2.6 双曲线及其方程-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册课前预习10分钟（人教B版2019）

2.6 双曲线及其方程 2.6.1 双曲线的标准方程 二、双曲线的标准方程的求解 【知识点一点】 1.定义法求双曲线的标准方程 一、双曲线的定义 根据双曲线的定义确定a.6的值,结合焦点位置写出双 一般地,如果E,E,是平面内的两个定点,&是一个正常数 曲线的标准方程 且2 EF ,则平面上满足 PF -PF.一2的动点 2.待定系数法求双曲线的标准方程 P的轨迹称为 .其中,两个定点F.F。称为双曲 线的焦点,两个焦点的距离 称为双曲线的焦距 [知识拓展] (1)当2a= F,F|时,动点P的轨迹是以 6 -1(a0,b0),焦点位置不定时,可设为mr十 F.F.为端点的两条方向相反的射线(包括端点):当2a IFE 时,动点P的轨迹不存在.(2)若将定义中的” PF ny-1(mo). PE 一2“改成“PF 一PE 一2”,则动点P的轨迹是双 三、双曲线的焦点三角形问题 曲线的一支 双曲线上一点P(不在坐标轴上)与其两焦点F,F.构成的 二、双曲线的几何性质 三角形PFF.称为焦点三角形 双曲线的标准方程 (1)令PF =.PF.r.FPF -.FF2c.则 焦点位智 在r轴上 在轴上 ①定义:r-r:l-2a. ②余弦公式:4-ri+r-2rrcos0. 圈形 ## 1 -1(a>0.) 标准方程 ④焦点三角形PF,的内切因则心的横坐标恒为定值。或 。 -. .39. (2)由三角形的边角关系(正、余落定理)和双曲线的定义等 知识可以解决焦点三角形的面积,周长及有关角、变量的取 值范围等问题. 【解题秘籍】 求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种; 中一个焦点的距离为8,则到另一个焦点的距离为 (1)列出等量关系,化简得到方程 (2)寻找几何关系,结合双曲线的定义,得出对应的方程 4.若F(-5.0).F.(5,0). MF 1-MF。|-8,求双曲线 的方程. 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意 (1)双曲线的焦点所在的坐标轴 (2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支; (3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点,是否都在 所求曲线上. 【课前测一测】 1.思考辨析(正确的画“/”,错误的画“×”) (D)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间 距离)的点的轨迹是双曲线 ) (3)在双曲线标准方程中:a:么的大小关系是a> 2.(1)双曲线 ,焦点 为 .40. 2.6.2 双曲线的几何性质 2.等轴双曲线 【知识点一点】 实轴长和虚轴长相等的双曲线,称为等轴双曲线,其方程 一、双曲线的几何性质 为-y-士aī(a云0),离心率e-/②,两条渐近线互相 1.双曲线的标准方程与儿何性质 垂直。 售点位置 在r轴上 在勃上 3.双曲线的其他几何性质 图形 离等于6. B (2)通径;过双曲线的集点目垂直于实轴的直线被双曲线 --1a>0.6>o 标准方程 二--1(a>0.0) , 章 。 焦点 F(-..0).F.(c.0) F.(o.-).F.(0.c) 焦 [F.FI-2(-a十) 为F,F,当点P在左支上时,PF I[c一a,+。). 范围 1一或 一或y IPE Ec十a,十o):当点P在有支上时,PEEe a+oo)lPFlEc-a.十oo). 对称性 对称轴;x轴,y轴;对称中心:原点 二、双曲线的离心率问题 性 项点 A(-a.0).A.(a.0) A.(0.-a).A.(0.a) 质 1.求双曲线的离心率 实轴(线段AA。)的长: ) 辅 虚轴(线段B.B)的长: (1)易求a.c的值时,直接求出并代入e--求解,有时要 实半轴长:;a:虚半轴长; 结合一十求解. 渐近线 (2)构建关于a.c的齐次方程,利用。一-将齐次方程转 离心率 (e>D) 化为关于e的方程,解方程即可,注意e1 .41. 2.求双曲线离心率的取值范围 一1的渐近线的斜率绝 利用题设中的条件,构造关于a.,c的齐次不等式,结合 对值越大. r一a十求解,解题时注意利用图形中的位置关系(如 _ 三角形中的边角关系等) 【解题秘籍】 A.2 B.4 渐近线有关的设法 D (1)有共同渐近线的双曲线方程 3.实轴长为2,虚轴长为4的双曲线的标准方程是 ) 一(云0),若入0.则实轴为x轴:若入<0,则实轴为 y轴. (2)若已知渐近线方程为x士”一0,求双曲线方程,则有 如下两种方法:①分两种情况设出方程进行讨论;②依据渐 .)一一 近线方程,设出双曲线方程n一ny一&(x云0),求出 即可。 【课前测一测】 1.思考辨析(正确的画“”,错误的画“×” (1)双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔。 (2)以y一士2r为渐近线的双曲线有2条. ( C.y-士2r D.=士/2x 5.双曲线9y-16r-144的离心率- .42.【课前测一测】 2.6 双曲线及其方程 1.(1)× (2)× 2.6.1 双曲线的标准方程 2.C 3.D 4.8+4 【知识点一点】 2.5 圆及其方程 一、双曲线 FF。 2.5.1 概圆的标准方程 【课前测一测】 【知识点一点】 I.(1)X (2)X (3)X 一、焦点 焦距 【课前测一测】 2.(1)8 (士4,0) (2)2(0.士) 1.(1X (2)× (3)× 3.32 2.B 3.C 4.2 4.解:.M满足 MF -MF -8<10=FF..'M的 2.5.2 圆的几何性质 轨迹是以F(一5,0),F.(5,0)为焦点的双曲线的一支 【知识点一点】 又MF-MF -80..'.MFIMF |.而M位千 一、1.22 【课前测一测】 2.6.2 双曲线的几何性质 1.(1)X(2)×(3)(4) 【知识点一点】 2D 3.A 4.(0.士/7)(0.士4).(士3.0) 一、1.2 26 5.解:.ABFF,且△ABF:为正三角形, 在 R△AFF中.AF F=30$令lAF =,则 AF = 【课前测一测】 2.r.1FF- AF-AF-3-2c 1.(1)(2×(3)X(4) 由回的定义,可知[AF|+AF|-2a-3r. 2③ 23 .57.