1.2 空间向量在立体几何中的应用-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册课前预习10分钟（人教B版2019）

1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 【解题秘籍】 【知识点一点】 求异面直线所成角的方法 一、空间中点,直线的向量表示 (1)基向量法:在一些不适合建立坐标系的题型中,经常采 1.点的位置向量 用取定基向量的方法,在两异面真线“与么上分别取点A 一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点 B和C,D,则AB与CD可分别作为a与6的方向向量,则 P的位置,都可以由向量OP唯一确定,此时,0P通常称 1A.C cos一 1ACD ,根据条件可以把AB与CD用基向量表 为点P的 2.直线的方向向量 示,再进行计算。 一般地,如果/是空间中的一条直线,?是空间中的一个 (2)坐标法:根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写 非零向量,且表示?的有向线段所在的直线与/平行或 出相关各点的坐标,利用坐标法求线线角,避免了佳统找 重合,则称?为直线/的一个 ,此时,也称向 或作角的步骤,使过程变得简单 量?与直线/平行:记作/// 【课前测一测】 二、空间中两条直线所成的角 1.思考辨析(正确的画“/”,错误的画“×” 设5,1分别是空间中直线人.7-的方向向量;且1与.所成 (1)直线上任意两个不同的点A,B表示的向量AB都可 角的大小为?:则0一(v,)或一π一(r,v).特别地 作为该直线的方向向量. sin 0sinv.v).cos0- cosv.v) (2)直线的方向向量是唯一的 注意:异面直线所成角的范围为 (3)若AB.CD都是直线/的方向向量,则AB/CD.所以 AB/CD. . 【思考】如何确定直线的方向向量 ) 2.若A(-1,0.1),B(1,4,7)在直线7上,则直线7的一个 方向向量为 B.(1,3.2) C.(2,1,3) A.(1.2,3) D.(3.2.1) 3.已知直线/的一个方向向量n-(2.-1,3).且直线/过 7.已知A.B.C的坐标分别为(0.1.0).(-1.0.-1).(2,1 A(0.v.3)和B(-1.2.)两点,则v-;等于 ) 1).点P的坐标是(z,0.y).若PA 平面ABC,求点P A.0 B.1 D.3 的坐标. 4.(多选)若M(1.0.-1).N(2:1.2)在直线 上:则直线 的方向向量有 ) A.(2.?.6 B.(1.1,3) C.(3,1.1) D.(-3,0.1) 5.已知a-(2,4,5),b-(3,x,y)分别是直线1,1.的方向向 量,若1/,则 ) A.r-6.-15 B.-3.- 2{} C.r-3.-15 6.若异面直线/,/.的方向向量为a-(0.-2.-1).b-(2. 0.4).求异面直线七与/的夹角的余弦值 1.2.2 空间中的平面与空间向量 2.三垂线定理的递定理 【知识点一点】 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则 它也和这条斜线在该平面内的 一、平面的法向量 {___.三垂线定理 1.平面的法向量的概念;如果a是空间中的一个平面,n是 的逆定理可表述为:设/为平面。的一条斜线,7是/在 空间中的一个非零向量,且表示,的有向线段所在的直 平面a内的射影,直线aC。,若aI/.则a|/’. 线与平面。垂直,则称n为平面。的一个 ,比 【解题秘籍】 时,也称n与平面。垂直,记作n。 线线平行{ 证明两直线的方向向量共线 2.求平面的法向量的步骤; (1)设平面的一个法向量为n二(x;v,); ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量 (2)在平面内找两个不共线向量a二(a·4.“):b一(; 垂直; 线面平行 6..):(可以利用平面上点的坐标来求向量的坐标 ②证明直线的方向向量与乎面内基直线的方向 向量平行 (3)建立方程组 n.a-ax+a:y十az-0. n.b-bx+by+b-0; 面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量:②转化为 (4)解方程组:用一个未知量表示其他两个未知量,然后 线面平行,线线平行问题 对用来表示两个未知量的未知量赋予特殊值(不能取0 赋值时一般尽量保证x,y.:Z,这样求得的法向量在后 【课前测一测】 续解题运算中更为简便),从而得到平面的一个法向量 1.