精品解析：2024年湖南省长沙市初中学业水平考试全真模拟数学试题（五）

长沙市2024年初中学业水平考试全真模拟试卷（五） 数学 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义．根据相反数的定义，a的相反数是，即可求解． 【详解】解：的相反数是． 故选：C． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，完全平方公式的应用，再逐一分析各选项即可，熟记各运算法则是解本题的关键． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选C 3. 一年365天有31536000秒．数31536000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于1数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数，确定，即可． 【详解】解：∵， 故选： B． 4. 如果一个正多边形的边数增加2，那么它的外角和增加（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角和外角．正确理解多边形内角与外角的性质． 【详解】解：一个多边形，外角和始终是，不会随边数改变． 故选：A． 5. 实验中学规定学生的学期数学成绩由研究性学习成绩与期末卷面成绩共同确定，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，萍萍研究性学习成绩为85分，期末卷面成绩为92分，则萍萍的学期数学成绩是（ ） A. 85分 B. 分 C. 89分 D. 分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算方法． 利用加权平均数的计算方法直接计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： （分）， 答：小明的学期数学成绩是分； 故选D． 6. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质定理，利用平行线的性质得出是解此题的关键．先根据三角形外角性质求出的度数，再根据平行线的性质即可求出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴．    ∵，，． ∴． 故选：D． 7. 如图，在中，E为边延长线上一点，连结．若的面积为6，则的面积为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查利用平行四边形的性质．首先根据平行四边形的性质，平行四边形和的高相等，即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴平行四边形和的高相等， ， 故选：C． 8. 如图，一次函数与一次函数图象交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合是解题关键．直接利用图象得出不等式的解集． 【详解】解：如图所示： 一次函数与一次函数的图象交于点， 关于的不等式的解集是：． 故选：D． 9. 如图，在的正方形网格中，以为边画直角，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，根据格点作图方法以及勾股定理逆定理进行分类讨论①当时，②当时，③当时，即可进行解答． 【详解】解：①当时，如图，可作出2个点C， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形； ②当时，如图，可作出4个点C， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形； ∵，，， ∴， ∴为直角三角形； ③当，如图，可作出2个点C， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形； 综上∶以为边画直角，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，格点作图，勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握格点作图方法和勾股定理定理，解题时要注意找出所有符合条件的点． 10. 如图的象棋盘中，“卒”从A点到B点，规定只能向右和向上走，每次走一格，则不同的路径共有（ ） A. 14条 B. 15条 C. 20条 D. 35条 【答案】D 【解析】 【分析】根据加法原理，利用“标数法”解答即可． 【详解】解析：如图所示，利用“标数法”可得：共35条路径， 故选D． 【点睛】本题考查了“路线”问题，这种类型的题，利用“标数法”解答比较直观简洁． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在一个不透明的袋子中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，则袋子中红球约有_______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了用频率估算概率及分式方程的应用，设袋子中装有个红球，根据等量关系列出方程，解方程即可求解，理清题意，根据概率公式列出方程是解题的关键． 【详解】解：设袋子中装有个红球， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 袋子中红球约有3个， 故答案为：3． 13. 不等式组：的解集是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 故答案为：． 14. 如图，在反比例函数的图象上，轴于点，则的值________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，求反比例函数值，先把点P坐标代入反比例函数解析式中求出点P坐标，进而得到，再利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵轴于点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理的应用，设半径为r，根据垂径定理可以列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为r， 由题意可知，， 在中，，， ， 解得． 经检验：是方程的解， 故答案为：． 16. 爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将1，，，3，4，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，，8这四个数填入了圆圈，则图中的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据外圆四个数和内圆四个数的和相等，得到内圆四个数的和是所有数字之和的一半，则，据此可得答案． 【详解】解： ∵外圆四个数和内圆四个数的和相等， ∴内圆四个数的和为， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，第17-19题每小题6分，第20-21题每小题8分，第22-23题每小题9分，第24-25题每小题10分） 17. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先计算二次根式，正整数指数幂，绝对值，负整数指数幂，然后利用有理数加减法整理，得到答案． