2.4-2.5 曲线与方程 椭圆及其方程-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册课前预习10分钟（人教B版2019）

2.4曲线与方程 【知识点一点】 (2)研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，求出交点的坐 一、曲线的方程与方程的曲线 标，因为曲线与坐标轴的交，点是确定曲线位置的关健点： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x,y) (3)研究曲线的对称性（关于x轴、y轴、原，点）： 0之间具有如下关系： (4)研究曲线的变化趋势，即y随x的增大戎减小的变化情况： (1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解： (5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利 (2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.厕 用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个 称曲线C为方程F(x,y)=0的 ,方程F(x,y)=0 象限的困像，然后根据对称性画出整条曲线。 为曲线C的 【课前测一测】 二、求动点的轨迹方程 1,思考辨析（正确的画“/”，错误的画“×”） 求动点M的轨迹方程的一般步骤 (1)以坐标原点为圆心，半径为·的圆的方程是y= (1)设动点M的坐标为(x,y)(如果没有平面直角坐标系， 需先建立)： Vr-t: (2)写出M要满足的儿何条件，并将该几何条件用M的坐 (2)过点A(2,0)平行于y轴的直线1的方程为x=2（) 标表示出来： 2.方程y=√9-x表示的曲线是() (3)化简并檢验所得方程是不是M的轨迹方程， A.一条直线 B.圆 求动点的轨迹方程时，注意隐含条件，必要时应该对方程中 C.半圆 D.不表示任何图形 的变量的取值做出相应的限制， 3.方程(2x十3y一1)（√x一3一1）=0表示的曲线是( 【解题秘籍】 A,两条直线 B.两条射线 讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面： C.两条线段 D.一条直线和一条射线 (1)研究曲线的组成和范国，即看一下所求的曲线是由哪一 4,由曲线x+y=21x|+2y围成的图形的而积为 些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方 程所表示曲线的大致范围： ·34· 2.5 椭圆及其方程 2.5.1椭圆的标准方程 二、椭圆的标准方程的求解 【知识点一点】 1.定义法求椭圆的标准方程 一、椭圆的定义 根据椭圆的定义确定a,b的值，结合焦点位置写出椭圆 如果F,F,是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a> 的标准方程 IF,F:,则平面内满足1PF,|十IPF:=2a的动点P的轨 2.待定系数法求椭圆的标准方程 迹称为椭圆，其中，两个定点F,F称为椭圆的 如果明确椭圆的焦点在x轴上，那么设所求的椭圆方程 两个焦点之间的距离引FF:称为椭圆的 为后+若-1a>b>0: 当2a=|F,F:时，动点P的轨迹是线段F,F:当2a FF时，动点P的轨迹不存在 如果明确椭圆的焦点在y轴上，那么设所求的栖圆方程 焦点位置 在x轴上 在y轴上 为+若-1o>>0: 如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上还是 在y轴上，那么设所求的椭圆方程为mx十y=1(m>0, B 作0，加≠n). 图形 三、椭圆的焦点三角形问题 焦点三角形及其解法 若辆圆后+兰=1u>6>0)的两个焦点分别为R,(-, =1(a>b>0) + 0),F,(,0),点P是椭圆上任意一点（不与F,,F,共线），则 标准方程 =1(a>b>0》 △PF,F,称为焦点三角形 ·35· (口)解决焦点三角形问题时，注意对椭圆的定义、正弦定理、 (2)椭圆后+芳-1的焦点坐标是（士3,0 余弦定理、配方法，平面向量的数量积及其坐标运算等知识 的综合运用 (8)后+若-1a≠b表示焦点在y轴上的椭圆.《) (2)焦点三角形的常用公式： 2.以下方程表示椭圆的是() ①焦点三角形的周长C=2a+2c ②在△PF,F:中，由余弦定理可知|F,F:=PF,I2+ A.x2+y2=1 PF:-2PFPF,cos/F PF:. B.2.x2+3y2=6 ③设P(rp,y),则焦点三角形的而积S=cfyr|= Cx2-y2=1 PE,PE,I·i∠F,PF,=ian∠E,PE D.2.x2-3y=6 3.以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的 【解题秘籍】 椭圆的标准方程是( 求解与椭圆相关的轨迹问题的方法 定义法 A+ 4 方法二 待定系数法 B+1 迹问题 方法 相关点法 求得轨迹方程 判断曲线类型 方法四 参数法 n号+-1或写+- 4 【课前测一测】 1,思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） 4椭圆号+子=1的左，右焦点FF,点P在椭圈上，若 (1)平面内与两个定点F,F:的距离之和等于常数的点 PF=4,则PF= 的轨迹是椭圆： ·36· 2.5.2椭圆的几何性质 2.