复习课（第1课时 解三角形）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

人教B版 数学 必修第四册 复习课 第1课时　解三角形 知识梳理 构建体系 知识网络 要点梳理 1.正弦定理的内容是什么? 2.余弦定理的内容是什么? 提示:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)正弦定理在钝角三角形中可能不成立.(　　) (2)若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形.(　　) (3)解三角形时,只能用一次正弦定理或余弦定理.(　　) (4)在三角形中求角时,利用余弦定理不易产生增解.(　　) × × × √ 专题归纳 核心突破 专题一 应用正弦定理、余弦定理解三角形 【例1】 已知△ABC三个顶点分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0). (2)若c=5,求sin A的值. 分析:(1)根据向量数量积运算列方程求c;(2)用正弦定理、余弦定理求解. 专题一 专题二 专题三 专题一 专题二 专题三 专题一 专题二 专题三 专题一 专题二 专题三 专题一 专题二 专题三 解斜三角形有下列几种情况. 反思感悟 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角(如a,B,C) 正弦定理 由A+B+C=180°求出角A;由正弦定理求出b与c;S△ABC= . 在有解时只有一解 专题一 专题二 专题三 专题一 专题二 专题三 【变式训练1】 已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量 专题一 专题二 专题三 专题一 专题二 专题三 专题一 专题二 专题三 专题二 判断三角形的形状 【例2】 在△ABC中, =c2,且acos B=bcos A,试判断△ABC的形状. 分析:分析化简条件,得到边(角)之间的关系,从而判断△ABC的形状. 由acos B=bcos A,得2Rsin Acos B=2Rsin Bcos A(R为△ABC外接圆的半径), 得到sin(A-B)=0,所以A-B=0, 即A=B=C=60°,所以△ABC为等边三角形. 专题一 专题二 专题三 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两条途径:(1)化边为角;(2)化角为边. 常见具体方法有: ①通过正弦定理实施边角转换; ②通过余弦定理实施边角转换; ③通过三角变换找出角之间的关系; ④通过三角函数值符号的判断及正弦、余弦函数有界性的讨论.另外要注意b2+c2-a2>0⇔A为锐角,b2+c2-a2=0⇔A为直角,b2+c2-a2<0⇔A为钝角. 反思感悟 专题一 专题二 专题三 【变式训练2】 在△ABC中,若sin A+cos A= ,则这个三角形是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 答案:A 专题一 专题二 专题三 ∵0°<A<180°,sin A>0, ∴cos A<0, ∴ 90°<A<180°,故选A. 专题一 专题二 专题三 专题三 解三角形的实际应用 【例3】 如图所示,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0), x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3, );赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°. (1)求A,ω的值和M,P两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长? 分析:(1)分析图象及数据可求出A,ω,进而求得M,P两点间的距离;(2)连接MP,以∠PMN=θ为自变量,以MNP的长度为因变量,建立函数解析式,运用函数的方法求最大值. 专题一 专题二 专题三 专题一 专题二 专题三 (2)如图所示,连接MP. 在△MNP中,∠MNP=120°, MP=5,设∠PMN=θ,则0°<θ<60°. 专题一 专题二 专题三 因为0°<θ<60°, 所以60°<θ+60°<120°. 所以当θ+60°=90°,即θ=30°时,折线段赛道MNP最长. 故将∠PMN设计为30°时,折线段赛道MNP最长. 专题一 专题二 专题三 解三角形应用题常见的几种情况 (1)实际问题经抽象概括后,若已知量与未知量全部集中在一个三角形中,则可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,若已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形,则需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步求出其他三角形中的解,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程,解方程得出所要求的解. 反思感悟 专题一 专题二 专题三 【变式训练3】 如图,某住宅小区的平面图呈扇形AOC.