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，绝对值和偶次方的非负性，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，平方差公式，此题根据平方差公式和完全平方公式先进行化简，再把进行变形得到，进而求出x、y代入即可解答． 【详解】解： ， 又， ， ， 把代入得， ． 19. 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， （1）求山脚到河岸的距离； （2）若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 【答案】（1）山脚到河岸的距离为 （2）河宽的长度约 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键． （1）在中，根据的坡度求出，在中，根据等腰直角三角形的性质可得，由线段的和差即可求得； （2）在中，由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出的长度． 【小问1详解】 解：在中，， 的坡度， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 答：山脚到河岸的距离为； 【小问2详解】 解：在中，，，， ， ， ， 答：河宽的长度约． 20. “公益日”是一年一度的全民公益活动日，学校组织学生参加慈善捐款活动，为了解学生捐款情况，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制了统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为______，图1中的值为______． （2）求统计的这组学生的捐款数据的平均数． （3）根据统计的这组学生所捐款的情况，若该校共有名学生，估计该校共筹得善款多少元？ 【答案】（1），； （2）元； （3）估计该校共筹得善款元 【解析】 【分析】（1）本题考查求样本容量及扇形统计图中的数据，根据条形统计图及扇形统计图中共同出现的数据直接求解即可得到样本容量，利用1减去扇形统计图的其他占比即可得到答案； （2）本题考查求加权平均数，利用各项数字乘以个数求和再除以总数即可得到答案， （3）本题考查用样本估算总数，利用总数乘以占比即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题意可得， 样本容量为：（人）， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意可得， 元的人数为：（人）， 平均数为：（元）， 答：这组学生的捐款数据的平均数是元； 【小问3详解】 解：由题意可得， 总善款约为：（元）， 答：估计该校共筹得善款元． 21. 如图，在等边中，点D、点E分别在、上，且，连接、相交于点F． （1）求的度数； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于；三条边相等． （1）因为为等边三角形，所以，，又，所以用“”可判定，根据全等三角形的性质得出，利用三角形外角性质解答即可； （2）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质进而解答即可． 【小问1详解】 为等边三角形， ，， 在和中， ， ； ， ， ； 【小问2详解】 延长至，使，连接、， 由（1）知，， 是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ，，， ， ，； 又，， ， 即， ， ， ，， ，， ， ， 即的长为6 22. 东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元. （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元? （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低. 【答案】（1）每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元（2）共有三种方案：方案一：购进电脑15台，电子白板15台；方案二：购进电脑16台，电子白板14台；方案三：购进电脑17台，电子白板13台；方案三费用最低． 【解析】 【分析】（1）设电脑、电子白板的价格分别为x、y元，根据等量关系：“1台电脑+2台电子白板=3.5万元”，“2台电脑+1台电子白板=2.5万元”，列方程组求解即可． （2）设计方案题一般是根据题意列出不等式组，求不等式组整数解．设购进电脑x台，电子白板有(30-x)台，然后根据题目中的不等关系“总费用不超过30万元，但不低于28万元”列不等式组解答． 【详解】解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元． （2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30-a）台， 则， 解得：，即a=15，16，17． 故共有三种方案： 方案一：购进电脑15台，电子白板15台.总费用为万元； 方案二：购进电脑16台，电子白板14台.总费用为万元； 方案三：购进电脑17台，电子白板13台．总费用为万元． ∴方案三费用最低． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系和不等关系列出方程组及不等式组是解题关键． 23. 如图1，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，使得点E落在上，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点H，取的中点I，连接，探究和的数量关系，说明理由； （3）如果，求的长． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转与矩形、全等三角形的判定及性质、勾股定理： （1）根据矩形及旋转的性质得，，进而可得，在根据角的数量关系即可求证结论； （2）过点B作交于点M，连接，利用可得，进而可得，可得，再利用得，可得，可得，进可求解； （3）根据矩形及旋转的性质得，由（2）得，在中和在中，利用勾股定理可求得，再根据即可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：矩形是由矩形旋转得到， ，， ， ， ， ， 即． 【小问2详解】 解：，理由见解析： 如图，过点B作交于点M，连接， 则，由（1）知， 在和中， ， ， ， 矩形是由矩形旋转得到， ，， ， 又，， ． ， 是的中点， 为的中位线， ， ． ． 【小问3详解】 矩形是由矩形旋转得到，， ， 由（2）得：， ， 在中，，，， ， 由（2）得：， ，， 在中，，，， ， ． 24. 如图1，在中，，，点P是内一个动点，且． （1）试找出与相等的角，并说明理由． （2）如图2，连接并延长交的外接圆于点Q，交于点D，连接 ①求证； ②求的最小值． （3）在如图2的条件下，若，求证： 【答案】（1），理由见解析 （2）①证明见解析；② （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据，等量代换即可得到； （2）①根据同弧所对的圆周角相等，结合（1）能得到，即可证明； ②连接、，由，得到，当经过圆心时，值最小，过点作交于点，则是的中点，连接，则、、三点共线，则是的垂直平分线，再由，得到，即可求的最小值为； （3）由题意可知点上，则，过点作交于点，设，则，分别求出，再由，即可证明． 