思考襟析(正确的画“、/”,错误的画“×” 二、三垂线定理及其逆定理 (1)直线的方向向量与平面的法向量垂真:则直线与平再 平行. 1.三垂线定理 ) 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的 (2)平面。的法向量垂直于与平面。共面的所有向量 射影垂直,则它也和这条 . 三垂线定理可表述 ) 为:设/为平面。的一条斜线,广是/在平而a内的射影 (3)如果a,b与平面。共面且n_a.n_b,那么n就是平 直线aCg,若a/,则a17. 而。的一个法向量, ) .10. 2.若直线/的方向向量a=(1,0,1),平面的法向量n= 6.已知在正方体ABCD-A.BCD中,M.N分别为A B (1.1.-1),则 ) 与AC的中点,求证:MN//平面BCCB. A.二{ B./.{ C.1/g D./或/{ 3.平面a的法向量为u二(2.一2.2),平面?的法向量为 v一(1,2,1),则下列命题正确的是 ) A.a,平行 B.a,垂直 C.a重合 D.a.相交不垂直 4.若平面。//3,则下面可以是这两个平面法向量的是 ( A.n-(1.2,3).n-(-3.2.1) B.n-(1.2.2):n-(-2.2.1) C.n-(1.1.1).n-(-2.2.1) D.n-(1.1.1).n.-(-2.-2.-2) 5.已知A(4.1.3),B(2,3.1),C(3.7.-5).点P(r.-1.3) 在平面ABC内,则:三 ,A- (用向量AB,AC表示). .111 1.2.3 (2)求出直线的 直线与平面的夹角 a的坐标以及平面的 【知识点一点】 b的坐标; 直线与平面的夹角 alb 1. 直线与平面的夹角的有关概念 #e[0#得出结论. 如果一条直线与一个平面垂直,则称这条直线与这个平 面所成的角为90{;如果一条直线与一个平面平行,或直 【思考】如果v是直线/的一个方向向量,n是平面。的一 线在平面内,则称这条直线与这个平面所成的角为0,平 个法向量,设直线/与平面。所成角的大小为0,通过作 面的斜线与它在平面内的 所成的锐角,称为 图讨论0与(v.n)关系. 这条斜线与平面所成的角,直线与平面所成的角也称为 它们的 2.斜线与平面所成角的性质 如图所示;设AO是平面。的一条斜线段:Q为斜足,A 为A在平面。内的射影,而OM是平面。内的一条射线 A'M OM.记 AOA-.AOM-.AOM-.则 A 3.用空间向量求线而角的步照 (1)建立适当的空间直角坐标系,并写出相应点的坐标 ·12. 【解题秘籍】 3.设直线1的方向向量为&二(1;1:1),直线/的方向向量 计算线面角,一般有如下几种方法 为s-(一2.2,一2),则,/.夹角的余弦值为( ) #A.-# 过 (1)利用面面垂直的性盾定理,得到线面垂直,进而确定 线面角的垂足,明确斜线在平面内的射影,即可确定线 C} 面角: (2)在构成线面角的直角三角形中,可利用等体积法求解垂线 4.直线/的一个方向向量与平面a的法向量的夹角为135{, . 则直线/与平面。的夹角为 ) A.135* (为斜线段长),进而可求得线面角; B.45" C.750 (3)建立空间直角坐标系,利用向量法求解,设a为直线 D.以上均错 的方向向量,n为平面的法向量,则线面角8的正弦值为 5.在空间直角坐标系Oxy中,已知A(1,一2,0),B(2,1. sin0-lcos(a,n). ),求向量AB与平面xO:的法向量的夹角的正弦值 【课前测一测】 1.思考排析(正确的画“、/”,错误的画“×” (1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的 角相等. . (2)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面 . 法向量夹角的余角 ) 2.若直线/的方向向量与平面a的法向量的夹角等于 120*,则直线/与平面。所成的角等于( ) A.120* B.60{ C.30* D.以上均错 .13. 1.2.4 二面角 二、利用空间向量研究二面角 【知识点一点】 用空间向量求二面角的平面角的步骤 一、二面角 (1)建立适当的空间直角坐标系,并写出相关点的坐标; 1.二面角的定义 (2)求两个半平面的法向量n,n: 如图所示,在二面角。二/一9的校上任取一点O,以0为 (3)计算:设二面角的平面角为0,则lcosf-cos(n 垂足,分别在半平面。和?内作垂直于校的射线OA和 n.|: OB,则射线OA和OB所成的角称为 (4)观察:根据图形判断?是钝角还是锐角,从而得出结论 二面角的大小用它的 来度量,即二面角大小 【思考】 等于它的平面角大小,特别地,平而角是直角的二面角称 如果n.n:分别是平面a.a:的一个法向量,设a:与a:所 为 成角的大小为0,递过作图讨论0与n.n)的关系. 2.