第二单元线与角（讲义）-2024-2025学年四年级上册数学北师大版

线与角 板块一：考点精讲 1．直线、线段和射线的认识 【知识点归纳】 1．概念： 直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示． 线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示． 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示． 注意： （1）线和射线无长度，线段有长度． （2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点． 2．直线、射线、线段区别： 直线没有端点，两边可无限延长； 射线有一端有端点，另一端可无限延长； 线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度． 2．角的概念和表示 【知识点归纳】 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段． 定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. （1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. （2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知： （1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点； （3）角的两条边是射线，是无限延伸的. （4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部. 角的表示方法： （1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A 3．垂直与平行的特征及性质 【知识点归纳】 1．垂线的定义： 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）． 2．垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． 3．垂直的判定：垂线的定义． 4．平行线的概念： 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”． 5．平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行． （2）垂直于同一条直线的两直线平行． （3）平行线的定义． 4．角的度量 【知识点归纳】 1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器． 2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制． 角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量． 弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R． 3．度量方法： 量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐． 量角器的0刻度线和角的一条边对齐． 做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度． 看刻度要分清内外圈． 5．画指定度数的角 【知识点归纳】 三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角． 板块二：高频考点 一、选择题 1．钟面上，时针从3时走到9时，旋转的度数是（　　） A．60° B．90° C．180° 2．笑笑画了一条长100厘米的（      ）。 A．射线 B．线段 C．直线 3．要准确知道角的大小，可以用（　　）测量． A．三角尺 B．直尺 C．量角器 4．12时15分，钟面上时针与分针所成的角（　　） A．90度 B．大于90度 C．小于90度 5．4时整的时候，时针与分针所成的角是（    ）。 A．钝角 B．锐角 C．直角 6．课桌面的一条长边与一条短边（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．只是相交 7．从到这段时间里，钟表的分针旋转了（    ）。 A． B． C． 二、填空题 8．时钟在9：00时，时针与分针成（ ）度的角，再过1小时，时针与分针成（ ）度的角． 9．3时整时针与分针成( )角，4时整时针与分针成( )角，( )时整时针与分针成平角。 10．图形中有（ ）组互相垂直的线段。 11．我们可以用( )（工具）来画出垂线，可以用( )来判断两条直线是否垂直。 12．AB平行于( )，AE垂直于( )。 13．在钟表上，8时分针与时针成（ ）角；9时分针与时针成（ ）角；10时分针与时针成（ ）角． 14．钟面上3时整，时针和分针成( )角；钟面上6时整，时针和分针成( )角；钟面上12时整，时针和分针成( )角． 三、判断题 15．如果一个三角形有两个角是锐角，那么这个三角形有可能是钝角三角形。( ) 16．过直线外一点，能画出无数条已知直线的平行线。( ) 17．小于90°的角叫做直角．    ( ) 18．长3米的线段，延长10000米就变成了一条直线。( ) 19．两条线段是否平行，与这两条线段的长短无关。( ) 20．点到直线的所有连线中，垂线段最短。( ) 21．只有画在纸上的直线才能测量出长度。