小区的两个出入口设置在点A及点C处,小区里有两条笔直的小路AD,DC,且拐弯处的转角为120°.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟,从D沿DA走到A用了6分钟.若此人步行的速度为50米/分,求该扇形的半径OA的长(精确到1米). 专题一 专题二 专题三 解法一:设该扇形的半径为r米,由题意,得CD=500米,DA=300米, ∠CDO=60°. 在△CDO中,CD2+OD2-2·CD·OD·cos 60°=OC2,即5002+(r-300)2-2×500× 解法二:连接AC,作OH⊥AC,交AC于点H,由题意,得CD=500米,AD=300米,∠CDA=120°. 专题一 专题二 专题三 专题一 专题二 专题三 高考体验 考点一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 1.(2021全国乙,理15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为 ,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　　.  2.(2021浙江,14)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM= ,则AC=　　　　,cos∠MAC=　　　　.  解析:在△ABM中,由余弦定理,得AM 2=AB2+BM 2-2AB·BMcos 60°, 即BM 2-2BM-8=0,解得BM=4或BM=-2(舍去). ∵M是BC的中点,∴MC=4,BC=8. 3.(2023全国甲,理16)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC= ,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=　 .  答案:2 4.(2022全国乙,理17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A). (1)证明:2a2=b2+c2; (1)证明:∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A), ∴sin Csin Acos B-sin Csin Bcos A=sin Bsin Ccos A-sin Bsin Acos C, ∴a+b+c=14. 故△ABC的周长为14. 5.(2021新高考Ⅰ,19)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C. (1)证明:BD=b; (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. (1)证明:由正弦定理,得BD·b=ac=b2,则BD=b. (2)解:由(1)知BD=b,∵AD=2DC, ∵∠BDA+∠BDC=π, ∴cos∠BDA+cos∠BDC=0. ∵b2=ac, ∴9c2-33ac+18a2=0. 考点二　用正弦定理、余弦定理解决实际问题 6.(2021全国乙,理9节选)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=(　　) 答案:A 解析:如图,连接FD并延长交AB于点M,则FM⊥AB,AB=AM+BM. 设∠BDM=α,∠BFM=β,则∠BHE=α,∠FCG=β, 答案:B 7.(2021全国甲,理8节选)三角高程测量法的一个示意图如图所示.现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°, ∠A'B'C'=60°.由点C测得点B的仰角为15°,BB'与CC'的差为100,由点B测得点A的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为( 1.732)(　　) A.346 B.373 C.446 D.473 答案:ACD 提示:在△ABC中, 或cos A=,cos B=,cos C= (1)若=0,求c的值; (1)解法一:∵A(3,4),B(0,0),C(c,0), =(-3,-4),=(c-3,-4). 由=0, 得(-3)×(c-3)+(-4)×(-4)=0. 解得c= 解法二:∵A(3,4),B(0,0),C(c,0), ∴||2=32+42=25,||2=(c-3)2+42,||2=c2. =0,∴AB⊥AC. ∴△ABC为直角三角形. 由勾股定理,得||2+||2=||2. 即c2=25+[(c-3)2+42],解得c= (2)解法一:∵A(3,4),B(0,0), ∴AB=5,sin B= 当c=5时,BC=5,AC==2 由正弦定理,得 得sin A=sin B= 解法二:∵A(3,4),B(0,0),∴AB=5. 当c=5时,BC=5, AC==2 由余弦定理,得cos A= ∵A为△ABC的内角, ∴sin A= acsin B 已知条件 应用定理 一般解法 两边和夹角(如a,b,C) 余弦定理 由余弦定理求出第三边c;由正弦定理求出小边所对的角;再由A+B+C=180°求出另一角,S△ABC=absin C. 