用空间向量求二面角 如果n,n.分别是平面a.a:的一个法向量,设a与a所 【解题秘籍】 成角的大小为θ,则θ-n,n)或8一n-n,n).特别 地,sinθ-sin(n.n). 利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直,来找到二面 角的平面角的方法,这种方法关键是找垂直干二面角的面 的垂线,此方法是属于较常用的, ①作:过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面 的垂线,过垂足作二面角的校的垂线; ②证:证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的 注意:二面角的平面角的范围为 定义): .14. ③求二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段 3.已知AABC和BCD均为边长为a的等边三角形:目 长度). AD ) A.30” B.40 C.60” D. 9o* 4.如图所示,在正四校锥P-ABCD中,若△PAC的面和 【课前测一测】 与正四校锥的侧面面积之和的比为/6;8,求侧面与底面 1.思考辨析(正确的画“/”,错误的画“×”) 所成的二面角 (1)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面 法向量夹角的余角 ) (2)二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角 _ (3)若二面角两个面的法向量的夹角为120,则该二面角 的大小等于60或120 ) 2.在两个平面内,与两个面的交线都垂直的两个向量分别 为(0.-1.3).(2,2,4),则这两个平面夹角的余弦值为 ) B.-15 # 。 .15. 1.2.5 空间中的距离 (2)直接套用相关公式求解 【知识点一点】 2.利用空间向量解决与距离有关的探索性问题 一、空间中的距离 解决儿何体中与距离有关的探索性问题的方法与解决儿 1.两点之间的距离 何体中与空间角有关的探索性问题的方法相同,一般通 (1)构造三角形,通过解三角形求解 过求距离的基本方法把间题转化为求关于某个参数的方 (2)利用a-a·a,通过向量运算求a. 程的解的问题,根据方程解的存在性来解决 (3)用坐标法求向量的长度,从而得到两点间的距离,此 【解题秘籍】 法适用于求解的图形适官建立空间直角坐标系的情况 求直线与平面间的距离,往往转化为点到平面的距离求解, 且这个点要适当选取,以求解最为隔单为准则,求直线到平 Ba,a是直线a的一个 面的距离的题目不多,因直线到平面的距离可以用点到平 面的距离求解,但在求点到平面的距离时有时用直线到平 =n 面的距离进行过渡。 面的一个 【课前测一测】 4.其他距离 1.思考辨析(正确的画“/”,错误的画“×”) (1)两平行直线之间的距离;在其中一条直线上取定一 (1)点到直线的距离是指过该点作直线的垂线,该点与垂 点,转化为直线外一点到直线的距离 足间的距离 7 ) (2)平行的线面、面面之间的距离:转化为平面外一点到 平面的距离, (2)直线到平面的距离指直线与平面平行时,直线上任章 7 一点到平面的距离 二、利用空间向量研究距离问题 ) 1.用向量法求距离问题的两种思路 (3)两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离 (1)转化为求向量模的间题,过已知点作直线,平而的重 ) 线段,利用待定系数法求出垂足的坐标,然后求出向量的 (4)平面。外一点P到平面。的距离在平面g内任一点 . 模,这是求各种距离的通法 与点P的距离中最短 ) .16. 2.已知直线/过定点A(2,3.1):具n(0.1,1)为其一个方 5.两平行平面。,3分别经过坐标原点0和点A(2,1,1).且 向向量,则点P(4.3,2)到直线/的距离为 ) 两平面的一个法向量为n三(一1,0,1),求两平面间的 # # 距离. D.2 3.已知向量n三(1.0.-1)与直线/垂直:且/经过点A(2 3.1),则点P(4.3.2)到/的距离为 ) } # D## C.2 4.已知平面。的一个法向量n=(-2.-2,1),点A(-1,3. 0)在平面;内,求点P(一2,1.40到。的距离.(2e+3e)·(ke,-4e)=0..2k-12=0,∴.k=6. 5.(一4,0,0)解析：，点P(一4，-2,3) 5.5解析：由于AC=Ai+AD+AA ,从点P引x轴的垂线，垂足坐标为（一4,0,0）. .AC=(AB+A6+AA)-B+A6+ 1.2空间向量在立体几何中的应用 AA1+2(AB·AD+A市·AA+AD.