( ) 22．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。( ) 四、解答题 23．求出下图中∠1、∠2、∠3的度数，你能发现什么？ ∠1=________° ∠2=________° ∠3=________° 24．如图，四只小鸡同时发现了一条害虫，于是以同样的速度向害虫跑去，哪只小鸡能吃到害虫？请把它圈出来，并说一说你判断的依据。 25．如图，已知∠1=35°，求∠2的度数？ 26．红红晚上开始做作业时，钟面上时针在7和8之间，分针刚好指向3，完成作业时，分针刚好走了1个平角。红红是在什么时候完成作业的？ 27．奇思用量角器量了∠1，∠1是多少度？ 28．将一根长方形木条用钉子固定在墙上，至少需要钉几个钉子？为什么？ 29．下图是一张长方形纸折起来以后的图形，已知∠1＝30°，求∠2的度数。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B C C A B C 1．C 【详解】试题分析：钟面上，时针从3时走到9时，走的格子数是（9﹣3）×5个，每个格子对应的圆心角是360°÷60．据此解答． 解：360°÷60×[（9﹣3）×5]， =360°÷60×[6×5]， =360°÷60×30， =180°． 故答案选：C． 点评：本题的关键是求出时针走的格子数，再根据每个格子对应的圆心角的度数列式解答． 2．B 3．C 【详解】试题分析：测量角的仪器叫做量角器，由此即可选择． 解：测量角的大小所用的仪器是量角器． 故选C． 点评：此题考查测量角的方法和使用的工具，属于基础题． 4．C 【详解】试题分析：12时15分，钟面上时针已经指在12之后，即12与1之中，而分针正好指在3上，所以这时时针与分针所成的角应该小于90°． 解：12时15分，钟面上时针与分针所成的角是小于90°的角； 故选C． 点评：解决此题明确分针正好指着12，时针正好指在3上时，组成的角是90度． 5．A 【分析】当钟面上4时整，时针指着4，分针指12，两数之间组成的角有4个大格是30°×4＝120°；再根据角度区分角的类型即可解答。 【详解】30°×4＝120°，120°的角是钝角， 故答案为：A 【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角和角的分类。 6．B 【分析】长方形的两组对边分别平行且相等，长方形的一组邻边互相垂直；课桌桌面可以看成一个长方形。据此解答。 【详解】由分析可知，课桌桌面的一条长边与一条短边互相垂直。选项B正确。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查垂直的特性和长方形的特征，属于基础知识，要熟练掌握。 7．C 【分析】从到分针从3旋转到9，分针旋转了6大格，1大格是30°，6大格即6个30°，30°乘6即可求出旋转角度。 【详解】 故答案为：C 【点睛】钟面1大格30°，钟面1小格6°，先看分针旋转了几大格。 8．90，60 【详解】试题分析：9时时，钟面上时针指向9，分针指向12，它们之间的格子数是15，每个格子对应的圆心是360÷60度，据此解答． 再过1小时，钟面上时针指向10，分针指向12，它们之间的格子数是10，每个格子对应的圆心是360÷60度，据此解答． 解：360÷60×15， =6×15， =90（度）． 360÷60×10， =6×10， =60（度）． 答：时钟在9：00时，时针与分针成 90度的角，再过1小时，时针与分针成 60度的角． 故答案为90，60． 点评：本题的关键是求出时针和分针之间的格子数，再根据每个格子对应的圆心角的度数列式解答． 9． 直 钝 6 10．4/四 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，只要数出直角的个数，即互相垂直线段的组数；据此数出即可。 【详解】因为有4个直角，所以有4组互相垂直的线段。 【点睛】解答此题的关键：明确垂直的含义，并能结合题目进行灵活运用。 11． 三角尺 三角尺 【分析】过直线外一点画垂线的方法：把三角尺的一条直角边与直线A重合，让三角尺的另一条直角边通过点B，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是直线A的垂线。根据垂直的含义可知：当两条直线相交成90度时，这两条直线互相垂直；由此可知：判断两条直线是否垂直可以使用三角尺；据此解答即可。 【详解】我们可以用三角尺来画出垂线，可以用三角尺来判断两条直线是否垂直。 12． CD CD 【分析】平行四边形的两组对边互相平行，所以AB平行于CD，AC平行于BD；观察上图可知，AE是平行四边形底边CD上的高，故AE垂直于CD。 【详解】根据分析可知，AB平行于CD，AE垂直于CD（答案不唯一）。 【点睛】本题主要考查学生对平行四边形知识的掌握。 13．120°，90°，30° 【详解】试题分析：由于钟表的指针恰好是8点整，时针指向8，分针指向12，根据钟面被分成12大格，每大格为30度得到此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数=4×30°． 由于钟表的指针恰好是9点整，时针指向9，分针指向12，根据钟面被分成12大格，每大格为30度得到此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数=3×30°． 由于钟表的指针恰好是10点整，时针指向10，分针指向12，根据钟面被分成12大格，每大格为30度得到此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数=2×30°． 