10.2.2 复数的乘法与除法课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

人教B版 数学 必修第四册 第十章　复数 10.2.2　复数的乘法与除法 课标定位素养阐释 1.掌握复数的乘法、除法法则. 2.能运用复数的乘法、除法法则进行计算. 3.掌握复数代数表示式的四则运算. 4.提升数学抽象和数学运算素养. 自主预习 新知导学 一、复数的乘法 1.两个复数相乘是否可以按照多项式乘法的方式进行? 提示:可以. 2.当m,n∈N+,z∈C时,zmzn=zm+n是否仍成立? 提示:成立. 3.(1)一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积,并规定z1z2=(a+bi)·(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i . (2)复数的乘法运算满足交换律与结合律,且对加法满足分配律,即对任意复数z1,z2,z3,有z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 4.计算:(1-2i)(2+i)=　　　　　.  答案:4-3i 解析:(1-2i)(2+i)=2-4i+i-2i2=2-4i+i+2=4-3i. 二、复数的除法 提示:等于. 3.计算:(3+4i)÷(1-i)=　　　　　.  【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)i是虚数单位,i+i2+i3=1.(　　) (2)复数z= 的虚部为-1.(　　) (3)两个共轭复数的和与积都是实数.(　　) (4)两个虚数的积一定是一个虚数.(　　) (5)z1与z2互为共轭复数的充要条件是z1z2∈R.(　　) × √ √ × × 合作探究 释疑解惑 探究一 复数的乘法与乘方 【例1】 计算:(1)(2+i)(1+2i)(2-i)-5i; (2)(1-i)2(1+i)2+4. 分析:应用复数的乘法法则及运算律求解. 解:(1)(2+i)(1+2i)(2-i)-5i=(2+i)(2-i)(1+2i)-5i=(4-i2)(1+2i)-5i=5(1+2i)-5i =5+10i-5i=5+5i. (2)(1-i)2(1+i)2+4=[(1-i)(1+i)]2+4=(1-i2)2+4=22+4=8. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 反思感悟 1.在进行复数的乘法运算时,可将i看作字母,按多项式乘法的运算法则计算,最后将i2=-1代入合并“同类项”即可. 2.复数的乘法运算可以推广,因此,复数可进行乘方运算,常见的有:(a±bi)2=(a2-b2)±2abi(a,b∈R),(1±i)2=±2i等,即实数的乘方公式对复数也成立. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 计算:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i)8; (2)1+i+i2+…+i4 020. 解:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i)8=1-i2+(1-i)8=2+[(1-i)2]4=2+(-2i)4=18. (2)因为in+in+1+in+2+in+3=0,n∈N+, 所以原式=1+(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i4 017+i4 018+i4 019+i4 020) =1+0=1. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 复数的除法 【例2】 计算:(1)(1+2i)÷(3-4i); 分析:(1)先写成分式的形式,再将分母实数化. (2)分子、分母按复数的乘法先分别展开化简,或分解因式,再做除法. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 延伸探究 求|(1+2i)÷(3-4i)|. 除数是虚数的复数的除法,运算时将分子、分母同乘以分母的共轭复数,再按复数的乘法进行运算,最后化简. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 与共轭复数有关的运算 【例3】 已知复数z满足: +2iz=8+6i,求复数z的实部与虚部的和. 分析:设z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等的充要条件得到方程组,求解即可. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 在同一式中出现z, ,|z|中两者时,常设复数z=x+yi(x,y∈R),再利用复数相等的充要条件列方程组求解. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练3】 已知复数z满足|z|=1,且(3+4i)z是纯虚数,求z的共轭复数 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【易错辨析】 因审题不清致误 【典例】 在复数范围内解关于x的方程x+i-2+x(1-i)=0. 错解:由题意知(2x-2)+(1-x)i=0, 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:本题要求在复数范围内解方程,从而x不一定是实数. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 正解:设x=a+bi(a,b∈R), 则a+bi+i-2+(a+bi)(1-i)=0, a+bi+i-2+a-ai+bi+b=0, (2a+b-2)+(2b-a+1)i=0, 防范措施 认真审题,弄清定义域的范围再解方程. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练】 在复数范围内解方程x2-4x+5=0. 解:设x=a+bi(a,b∈R), ∵(a+bi)2-4(a+bi)+5=0, ∴a2+2abi-b2-4a-4bi+5=0, 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 1.已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=(　　) A.-3+i B.-1+3i C.-3+3i D.-1+i 答案:B 解析:原式=-2+2i+i+1=-1+3i. 答案:B 答案:AD 答案:1+I 答案:1　1 (3)∀z∈C,z=|z|2=||2. (4)n个相同的复数z相乘时,仍称为z的n次方(或n次幂),并记作zn.当m,n均为正整数时,zmzn= zm+n ,(zm)n= zmn ,(z1z2)n= 1.若z(m+ni)=a+bi(z∈C,m,n,a,b∈R),z是否等于?(m+ni≠0) 2.(1)如果复数z2≠0,则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商,并记作z=(或z= z1÷z2 ),z1称为被除数,z2称为除数. (2)一般地,给定复数z≠0,称为z的倒数.z1除以z2的商也可以看成z1与z2的 倒数 之积. (3)当z为非零复数且n是正整数时,规定z0= 1 ,z-n= 答案:-i 解析:=-i. (2) 解:(1)原式==-i. (2)原式==1. 解:由例2(1)知,(1+2i)÷(3-4i)=-i, 所以|(1+2i)÷(3-4i)|= 【变式训练2】 计算:(1); (2); (3) 解:(1)=1-i. (2)=-1-3i. (3)解法一: = ==2i. 解法二:=i+i=2i. z 解:设z=a+bi(a,b∈R), 则z=a2+b2,由题意得a2+b2+2i(a+bi)=8+6i, 即a2+b2-2b+2ai=8+6i, 所以解得 所以a+b=4,即复数z的实部与虚部的和是4. 解:设z=a+bi(a,b∈R), 则=a-bi,且|z|==1,即a2+b2=1. ① 因为(3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(3b+4a)i, 而(3+4i)z是纯虚数, 所以3a-4b=0,且3b+4a≠0. ② 由①②联立,解得所以z=i或z=-i,即i或=-i. 所以解得x=1. 所以解得即x=1. ∴ 解得 因此x=2+i或x=2-i. 2.已知i2=-1,则i1 021(1-i)=(　　) A-i B+i C.--i D.-+i 解析:原式=i1 020×i(1-i)=i(1-i)=+i. 3.(多选题)下列命题中是真命题的为(　　) A.若复数z满足R,则z∈R B.若复数z满足z2∈R,则z∈R C.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1= D.若复数z∈R,则R 4.计算:=　　　　　.  解析:=1+i. 5.复数的虚部是　　　　　　　,模是　　　　　.  解析:=i, 所以虚部为1,模为1. 6.计算:(1)(4i-6). (2) 解:(1)(4i-6)=4i+(-6)+i×4i+i×(-6)=2i-3-6-9i=-9-7i. (2) ==-i(1+2i)=2-i. $$