【小问1详解】 解：∵， 【小问2详解】 ①证明：∵， ②连接、， 当经过圆心时的值最小，过点作交于点， 则是的中点，连接，则、、三点共线， ∴是的垂直平分线， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 证明：∵， ∴点上， ∴， 过点作交于点， 设则 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形外接圆的性质，直径所对的圆周角是，同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，恒有点和点关于点成中心对称（此三个点可以重合），由于对称中心都在直线上，所以称这两个函数为关于直线的“相依函数”． 例如：和为关于直线的“相依函数” （1）已知点是直线上一点，请求出点关于点成中心对称的点的坐标； （2）若直线和它关于直线的“相依函数”的图象与轴围成的三角形的面积为，求的值； （3）若二次函数和为关于直线的“相依函数”． ①请求出、的值； ②已知点、点，连接，当和两条抛物线与线段有且只有两个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）①， ； ②或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，根据点与点关于成中心对称，即可求出点的坐标； （2）设点和点分别是直线与它的“相依函数”的图象上的任意一点，根据相依函数的定义，可得：直线关于直线的相依函数是：，结合“直线和它关于直线的“相依函数”的图象与轴围成的三角形的面积为”，列出关于的方程，即可求解； （3）①由相依函数的定义，得：，化简整理后，即可求解；②分四种情况画出二次函数，的图象，即可得到答案． 【小问1详解】 ∵点是直线上一点， ∴，即：， ∵点与点关于成中心对称， ∴； 【小问2详解】 设点和点分别是直线与它的“相依函数”的图象上的任意一点， ∴， ， ∴直线关于直线的相依函数是：， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点的横坐标为， ∵直线与直线与y轴的交点坐标分别是：， 由题意得：，解得：； 【小问3详解】 ①由题意得：， ∴，对于任意的x都成立， ∴，解得：； ②由第①小题，可知：，， ∵， 当时，如图1， 当时，如图2， 当时，如图3， 当时，如图4， 综上可知∶或时，抛物线与线段有且只有两个交点． 【点睛】本题主要考查新定义下的函数问题，涉及一次函数，二次函数的图象和性质以及中点坐标公式，熟练掌握一次函数，二次函数的图象和性质，函数图象上的点的坐标特征，学会数形结合的思想方法，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长沙市2024年初中学业水平考试全真模拟试卷（五） 数学 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一年365天有31536000秒．数31536000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个正多边形的边数增加2，那么它的外角和增加（ ） A. B. C. D. 5. 实验中学规定学生的学期数学成绩由研究性学习成绩与期末卷面成绩共同确定，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，萍萍研究性学习成绩为85分，期末卷面成绩为92分，则萍萍的学期数学成绩是（ ） A. 85分 B. 分 C. 89分 D. 分 6. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，E为边延长线上一点，连结．若的面积为6，则的面积为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在的正方形网格中，以为边画直角，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 10. 如图的象棋盘中，“卒”从A点到B点，规定只能向右和向上走，每次走一格，则不同的路径共有（ ） A. 14条 B. 15条 C. 20条 D. 35条 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 12. 在一个不透明的袋子中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，则袋子中红球约有_______个． 13. 不等式组：的解集是_____． 14. 如图，在反比例函数的图象上，轴于点，则的值________． 15. 如图，月洞门为中国古典建筑中常见过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为______m． 16. 爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将1，，，3，4，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，，8这四个数填入了圆圈，则图中的值为________． 三、解答题（本大题共9小题，第17-19题每小题6分，第20-21题每小题8分，第22-23题每小题9分，第24-25题每小题10分） 17 计算：. 18 先化简，再求值：，其中． 19. 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， （1）求山脚到河岸的距离； （2）若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 20. “公益日”是一年一度的全民公益活动日，学校组织学生参加慈善捐款活动，为了解学生捐款情况，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制了统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为______，图1中的值为______． （2）求统计这组学生的捐款数据的平均数． （3）根据统计的这组学生所捐款的情况，若该校共有名学生，估计该校共筹得善款多少元？ 21. 如图，在等边中，点D、点E分别在、上，且，连接、相交于点F． （1）求的度数； （2）连接，若，，求的长． 22. 东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元. （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元? （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低. 23. 如图1，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，使得点E落在上，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点H，取的中点I，连接，探究和的数量关系，说明理由； （3）如果，求的长． 24. 如图1，在中，，，点P是内一个动点，且． （1）试找出与相等的角，并说明理由． （2）如图2，连接并延长交的外接圆于点Q，交于点D，连接 ①求证； ②求的最小值． （3）在如图2的条件下，若，求证： 25. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，恒有点和点关于点成中心对称（此三个点可以重合），由于对称中心都在直线上，所以称这两个函数为关于直线的“相依函数”． 例如：和为关于直线的“相依函数” （1）已知点是直线上一点，请求出点关于点成中心对称的点的坐标； （2）若直线和它关于直线的“相依函数”的图象与轴围成的三角形的面积为，求的值； （3）若二次函数和为关于直线的“相依函数”． ①请求出、的值； ②已知点、点，连接，当和两条抛物线与线段有且只有两个交点时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$