2.7 抛物线及其方程-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册课前预习10分钟（人教B版2019）

2.7抛物线及其方程 2.7.1抛物线的标准方程 (2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件确 【知识点一点】 定参数的值。 一、抛物线的定义 当抛物线的焦点位置设有确定时，可设方程为y2=m 1,一般地，设F是平面内的一个定点，【是不过点F的一条 (m≠0)或x=y《n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的 定直线，则平面上到F的距离与到的距离相等的点的 次数. 轨迹称为 ,其中定点F称为抛物线的 三、抛物线定义的应用 ,定直线（称为抛物线的准线 1.利用定义解决与抛物线有关的轨迹问题 2.抛物线定义中，若定点F在定直线1上，则轨迹不是抛物 先将几何条件转化，其关键是根据几何性质，将几何条件 线，而是过点F且垂直于！的一条直线 转化为抛物线的定义：动点到定点的距高等于到定直线 标准 的距离，且定点不在定直线上：再利用抛物线的定义写出 v=2Ap0》 一2单 =2p0)子=(p 方程 标准方程. 2,抛物线的定义主要用来进行抛物线上的点与焦点之间的 距离及到准线的距离的转化，通过转化可以求最值，参 图形 数、距离 【解题秘籍】 焦点 (号） (-) 求抛物线实际应用的五个步骤 坐标 (1)建立适当的坐标系。 二、抛物线标准方程的求解 (2)设出合造的抛物线方程， 求抛物线标准方程的两种常用方法 (3)通过计算求出批物线的标准方程 (1)定义法：先判断所求点的轨迹是否符合抛物线的定义， (4)求出需要求出的量。 若符合，再根据定义求出方程. (5)还原到实际问题中，从而解决实际问题。 ·43· 【课前测一测】 5.已知抛物线顶点在原点，对称轴为x轴，点P(-5,25) 1.思考辨析（正确的画“/”，错误的画“×”） 到焦点的距离为6，求抛物线的标准方程. (1)抛物线的焦点到准线的距离是p. (2)抛物线的开口方向由一次项确定. (3)抛物线的方程都是二次函数： (④)范物线)=一14：的准线方程是y一。 2.抛物线的准线为x=一4，则抛物线的方程为( A.x2=16y B.-8y C.y2=16x D.y=8.r 3.(多逃)若动点P到定点F(一4,0)的距离与到直线x■4 的距商相等，则点P的轨迹不可能有( A,抛物线 B.线段 C.直线 D.射线 4.已知定点F和定直线1，点F不在直线1上，动圆M过点 F且与直线！相切，则动圆圆心M的轨迹是( A.射线 B.直线 C.抛物线 D.椭圆 ·44· 2.7.2抛物线的几何性质 (I)1AB1=x+工+p 2p sin 【知识点一点】 一、抛物线的几何性质 (2)xx= %=-r,00i=-是： p 标准方程y=2单(p>0 -2PXp0) =-p0 D y-号 (3)AFI-1-c0s BF-cos 准线方程 r=- P 2 y- 2 (40AF十TBFE￥ 范四 r20.yER r≤0，yER r∈R,y0 x∈R,y≤0 (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切： 对称轴 x轴 y轴 (6)以AB为直径的圆与准线相切： 顶点坐标 (0.0) (7)A,O,B共线，A',O,B共线： 离心率 e=1 (8)∠A'FB'=90°： 二、抛物线的焦点弦 (9)S△Nw= 1.焦点弦：过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段， 2sin 称为抛物线的 (10)抛物线在A,B处的切线互相垂直且交点在准线上： 2.通径：过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与地物线相 【解题秘籍】 交所得的弦，称为抛物线的通径，抛物线的通径长为 利用抛物线的性质可以解决的问题 ,是所有焦点弦中长度最短的弦， (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题。 3.有关抛物线焦点弦的结论 (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题 如图，已知AB是地物线y=2px (3)范国：解决与抛物线有关的最值问题. (p>0)的焦点弦，抛物线的焦点 (4)焦点：解决焦点弦问题 为F,A(x1·y),B(·y),直线 【课前测一测】 AB的倾斜角为0，则有 1,思考辩析（正确的画“/”，错误的画“×”） (1)抛物线关于顶点对称， ·45· (2)抛物线是中心对称图形， )5.过抛物线y=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1y,), (3)地物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都 Q(x,y)两点，如果x十x2=3,则1PQ= 相同。 6.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9.x十4y=36 (4)直线与抛物线有一个交点“是直线与地物线相切”的 短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物 必要不充分条件 线的方程. 2.若点(m·n)在抛物线y=一13x上，则下列点中一定在 该抛物线上的是( A.(一，一n) B.(m,一n) C.(一m,n) D.(一n。一m)》 3.顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛 物线方程是( A.x2=16y B.x=8y C.x=±8y D.x2=±16y 4.过点(2,4)的直线与抛物线y■8x只有一个公共点，这 样的直线有( A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 ·46·2.7抛物线及其方程 2.8直线与圆锥曲线的位置关系 2,7,1抛物线的标准方程 【知识点一点】 【知识点一点】 √/(1+k)(x1十x)-4x1x] -、1.抛物线焦点 【课前测一测】 √+)[(+)-4 1.(1)/(2)/(3)×(4)× 【课前测一测】 2.C 3.BCD 4.C 1.(1)/(2)/ (3)× 5.解：设焦，点F(a,0),则|PF=√(a+5)+20=6,即a'+ 2.A解析：令直线与抛物线交于点A(工1y),B(xy), 10a+9=0,解将a=一1或a=一9.当焦点为F(一1,0) y=2.x+1, 时，p=2,抛物线开口向左，方程为y=一4x:当焦点为 由 得4x2-8.r+1=0. y2=12x F(一9,0)时，p=18.抛物线开口向右，方程为y -36x. x1+=2,0=有 2.7.2抛物线的几何性质 【知识点一点】 .AB\=(1十2)一)=⑤m十)一4]=15 二、1.焦点弦2.2p y=x十1 3,相交解析：联立 【课前测一测】 消去y得3x+2x一1=0， 1.(1)×(2)×(3)(4) 2.B3.D4.B5.5 △=2十12=16>0，.直线与精图相交 6解：精圆的方程可化为号+号-1，共短轴在r轴上心 4.1解析：克线与新近线平行因此只有一个交点， 5248 解析：椭国的右焦点为(1,0)，把x=1代入 抛物线的对称轴为工轴，.设抛物线的方程为y=2p工 13 或y=2px(p>0).:抛物线的焦，点到顶，点的距离为3， 后+最1中得-=士2 13 即号=3…p=6, .抛物线的标准方程为y=12r或y=一12 |AB=2413 13 ·58·