在有解时只有一解 三边(a,b,c) 余弦定理 由余弦定理求出角A,B,再利用A+B+C=180°求出角C,S△ABC=absin C. 在有解时只有一解 两边和其中一边的对角(如a,b,A) 正弦定理 由正弦定理求出角B,由A+B+C=180°求出角C,再利用正弦定理求出边c, S△ABC=absin C.可有两解、一解或无解 m=(1,1-sin A),n=(cos A,1),且m⊥n. (1)求角A; (2)若b+c=a,求sin(B+30°)的值. 解:(1)∵m⊥n,∴m·n=0. ∴cos A+1-sin A=0. 即sin A-cos A=1, 2sin(A-30°)=1,sin(A-30°)= 又A为三角形的内角,∴-30°<A-30°<150°. ∴A-30°=30°,A=60°. (2)∵b+c=a,由正弦定理,得sin B+sin C=sin A= 又B+C=120°, ∴sin B+sin(120°-B)= 即sin B+cos B=,得sin(B+30°)= 解:由=c2,得a3+b3-c3=c2(a+b)-c3, 则a2+b2-ab=c2,即a2+b2-c2=ab. 根据余弦定理,得cos C=,则C=60°. 解析:(方法一)若0°<A≤90°, 则sin A+cos A=sin(A+45°)≥1>, ∴90°<A<180°,故选A. (方法二)∵sin A+cos A=, ∴(sin A+cos A)2=, ∴1+2sin Acos A=, ∴sin Acos A=-<0. 2 解:(1)观察图象,有A=2=3, 因为T=,则ω=, 所以y=2sin x. 当x=4时,y=2sin =3, 所以M(4,3). 又因为P(8,0), 所以MP==5. 由正弦定理,得 则NP=sin θ,MN=sin(60°-θ). 故MN+NP=sin(60°-θ)+sin θ=sin θ+cos θ) =sin(θ+60°). (r-300)=r2,解得r=445(米). 在△ACD中,AC2=CD2+AD2-2·CD·AD·cos 120°=5002+3002+2×500×300=490 000, 所以AC=700(米). cos∠CAD= 在Rt△HAO中,AH=350(米),cos∠HAO=, 所以OA=445(米). 答案:2 解析:由题意可知△ABC的面积S=acsin 60°=,整理得ac=4.结合已知得a2+c2=3ac=12. 因为B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=12-2×4×cos 60°=8,所以b=2 2 答案:2 即(2)2=22+BM 2-2×2·BM, 在△ABC中,由余弦定理,得AC2=22+82-2×2×8cos 60°=52,∴AC=2 在△AMC中,由余弦定理,得cos∠MAC= 解析:方法一:由题意,在△ABC中,AB=2,BC=,∠BAC=60°,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,解得AC=+1, 由正弦定理,得,解得∠C=45°. ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=BAC=30°.(角平分线的性质) 如图,过点D作DE⊥AC于点E,设DE=t, 由几何知识得,AD=2t,AE=t,CE=DE=t, ∴AC=AE+CE=t+t=+1,解得t=1, ∴AD=2t=2. 方法二:由方法一知,AC=+1, ∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,AB·ACsin 60°=AB·ADsin 30°+AC·ADsin 30°, +1)=AD+AD,∴AD=2. (2)若a=5,cos A=,求△ABC的周长. 由正弦定理及余弦定理, 得ca-cb=bc-ba, 化简整理,得2a2=b2+c2. (2)解:∵a=5,∴b2+c2=2a2=50. 由余弦定理,得cos A=, ∴bc= ∴b+c==9, ∴AD=b,DC=b. 在△ABD中,由余弦定理, 得cos∠BDA=, 在△CBD中,由余弦定理, 得cos∠BDC= 即=0,得33b2=9c2+18a2. ∴c=3a或c=a. 在△ABC中,由余弦定理知,cos∠ABC=, 当c=3a时,cos∠ABC=>1(舍去); 当c=a时,cos∠ABC= 综上所述,cos∠ABC= A+表高 B-表高 C+表距 D-表距 ∴DF=MF-MD==MB()=MB=MB, ∴MB=, ∴AB=+表高. 解析:过C作CD⊥BB'于点D,过B作BE⊥AA'于点E(图略), 由题意,CD=C'B'=,AE=BE=B'A',AA'-CC'=AE+100=B'A'+100,在△A'B'C'中, 由正弦定理得, 即,B'A'==100(+1)≈273.2,AA'-CC' =B'A'+100=373.2≈373. 8.已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=6,4sin B=5sin C,则下列结论正确的是(　　) A.满足条件的△ABC可能是锐角三角形 B.满足条件的△ABC不可能是直角三角形 C.当A=2C时,△ABC的周长为15 D.当A=2C时,若O为△ABC的内心,则△AOB的面积为 $$