椭圆的其他几何性质 【知识点一点】 (1)通径：过椭圆后+若=1(a>6>0)的焦点作垂直于 一、椭圆的标准方程与几何性质 1.椭圆的标准方程与几何性质 焦点所在对称轴的直线，该直线被椭圆截得的弦称为通 焦点位置 在柚上 在y轴上 径，其长度为兴 (2)焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中通径（垂直于长轴的 焦点弦)最短，最短弦长为警 图形 (3)焦半径：椭圆上的点P(x,y,)与焦点F,F:之间的线 B 段称为椭圆的焦半径.记r=PF,,r=PF,,则： ①当焦点在x轴上时，r=a十化xw,r=4一eo: 标准方程 =1(a>b>0) +后 =1(a>b>0) ②当焦点在y轴上时，片=a十eywr=a一ey, (4)距离：椭圆上的所有点中，到给定焦点距离最大和最 焦点 F(-e.0),F(c0 F(0.-c),F(0) 小的点，分别是离该焦点较远和较近的长轴的端点，且最 焦距 F,F,l=2e(c=√a-i) 大距离为a十c,最小距离为a一c, 范国 r≤a,y≤h lrl≤b,|y≤4 二、椭圆的离心率问题 性 对称性 对秋梅：r钻，y轴：对称中心：原点 1,求椭圆离心率的两种常用方法 质 项点 (±a,0),(0,±b (0,土a),(±b,0) (1)易求a,c的值时，直接求出并代人=二求解，有时要 轴装 长轴（线段AA)长为 +短精（线段BB)长为 结合a2=6+2 离心率 (0#<1) (2)若a,c的值不易求，一般借助a2=+2得出只含4， 的齐次方程，然后将等式两边同时除以的最高次幂，从 ·37· 而利用=二转化为关于e的方程，解方程即可，此时要 (4)椭圆上的离心率e越小，椭圆越圆. 2.椭圆6.x2+y=6的长轴端点坐标为( 注意0<e<1. A.(-1,0),(1,0) B.(-6,0),(6,0) 2.求椭圆离心率的取值范固 C(-,0).(√6,0) D.(0,-√6，(0w6) 恨据条件建立关于a,b,c的不等式，借助a一b十转化 3.椭圆x2十4y=4的离心率为( 为关于a,c的齐次不等式，再将不等式两边同除以a的 最高次幂，得到关于：的不等式，解不等式即可求得：的 且是 范围，最后结合0<<1得出结果 【解题秘籍】 c号 n号 越接近 c越接近a,从而 b=a-c越小 椭圆越扇 4椭圆号+ =1的焦点坐标是 ,顶点坐标是 离心越接近0 c越接近0.从而 bm√o-c越接近a 椭岗越接近于圆 5.已知F,,F:是椭圆的两个焦点过，F,且与椭圆长轴垂直 当且仅当加=时，c=0,这时两个焦点重合 的直线交椭圆于A,B两点，若△ABF是正三角形，求该 图形变为圆 椭圆的离心率， 【课前测一测】 1.思考辨析（正确的画“、√/”，错误的画“×”） 椭圆号+若-1(a>6>0)的长轴长是山 (2)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为 10,8则椭圆的方程为亏十若-1 (3)椭圆上的点到焦点的距离的最小值a一， ·38·2.3 圆及其方程 【课前测一测】 2.3.1 圆的标准方程 1.(1)X (2) 【知识点一点】 2.A 3. B 4. C 5.C 一、(a,b)r 2.3.4 同与回的位置关系 【课前测一测】 【知识点一点】 1.(1)×(2)× 一、2.4 3 2 10 2.D 3.B 4.(-1.-2)2 【课前测一测】 5.解:依题意,圈C。的圈心为C(一3,2). 1.(1)× (2)× (3)× (4)× 2.B 3.C 4. B 5.D 则半径-CA- -3-5+2-217 故园C。的标准方程为(x十3)+(y-2)-68. 6.解:依题易知,罔C 与圈C。的圆心距CC|-2,且2< 2.3.2 圆的一般方程 2~3/②,..两圆相交. 【知识点一点】 即两园有2条公切线,且斜率均存在 一、(-#-)D+E-4#F 设公切线的方程为v一起r十. 【课前测一测】 V1+起 [-1. 完 1--1. 1.(1)(2)(3)X(4) 解得 或 2+b-2/2. -2 --2. 故公切线的 2.C 3.C 4.A 5.D {1 6.k1 2.3.3 方程为x+2或-x-2 直线与圆的位置关系 2.4 【知识点一点】 曲线与方程 lAa+B+C 【知识点一点】 VA+B 一、曲线 方程 .56. 【课前测一测】 2.6 双曲线及其方程 1.(1)× (2)× 2.6.1 双曲线的标准方程 2.C 3.D 4.8+4 【知识点一点】 2.5 圆及其方程 一、双曲线 FF。 2.5.1 概圆的标准方程 【课前测一测】 【知识点一点】 I.(1)X (2)X (3)X 一、焦点 焦距 【课前测一测】 2.(1)8 (士4,0) (2)2(0.士) 1.(1X (2)× (3)× 3.32 2.B 3.C 4.2 4.解:.M满足 MF -MF -8<10=FF..'M的 2.5.2 圆的几何性质 轨迹是以F(一5,0),F.(5,0)为焦点的双曲线的一支 【知识点一点】 又MF-MF -80..'.MFIMF |.而M位千 一、1.22 【课前测一测】 2.6.2 双曲线的几何性质 1.(1)X(2)×(3)(4) 【知识点一点】 2D 3.A 4.(0.士/7)(0.士4).(士3.0) 一、1.2 26 5.解:.ABFF,且△ABF:为正三角形, 在 R△AFF中.AF F=30$令lAF =,则 AF = 【课前测一测】 2.r.1FF- AF-AF-3-2c 1.(1)(2×(3)X(4) 由回的定义,可知[AF|+AF|-2a-3r. 2③ 23 .57.