2.3 圆及其方程-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册课前预习10分钟（人教B版2019）

2.3圆及其方程 2.3.1圆的标准方程 ②圆心到切线的距离等于圆的半径： 【知识点一点】 ③圆的半径r,弦长的一半h与弦心距d满足=h十F: 一、圆的方程 ④圆的弦的垂直平分线过圆心： 圆的标准方程：(x一a)十(y一b)=r2(r>0),其中圆心为 ⑤已知过圆心的直线I及圆上两点，则两点连线（圆的 ,半径为 弦)的垂直平分线m(m与1不重合)与直线1的交点即为 二、点与圆的位置关系 圆心 2.待定系数法 点(x,y】与圆的位置关系 圆(r-a+(y-)”=r2(r>0】 (1)根据题意设所求圆的标准方程： (2)根据已知条件建立关于参数的方程组： 点在司内 (ma)2+(yw-)< (3)解方程组，求出参数的值： (4)将参数的值代入所设的方程中，即可得到所求圆的 点在国上 (。-a)+(克-b)= 方程。 【解题秘籍】 点在图外 (-a)2+(y-b)>7 与圆有关的最值问题 (1)形知如=y二形式的最值问题，可转化为过点（工y)和 三、圆的方程的求解 a-a 1.几何法 (a,b)的动直线针率的最值问题： 利用相关几何性质确定圆心和半径，即可得到圆的标准 《2)形如1=a,x十by(b≠0)形式的最值问题，可转化为动直 方程.相关几何性质如下： ①圆心与切点的连线垂直于圆的切线： 一分十石藏距的最值问题： 线y=一4 ·28· (3)形如(x一a)2十(y一b)形式的最值问题，可转化为动点 5.已知圆C,的方程为(x+3)+(y一2)=5，圆C与圆C (t,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题. 是同心圆且过点A(5,0),求圆C的标准方程. 【课前测一测】 1.思考耕析（正确的画“、√”，错误的画“×”） (1)(x一a)产十(y一b)=m2一定表示圆的方程.（) (2)若圆的标准方程为(x一a)炉十(y一b)=m(m≠0)， 则此圆的半径一定是m. 2.圆心为(3,1).半径为5的圆的标准方程是( A.(x+3)2+(y+1)=5 B.(x+3)十(y十1)2=25 C.(x-3)2十(y-1)=5 D.(x-3)2+(y-1)2=25 3.圆(x-3)'+(y+2)=13的周长是() A.13x B.213x C.2π D.23元 4.圆(x+1)炉+(y十2)=4的圆心坐标是 半 径是 ·29· 2.3.2圆的一般方程 【课前测一测】 【知识点一点】 L思考辩析（正确的画“、/”，错误的画“×”） 一、圆的一般方程 (1)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程. 圆的一般方程：当D十E一4F>0时，方程x十y2十Dx十 Ey十F■0为圆的一般方程，表示以 为圆心， (2)圆的一般方程和标准方程可以互化， 为半径的圆。 (3)方程x+y-2x+4y十5=0表示圆. 说明：①当D+E一4F<0时，该方程不表示任何图形： (4)若点M(x,y)在圆x+y+Dx+Ey+F=0外，则 ②当D+E-4F=0时，该方程表示一个点（号，-号） x+y+Dx十Ey+F>0. 2.圆x2+y+4x一6y-3=0的圆心和半径分别为( 注意：二元二次方程Ar+By十Cxy+Dx十Ey十F=0表示 A.(4.-6).16 B.(2.-3),4 的图形为圆时，需满足A=B≠0，C=0,D十E一4F>0. C.(-2,3),4 D.(-2,3),16 二、点与圆的位置关系 3.已知圆C:x+y-2x一2y■0，则点P(3,1)在( 点(，%)与圆的位置关系 圆x十y十Dx+Ey十F=0 A.圆内 B.圆上 点在司内 x十5十Dx+E%十F<0 C.圆外 D.无法确定 点在国上 十6+Dx+E%十F=0 4.圆x2+y一2x一8y+13=0的圆心到直线2a.x+y一1 点在阅外 ++Dr+Ey+F>0 0的距离为1，则a等于( 【解题秘籍】 A号 B一专 求与圆有关的轨迹的方法 C. n- (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程： 5.经过A(0,0),B(1,0),C(2,1)三点的圆的方程为( (2)定义法：根据回，直线等定义列方程： A.x2+y2+x-3y-2=0B.x2+y2+3x+y-2=0 (3)几何法：利用圆的几何性质列方程： C.x2+y2+r+3y=0 D.x2+y2-x-3y=0 (4)代入法：若动点P(x,y)依赖于某同上的一个动，点Q 6,若方程x十y一4x十2y十5k■0表示圆，则实数k的取 (1y)而运动，把y用xy表示，再将点Q的坐标代 值范围是 入到已知圆的方程中得，点P的轨速方程. ·30 2.3.3直线与圆的位置关系 (2)若点P(x,%在圆(x一a)十(y一b)=产(r>0)上，则过 【知识点一点】 点P的切线方程为(x-a)(x一a)十(y一b)(一b)=r: 一、直线与圆的位置关系 (3)若点P(xo,y)在图x+y+Dx+Ey+F=0(D十 设圆C:(x-a)+(y-b)2=r(r>0),直线1：Ax十By十C E一4F>0)上.则过点P的切线方程为xx十yy十D· 0(A+B≠0).圆心C(a,b)到直线1的距离d 安+E,+F=0, 2 1(x-a)°+(y-b)=r 由Ax+B+C=0 消去y(或x),得到关于r(或 【课前测一测】 y》的一元二次方程，其判别式为△ 1,思考辨析（正确的画“J”,错误的画”X”) (1)若由直线方程和圆的方程组成的方程组有解，则直线 位置关系 相交 相切 相离 与圆相交， 公共点个数 0 (2)只要求得圆的半径及侧心到直线的距离，就能判断直 几何法 d<r der d>r 线与圆的位置关系 代数法 4>0 △=0 4<0 2.直线x=1与圆x+y=1的位置关系是( 二、与圆有关的切线问题 A.相切 B.相交但直线不过圆心 过点P(,y)的圆的切线方程的求法： C.直线过圆心 D.相离 (1)当点P在侧上时，求点P与圆心连线的斜率，若斜率存 3.