解：在钟表上，8时分针与时针成4×30°=120゜角；9时分针与时针成 3×30°=90゜角；10时分针与时针成2×30°=60゜角． 故答案为120°，90°，30°． 点评：本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格为30度；分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度． 14． 直 平 周 15．√ 【分析】由三角形的内角和是180°可知，如果一个三角形有两个内角是锐角，则另外一个角可以是锐角，也可以是直角或钝角；则这个三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形。 【详解】由三角形的内角和是180°可知，如果一个三角形有两个内角是锐角，则另外一个角可以是直角，也可以是钝角，则这个三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形； 故答案为：√ 【点睛】此题主要考查三角形的内角和及三角形的分类。 16．× 【分析】根据平行的性质：同一平面内，过直线外一点，画已知直线的平行线，只能画一条；据此解答； 【详解】根据分析可知：过直线外一点只有画一条直线与已知直线平行；原题干：过直线外一点，能画出无数条已知直线的平行线，说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查过直线外一点与已知直线平行的知识。 17．× 18．× 【分析】线段有两个端点，不能无限延伸，可以度量长度；直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能度量长度。据此解答。 【详解】由分析可知，长3米的线段，延长10000米后，这条线有两个端点，能够度量出长度，是线段。所以题目说法错误。 故答案为：× 19．√ 【分析】两条线段是否平行，主要看这两条线段所在直线是否在同一平面内并且不相交，与线段的长短无关，据此判断。 【详解】由分析可知，两条线段是否平行，与这两条线段的长短无关。说法正确。 故答案为：√ 【点睛】两条线段是否平行，与这两条线段的长短无关，与两条线段的位置有关。 20．√ 【分析】根据“点到直线的距离，垂线段最短”进行解答即可。 【详解】如上图，线段AC的长度最短，所以点到直线的所有连线中，垂线段最短。 故答案为：√ 【点睛】解答此题应明确：点到直线的距离，垂线段最短。 21．× 【分析】根据题意，直线没有端点；直线可以向两个方向无限延伸，无法测量，由此解答。 【详解】画在纸上的直线无法测量。 故答案为：× 【点睛】本题考查直线的认识，明确直线是无法测量的是解题的关键。 22．√ 【详解】根据平行线的意义可知，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 原题干说法正确。 故答案为：√ 23．90；90；90 两条直线相交，相对的两个角大小相等． 【分析】故答案为90；90；90；两条直线相交，相对的两个角大小相等． 根据图意可知，∠1和90°角组成平角，∠1和∠2组成平角，∠2和∠3组成平角，据此用减法求出未知角的度数． 【详解】∠1=180°-90°=90° ∠2=180°-∠1 =180°-90° =90° ∠3=180°-∠2 =180°-90° =90° 我发现：两条直线相交，相对的两个角大小相等. 24．见详解 【分析】两点之间所有连线中线段最短，从直线外一点到直线所画的线段中垂线段最短；根据所有小鸡到害虫的距离，以同样的速度，哪只小鸡与害虫的距离越短，哪只小鸡就能吃到害虫，找出小鸡到害虫的线段与四只小鸡的出发线成直角的垂线段即可。 【详解】根据分析，观察图片可知，从右数第二只小鸡到害虫的距离线段与小鸡的出发线成直角，所以这只小鸡能吃到害虫。 垂线段最短。 25．145° 【分析】∠1和∠2组成平角，用180°减去∠1的度数即可求出∠2的度数． 【详解】∠2=180°-35°=145° 答：∠2的度数是145°． 26．晚上7：45 【分析】等于180°的角是平角，钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，6个30°是180°，因此分针刚好走了6个大格，依此根据对钟面指针的认识填空即可。 【详解】6×30°＝180° 3＋6＝9，即此时分针指向数字9；所以红红是在晚上7：45完成作业的。 答：红红是在晚上7：45完成作业的。 27．100° 【分析】常用量角器量角是把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度与角的一边重合，另一边所经过的度数就是该角的度数，这里量角器的0刻度不是与角的一边重合，角的两边所显示的刻度之差就是该角的度数。据此解答即可。 【详解】150°－50°＝100° 答：∠1是100°。 28．2个；两点确定一条直线 【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线，据此即可解答。 【详解】将一根长方形木条用钉子固定在墙上，至少需要钉2个钉子，因为两点确定一条直线。 【点睛】本题主要考查直线的性质，需要灵活运用。 29．75° 【分析】根据题意，三个角组成了平角等于180°，（180°－30°）÷2就可以得出答案。 【详解】由对折的性质可知：∠2挡住的角就等于∠2，因为三个角的度数和是平角，平角＝180°，∠1＝30°，所以180°－30°＝150°，∠2＝150°÷2＝75°。 答：∠2是75°。 【点睛】本题是关于角的计算的题目，依据平角的度数进行解答即可。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$