点， ， ， ， 由（2）得一定有个“等值点”，， ，是，两部分组成的图象的“等值点”， 由“等值点”定义可得：二次函数图象与直线图象的交点为对应的“等值点”， ， 整理得：， ， ①当时， 即：， 解得：， 此时方程无实根， 如图，此时二次函数图象与直线图象没有交点， 的图象没有“等值点”， ，两部分组成的图象只有个“等值点”，； ②当时， 即：， 解得：， 此时方程有两个相等的实根， 如图，此时二次函数图象与直线图象有一个交点， ， 解得：， 的图象有一个“等值点”为， ，两部分组成的图象有个“等值点”，，； ③当时， 即：， 解得：， 此时方程有两个不相等的实根， 如图，此时二次函数图象与直线图象有两个交点， 的图象有个“等值点”， （ⅰ）当时， 如图， 的图象经过 ， 解得：，， 的图象有个“等值点”，， ，两部分组成的图象个“等值点”，，； （ⅱ）当时， 如图， 的图象经过时， ， 解得：，， 的图象有个“等值点”，， ，两部分组成的图象个“等值点”，，； （ⅲ）当时， 如图， 的图象有个“等值点”， ，两部分组成的图象个“等值点”； （ⅲ）当时， 如图， 的图象有个“等值点”， ，两部分组成的图象个“等值点”； （ⅲ）当时， 如图， 的图象有个“等值点”， ，两部分组成的图象个“等值点”； 综上所述：当值为或或， 【点睛】本题考查了二次函数在新定义中的应用，一元二次方程的应用，二次函数图象与一次函数图象交点个数判断方法，理解新定义，掌握判断方法是解题的关键． 25. 如图，是的直径，C是上的一点，过点B作的切线，过圆心O作的平行线交直线于点F，交于点E，交于点D，连接． （1）判断与的位置关系，并证明结论； （2）若四边形是平行四边形，求的值； （3）若运动后能与重合，则 ，请说明图形的运动过程． 【答案】（1）与相切，见解析 （2） （3）1，见解析 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得出，结合切线的性质得出，即可得证； （2）根据题意作出图形，连接，证明四边形为正方形，得出，，推出，再求出，即可得解； （3）若运动后能与重合，得出必有，推出，进而得出，利用表示出和，进而求得比值，将沿直线，平移长度得，再将沿的平分线对折，则与重合． 【小问1详解】 解：与相切． 理由如下：连接，如图1， ∵， ∴，， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 是的切线， ∴， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：根据题意作出图形，如图2，连接， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴，， 四边形为平行四边形， ， 四边形菱形， 是的切线， ∴， 四边形为正方形， ，， ∴， ， ∴， ； 【小问3详解】 解：为直径， ， 是的切线， ∴， ∵， ∴， 若运动后能与重合， 必有， ∴， ， 连接，如图3， ∵， ∴，， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， 如图4，将沿直线，平移长度得，再将沿的平分线对折，则与重合， 故答案：1． 【点睛】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的基本性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，平移的性质，轴对称的性质，正确作出辅助线和综合运用这些知识是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$