已知直线1：x-2y十5=0与圆C:(x一7)°+(y一1) 在且不为0，记为k.则切线斜率为一太：若斜率为0，则切 36,则直线（与圆C的位置关系是( A.相切 B.相交 C,无法判断D.相离 线斜率不存在，若斜率不存在，则切线斜率为0， 4.对任意的实数，直线y=x+1与圆x2+y=2的位置 (2)当点P在圆外时，设切线斜率为k,写出切线方程，利用 关系一定是( 圆心到切线的距离等于半径，解出k即可（若仅求出一个 A.相离 B.相切 值，则存在一条斜率不存在的切线). C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 【解题秘籍】 5.若直线x一y十1=0与圆(x一u)十y2=2有公共点，则 过圆上一点的切线的相关结论 实数a的取值范固是( (1)若，点P(x,y。》在四x十y2=广(r>0)上，则过点P的 A.[-3,-1] B.[-1.3 切线方程为xur十yoy=r: C[-3,1] D.(-∞，-3]U[1,+o) ·31· 2.3.4圆与圆的位置关系 2.两圆公共弦的长度的求法 【知识点一点】 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，再利用两 一、圆与圆的位置关系 点间的距离公式求出弦长。 1.代数法：联立方程后，得出方程组解的个数为0,1,2时，分 (2)几何法：①将两圆的方程作差，求出公共弦所在直线 别对应圆与圆内含或外离，内切或外切、相交，不仅计算复 的方程：②求出其中→个圆的圆心到公共弦的距离：③利 杂且情况也复杂，因此一般利用几何法进行分析判断， 用勾股定理求出公共弦的长度， 2.几何法：通过方程得出两圆的半径1，以及圆心坐标， 3.求经过两圆交点的圆的方程的方法 计算两圆心之间的臣离d,按下表中的标准进行判断. 一股地，过圆C:x+y+Dx十Ey十F=0(D+E- 两圆的公 两圆的公 4F>0)与圆C::x2十y2十Dx十Ey+F,=0(D十 两圆的位置 几何条件 共点个数 切线条数 4F>0)交点的圆的方程可设为x十y十Dx+Ey+ 外离 0 >r十r F,+a(x2+y2+Dx十Ey+F:)=0(a∈R,A≠-1D,然 后由其他条件求出入即得圆的方程， 外切 1 d=十r 【解题秘籍】 相交 2 n-n<dcn+r 处理两圆相切问题的两个步骤 内切 1 delr-r:l (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相 内含 0 d<In-n 切，则必须分两周内切还是外切两种情况讨论 二、两圆的公共弦问题 (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于 1,两圆的公共弦所在直线的方程 两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时） 若圆C:x+y+Dx十Ey+F,=0(D+E-4F,>0) 【课前测一测】 与圆Ctx2十y十D,.x十E:y十F=0(D十E-4F>0)》 1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） 相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为(D,一D,)x (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则 (E-E:)y十F,-F.=0. 两圆外切 ·32· (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆 6.求圆C4:x2+y=2与圆C:(x一2)2十y=8的公切线 相交 方程. (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程 是两圆的公共弦所在的直线方程 (4)过圆O:x十y=外一点P(x,为)作阙的两条切 线，切点为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方 程是xr十y=广， 2.两圆x2十y-1=0和x+y一4x十2y-4=0的位置关 系是( A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 3.圆x2+y一4x十6y=0和圆x2+y2一6.x=0交于A,B 两点，则AB的垂直平分线的方程是( A.r十y十3=0 B.2r-y-5=0 C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0 4.已知圆x2+y=1与圆(.x一3)十y=r2(r>0)相外切， r等于( A.1 B.2 C.3 D.4 5.两圆x+y2-10.x-10y=0,.x+y2+6.x+2y-40=0的 公共弦的长为( A.5 B.5② C.10w2 D.10 ·33·2.3圆及其方程 【课前测一测】 2.3.1圆的标准方程 1.(1)×(2)/ 【知识点一点】 2.A3.B4.C5.C -、(a,b)r 2.3.4圆与圆的位置关系 【课前测一测】 【知识点一点】 1.(1)×(2)× -,2.43210 2.D3.B 【课前测一测】 4.(-1.-2)2 1.(1)×(2)× (3)×(4)× 5.解：依题意，圈C2的国心为C(一3,2)， 2.B3.C4.B5.D 别米径r=|C2A=√(-3-5)+2=2/17 故图C的标准方程为(x+3)十(y一2)=68. 6.解：依题易知，圈C与圆C的圆心距C,C:=2,且√2< 2.3.2圆的一般方程 2<32,∴.两图相交 【知识点一点】 即两国有2条公切线，且针率均存在 -(2-) 设公切线的方程为y=x十h: 【课前测一测】 b =2 √/1+k k=1k=一1 1.(1)/(2)/ (3)× (4) 解得 故公切线的 2k十b 6=21b=-2 2.C3.C4.A5.D 1+ =22, 6.k<1 方程为y=x+2或y=一x一2. 2.3.3直线与圆的位置关系 【知识点一点】 2.4曲线与方程 Aa+Bb+Cl 【知识点一点】 √A+B 一、曲线方程 ·56·