2.2 直线及其方程-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册课前预习10分钟（人教B版2019）

2.2直线及其方程 2.2.1直线的倾斜角与斜率 三、直线的方向向量和法向量 【知识点一点】 1,直线的方向向量与斜率的关系 (1)当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k): 一、直线的倾斜角 (2)当直线的一个方向向量的坐标为(x,y》(x≠0)时，直 1.倾斜角的概念 线的斜率k= 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直 2.直线的法向量 线与？轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋 一条直线的方向向量与法向量互相垂直.特别地，当 转到与直线重合时所转的最小正角记为8，则称8为这条 与y不全为0时，因为向量(x,y)与(y,一x)是互相 直线的 垂直的，所以如果其中一个为直线1的一个 如果一条直线与x轴平行或重合，那么规定这条直线的 则另一个一定是直线1的一个 四、倾斜角与斜率的关系及应用 倾斜角为 所有直线都有倾斜角，但并非所有直线都存 2.倾斜角的范围 在斜率，当直线的倾斜角a满足0°≤a<90 平面直角坐标系中的每一条直线都有唯一的倾斜角，倾 时，斜率非负，倾斜角越大，斜率越大：当直线 斜角的取值范围是 的倾斜角a满足90°<a<180时，斜率为负， 二、直线的斜率 倾斜角越大，斜率越小.k=1na(0≤a<π， 1.若直线1的倾斜角为0，则当0=90时，直线1的斜率不存 在：当0≠90时，直线1的斜率k= 的图像如图所示。 2.已知直线1经过两点P,(x1,y),P,(xg,y),若z=x, 五、直线斜率的应用 侧直线l的斜率不存在：若x≠x2,则直线1的斜率k 1.若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上，则任意两点的 坐标都可以确定这条直线的斜率，即血=kx(或地= ·20· k或ku=kx):反之，若k通=kc(或k=kE或kr (4)平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率.() km),则直线AB与AC(或AB与BC或AC与BC)的倾 (5)若一条直线的斜率为tana,则该直线的倾斜角为a. 斜角相同，又过同一点A(或B或C),所以点A,B,C在 同一条直线上 (6)若两条直线的斜率不相等，则它们中斜率大的，其领 2.形如二名的范围（最值）问题，可以利用二名的儿何意义 斜角也大 2.下列两点确定的直线的斜率不存在的是() (过定点(，b)与动点(xy)的直线的斜率)，借助图形，将 A.(4,2),(-4,1) B.(0,2).(2,0) 求，二的范围（最值）问题转化为求直线斜率的范围（最 C.(4,-1),(3,-1) D.(-2,-2),(-2,-3) 值)间题，从而简化运算过程， 3.已知直线经过两点A(1,),B(a,0)且直线的倾斜角 【解题秘籍】 为若，则a=( 三点共线问题 A.-2 B.4 C.0 D.不存在 (1)已知三点A,B,C,若直线AB,AC的斜率相同，则三点 4.已知A(1,a),B(4,0),其中a∈(-√5,3)，则直线AB 共线， (2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若引AB十BC引 的倾斜角的取值范围是( AC,也可断定A,B,C三点共线. A.[o,若)U(x) (3)利用向量AB和向量AC共线也能断定A,B,C三点 共线 (,受)U(受，) 【课前测一测】 1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×"） c(-) (1)任意一条直线都有倾斜角. D(答) (2)直线倾斜角的范围是(0，π) (3)若一条直线的倾斜角为a,则该直线的斜率为ana, 5.直线x=1的倾斜角是 ·21· 2.2.2直线的方程 (们)将直线方程化为点斜式：y一b=k(x一a),则该直线过 【知识点一点】 定点 一、直线的方程形式与适用条件 (2)特殊值法：给直线方程中的参数赋两组特殊值，得到 直线系中的两条不平行直线，联立两直线方程，得到两条 名称 点斜式 斜酸式 两点式 截距式 一般式 直线的交点坐标，该交点就是直线所过的定点： y二L (3)将直线方程整理为A,x+B,y+C+a(Ax+B:y+ 为一y 王+义= A.r+By+ 方程y一%一 IE C=0 C,)=0(A十B≠0，A十B≠0)的形式，求出直线A,x+ y=kx+b 形式k(x一） T:一T (u≠0.b≠ 《A+B≠ By+C=0和A,x十By十C=0的交点，该交点即为 《x1≠r,D) 0) 直线所过的 ≠为) 2.