2.8 直线与圆锥曲线的位置关系-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册课前预习10分钟（人教B版2019）

2.8直线与圆锥曲线的位置关系 【知识点一点】 (2)联立直线与圆维曲线的方程，消元，得到关于一个未 一、直线与圆锥曲线的位置关系 知数的一元二次方程，再结合弦长公式求解 1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定 2.与圆锥曲线中点弦有关的三种题型及解法 将直线方程与圆维曲线方程联立组成方程组，消去y(或x), (1)利用根与系数的关系求中点坐标：联立直线方程和圆 得到一个关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为△，则 锥曲线方程构成方程组，消去一个未知数得到一元二次 △<0台直线与圆锥曲线相离： 方程，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标 △=0台直线与圆锥曲线相切： 公式解决。 △>0→直线与圆锥曲线相交. (2)利用点差法求直线斜率或方程：弦的端点在曲线上， 2.直线方程与双曲线或抛物线的方程联立可能得到一次方 端点坐标满足圆锥曲线方程，将端点坐标分别代入圆锥 程，此时直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点· 曲线方程，然后作差，得到中点坐标和斜率的关系，从而 直线与抛物线的对称轴平行或重合，只有一个公共点： 使问题得以解决。 二、弦长公式 (3)利用共线法求直线方程：如果弦的中点为P(x,y), 设斜率为k的直线被圆锥曲线截得的弦为AB,若A(x, 设弦的一个端点为A(x,y),则另一个端点为B(2xm y),B(x为) x,2一y),由A,B两点都在圆锥曲线上，满足圆锥曲 则AB时■√/1+k一x 或 线方程，可将其坐标代入方程后作差即可得所求直线 AB=√h+ 方程。 (k≠0). 四、圆锥曲线中的最值（范围】问题 三、圆锥曲线中的弦长问题 解决圆锥曲线中的最值（范围）问题的方法 1.求相交弦的弦长的两种方法 (1)数形结合：借助几何关系与几何性质求解， (们)求出直线与圆锥曲线的两交点坐标，用两点间的距离 (2)建立函数模型：利用二次函数，三角函数等的最值求解。 公式求弦长 (3)建立不等式模型：利用均值不等式求解， ·47· 五、圆锥曲线中的定值与定点问题 (2)代数法 1.定值问题 随目中给出的条件和结论几何转征不明显，则可以建立目 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本 标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不 思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题 等式法，单调性法等」 与参数无关，在这类问题中，选择消元的方法是非常关 【课前测一测】 键的。 L,思考辩析（正确的画“√”，错误的画“ד） (2)求定值问题的常用方法： (1)平面上到定点A(1,0)和到定直线(：x十2y+3=0的 ①直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从 距离相等的点的轨迹为抛物线。 而得到定值 (2)一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2个。 ②从特殊人手，求出定值，再证明这个值与变量无关， 2.解决定点问题的方法 (3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切 一是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所 的充要条件。 以要抓住问题的核心，实质就是求解直线方程中参数之 2.抛物线y2■12x截直线y=2.x十1所得弦长等于( 间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线的方 A.⑤ B.√13 程为y=kx十b,则直线恒过点(0，b),若直线的方程为 C.215 D.2√13 y=k(x一a),则直线恒过点(a,0), 3直线y=x十1与椭圆王+苦=1的位置关系为 【解题秘箱】 1.求参数范围的方法 4直线y=号（红-子）与双曲线号-y-1交点个数为 挪已知条件建立等式戏不等式的函数关系，再求参数范围。 个 2.求最值问题的方法 (1)几何法 5过椭圆后+发-1的右焦点与r轴垂直的直线与稀圆交 题目中给出的条件有明显的几何种征，则考虑用图像来解决 于A,B两点，则|AB引 ·48·2.7抛物线及其方程 2.8直线与圆锥曲线的位置关系 2,7,1抛物线的标准方程 【知识点一点】 【知识点一点】 √/(1+k)(x1十x)-4x1x] -、1.抛物线焦点 【课前测一测】 √+)[(+)-4 1.(1)/(2)/(3)×(4)× 【课前测一测】 2.C 3.BCD 4.C 1.(1)/(2)/ (3)× 5.解：设焦，点F(a,0),则|PF=√(a+5)+20=6,即a'+ 2.A解析：令直线与抛物线交于点A(工1y),B(xy), 10a+9=0,解将a=一1或a=一9.当焦点为F(一1,0) y=2.x+1, 时，p=2,抛物线开口向左，方程为y=一4x:当焦点为 由 得4x2-8.r+1=0. y2=12x F(一9,0)时，p=18.抛物线开口向右，方程为y -36x. x1+=2,0=有 2.7.2抛物线的几何性质 【知识点一点】 .AB\=(1十2)一)=⑤m十)一4]=15 二、1.焦点弦2.2p y=x十1 3,相交解析：联立 【课前测一测】 消去y得3x+2x一1=0， 1.(1)×(2)×(3)(4) 2.B3.D4.B5.5 △=2十12=16>0，.直线与精图相交 6解：精圆的方程可化为号+号-1，共短轴在r轴上心 4.1解析：克线与新近线平行因此只有一个交点， 5248 解析：椭国的右焦点为(1,0)，把x=1代入 抛物线的对称轴为工轴，.设抛物线的方程为y=2p工 13 或y=2px(p>0).:抛物线的焦，点到顶，点的距离为3， 后+最1中得-=士2 13 即号=3…p=6, .抛物线的标准方程为y=12r或y=一12 |AB=2413 13 ·58·