当遇到过定点的直线时，可以设出直线的点斜式方程或 直线在x轴 斜靛式方程，再综合其他知识解决问题，需要注意直线的 直我上一林单，直 直线上两点 上的非零戴 已知 斜率不存在的特殊情况。 定点(x,线在y轴 班a,直线 系毁A,B.C 条件 (11…y》 【解题秘籍】 另)，斜率 上的载距b《,y) 在y轴上的 二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响 非零藏距b (1)当A=0,B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行 不坐直于 不垂直于 (2)当A≠0，B=0,C为任意实数时，方程表示的直线与x 造用不垂直于x 不垂直于工 仙和y仙，任何位置的 x轴和y 范国轴的直线 轴垂直. 梅的直线 且不过原，点克战 轴的直线 的直线 (3)当A=0,B≠0，C=0时，方程表示的直线与x轴重合 注意：两点式方程不必记忆，可先用过两点的直线的斜率公 (4)当A≠0，B=0,C=0时，方程表示的直线与y轴重合 (5)当C=0,A,B不同时为0时，方程表示的直战过原点 式算出斜率，再用点斜式写出方程. 二、直线方程的应用 【课前测一测】 1.求直线所经过的定点的方法 L思考辨析（正确的画“/”，错误的画“×”） (1)直线与坐标轴的交点坐标一定是整数， ·22· (2)直线经过坐标原点时，它的斜率为0， 5.已知直线（经过点A(3,2),而且=(3，一4）是直线1的 (3)一条水平直线的倾斜角为90 一个法向量，求直线/的一般方程. 2.(多选)有关直线方程式的两点式，下列说法正确的有 A两点确定一条直线 B.直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直 线方程 C.直线方程(y-”)(y一y)=(x一x)(一x)也可写 成(y-)(当一为)=(x-x:)(一：） D.过点P(x1,y),P(x·y)的直线可以表示成(x r)(y-y)=(y-y)(x-x1) 3直线亏十兰一1与坐标轴所围成的三角形面积为( A号 B.5 C.7 D.10 4.直线1的一般式方程为2.x一3y+6=0,求直线1的斜率 以及在x轴和y轴上的截距 ·23· 2.2.3两条直线的位置关系 续表 【知识点一点】 fk:=k AB一AB=0,AB一AB=0 两条直线的位置关系 4∥ 或 h≠b AC一A,C≠0 1BC-BC≠0 1.两条直线的交点坐标 已知相交直线l:A:x十By十C=0(A+B≠0)，l: ⊥ e1·k:=-1 A:A:+BB:-0 Ax十B,y+C=0(A号十≠0)，则方程组 A1x十By十C1=0, 的解就是这两条直线的 与6 「k=k: AB一AB=0,AB.-AB=0, A:x十By+C2=0 或 重合 a-在 AC-A:C-0 BC-BC-0 2.已知直线1：A1x十By十C,=0(A十B≠0)，l:Ax+ By+C:=0(A日+B≠0)，则l与的位置关系和方程 【解题秘籍】 组Ar十By+C=0, 当所求直线与已知直线Ax十By十C=0平行时，可设所求 的解的情况如下表所示： A.x十By+C=0 直线为Ar十By十A=0(入为参数，且A≠C),再结合其他条 件求出A.即得所求直线方程.当所求直线与已知直线Ar十 方程组的解的情况 一组 无数虹 无解 ,和的交点个数 By十C=0垂直时，可设所求直线为Bx一Ay十A=0(入为参 和的位置关系 相交 重合 年行 数》，再站合其他条件求出入，即得所求直线方程 3.利用直线方程（斜截式和一般式）判断两直线的位置关系 【课前测一测】 1,如果两直线的斜率分别是方程x十2013.x一1=0的两 斜截式： 一殷式： 根，那么这两直线的位置关系是() 4y=十么 :Ax十By十C=0(A1十B所≠0). A.垂直 B.斜交 C.平行 D.重合 山y=kr十a :A.x+By+C=0(A+B≠0) 2.已知直线1的倾斜角为30°，若直线1∥L:,则直线1：的 1与4 :≠k AB:-A:B1≠0 斜率为 相交 3.已知直线1过A(2,一3)，B(4,0).且1⊥，则直线L,的 斜率为 ·24 4,判断下列各组中的直线位置关系： (3)l1:2x-3y+4=0,l±-4.r+6y-8=0. (1)l4:4x+2y-1=0,1:2x-y-2=0: 5.过点(1,2)且与直线2x+y一10=0垂直的直线1的 (2)l:2x-3y+4=0,l2:3y-2x+4=0: 方程。 ·25· 2.2.4点到直线的距离 (会)=1 【知识点一点】 (r'y),则 距离公式 1.点到直线的距离 ②当直线斜率不存在时，点(xu,y。)关于？=的对称点为 点P(xy)到直线Ar+By十C=0(A+B≠0)的距离 d (2m-x0·y). 注意：利用点到直线的距离公式解决相关问题时，不管设 【课前测一测】 直线方程的何种形式，最后都要化成一般式方程后才可 1.思考辨析（正确的画“/”，错误的画“×”） 用公式 2.两条平行直线间的距离 )点(m,0)到直线x+y-1=0的距离是m十”一」 两条平行直线l1:Ax十By十C=0与：Ax十By+C= 0(A十B≠0)间的距离d= (2)连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离. 注意：①两直线方程中x,y的系数对应相等：②求两平 行直线间的距离可转化为求其中一条直线上任意一点到 另一条直线的距离. (3)两平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最 【解题秘籍】 小值 ()平面内点A(xay)关于P(a,b)对称点坐标为 (2a一工4.2b-共)，平面内点A(xM).A(xy:)关于点 (④)P(x%)到直线y=红十b的距离为k+创 √1+k P(,产)对称。 2.动点P在直线x十y一4=0上，0为原点，则|OP1的最小 值为( (2)①当直线斜率存在时，利用“垂直”和“平分”这两个条件 建立方程组，就可求出对称点的坐标， A.√10 B.22 一般地，设点(x,y)关于直线Ax十By十C=0的对称点 C.6 D.2 ·26· 3.点P为，x轴上一点，点P到直线3x一4y十6=0的距离6.已知点A(1,3),B(2,1),C(一1,0)，求△ABC的面积. 为6，则点P的坐标为() A.(8,0) B.(8,0)或(-12,0) C.(-12,0) D.(6,0) 4.直线与y轴垂直，且与x轴的距离为4，则直线的方程是 5.直线1过点A(0,1),且点B(2,一1)到直线L。的距离是 点C(1,2)到直线4的距离的2倍，求直线的方程 ·27·二，坐标法 不存在，D选项中的两个点横坐标相同，过这两点的直线 【课前测一测】 针牵不存在。A、B、C中两点确定的直线斜率存在。数 1.(1)/(2)× 选D 2.A3.C4.B 5.(0,1) 入人解折：由题设：直线的斜率=加吾=得又人= +=0, 3-0√3 2 6.解：设顶点C的坐标为(x,y),则 1-a1-a x-2=0, 2 六汽。-解得。=-2故选八 解得 r=2,顶点C的坐标为(2.一 y=-7. 4.A解析：由斜率公式得k=一 ，当a=-,kw= 3 2.2直线及其方程 当a=3时，kw=一1， 2.2.1直线的倾斜角与斜率 【知识点一点】 所以钟率的取值范国是 -1.9 一、1.倾斜角0 2.[0,x) 由正切函数的国像可知领斜角的范国是0，否)U 二，l.tan0 (xx小故选A 2.当二出 x,-r 5受 三1名 2.2.2直线的方程 2.方向向量法向量 【知识点一点】 【课前测一测】 二、1.(1)(a,b) (3)定点 1.(1)/(2)×(3)×(4)×(5)×(6)× 【课前测一测】 2.D解析：当两个点横坐标相同时，过这两点的直线斜率1.(1)×(2)×(3)× ·54· 2.ACD 2.2.4点到直线的距离 3.B 【知识点一点】 4.解：2x-3y十6=0 1.Ax+By.+Cl √A十B y=号十2，即纤牵k=号在y轴上的截距为2 2.IC-CI 5.解：，v=(3,一4)是直线1的一个法向量， VA+B ∴，设直线L的方程为3x一4y十C=0. 【课前测一测】 1.(1)×(2)×(3)√(4)× 又点A(3,2)在1上，.C=-1. 2.B3.B 故直线1的方程为3x一4y一1=0. 4,y=4或y=一4 2.2.3两条直线的位置关系 5.解：设ltAx十By+C=0. 【知识点一点】 ln过点(0,1)，.B+C=0. 1.交点坐标 又“点B(2,一1)到1的距离为点C1,2)到L的距离的2倍. 2.1无数0 ÷2A-B+C=2×A+2B+C 【课前测一测】 √A+B √A+B 1.A 解得B=C=0戎A=0,B=一C ,.直线。的方程为x=0或y=1. 29 6.解：：|BC1=V2-(-1)+(1-0)=√10，km= 及-号 昌寸直线C的方程为y-吉十1.即 x-3y+1=0. 4.(1)不平行也不垂直(2)平行(3)重合 5.解：依题意可设I的方程为x一2y十c=0. 又”点A(1,3)到直线BC的距离为4=1-9+1山 w10 1过点(1,2)，.1-2×2+C=0, ∴.C=3.故直线1的方程为x一2y+3=0. 102 ·55·