不A) 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 【知识点一点】 =1+2+3+2(1×2×号+1×3×号+2×3×分） 一，1.位置向量 25,故AC1=5. 2.方向向量 1L.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 =0受] 【知识点一点】 一，1.单位正交基底有序实数组 【思考】提示：在已知直线上或在与已知直线平行的直线上 三【思考】提示：在空间中选定一点0和一个单位正交基 取有向线段表示的向量，都是直线的方向向量，一般所求的 底{ij,k}.以(O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向 方向向量不唯一，如果需要具体的可以给坐标赋特殊值 以它们的长为单位长度建立三条数轴：工轴，y轴、？轴， 【课前测一测】 这样我们就建立了空间直角坐标系， 1.(1)/(2)×(3)× 2.A解析：AB=(2.4.6)=2(1.2.3).故选A. 【课前测一测】 1.(1)/(2)×(3)×(4) 3.A解析：A(0,y,3)和B(-1,2,),AB=(-1,2-y 2.C解析：，点(2,0,3)的y轴坐标为0，所以孩点在xOe平 x一3)，直线1的一个方向向量为m=(2,一1,3)，设 面上 A市=6m-1=2,2-y=-62-3=3张，解得k=- 3.A解析：点（一1,2,7）关于x轴对称的点的坐标为 (-1,-2,-7) y==2六y-=0, 4.B解析：关于平而yO:对称的点：横坐标互为相反数， +,AB解析：M,N在直线1上，M=(1,1,3),故向 纵坐标和竖坐标相同. 量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线1的一个方向向量 ·50- 5D解桥：由11得号-兰号解得x=6 2.D解析：因为0·n=1一1=0，所以a⊥n,所以C3或 2 I∥A.故选D 6.解：a=5,b=25,a·b=(0,-2,-1)·(2,0.4)=-4. 3.B解析：因为4·=2×1十（一2）×2+2×1=0，所以 .c0sa·b》= -4 2 Ⅱ⊥v,所以a,3垂直，故选B. √5×2w5 +.D解析：因为平面α∥B,所以两个平面的法向量应孩平 “异面直线夫角的范国是(0，受] 行，只有D项符合，故选D. 5.11-4AB+AC :并面直线4与与的卖角的余孩值为号 6.证明：以A为坐标原点，AB,AD,AA的方向分别为F、 y、之轴正方向，正方体的枚长为单位长度，建立空间克角 7.解：由题意可知AB=(一1，-1，一1)，AC=(2,0.1) 坐标系，图略。 pi=(-x,1,-y) B(1,0,0),A(0,0,1),C(1,1.1) :PA⊥平面ABC,.P才⊥AB.且P⊥AC 即P才·AB=0,且P才·AC-0, M是A,B的中点M(707)）月 r-1+y=0. 同理可得N(合，号1小=(0，） 1-2x+0+y=0, 解得 y=2. 又AB是平而BCCB的一个法向量.且AB=(1,0,0), 点P的坐标是（一1,0,2）. 1.2.2空间中的平面与空间向量 M不A=0+7+×0=0∴M1A 【知识点一点】 MN不在平而BCCB中，.MN∥平而BCCB, 一，1.法向量 1.2.3直线与平面的夹角 二，1.斜线垂直 【知识点一点】 2.射影垂直 1.射影夹角 【课前测一测】 2.cos 0=cos 0 cos 0, 1.(1)×(2)√ (3)× 3,方向向量法向量 ·51· 【思考】提示；山.图1,0-受-(n,), i加m,=√-（受）-只故向量市与平而0 图1.0=(n)-受 的法向量的夹角的正孩值为 2.sin cos(n.v). 1.2.4二面角 cos 0=sin(n.v). 【知识点一点】 一、1.二面角的平面角平面角大小直二面角 2.[0,π] 【思考】提示：图1：0=(m1,n》 图2：0=x一(n1,n:》 图1 图2 sin 0=sin(n.n) 【课前测一测】 1.(1)×(2)× 2.C解析：设直线1与平面a所成的角为0，则sin0= 1eos1201=号，又：0<K900=300 3B解析：c0s(ss)=《-2)X1+2X1十(-2)×1 图1 图2 √3×23 【课前测一测】 日店夫角的金弦值为宁 1.1)×(2)×(3)/ 4.B 2.A 解析：由0一13)X(2,2,4)= 一2+12 5只 解析：设平面xO:的法向量为n=(0,1,0),A市= +9X4+4+16√/10X√24 (1,3,v6),所以cos《n,AB)= 流-是所以 n·A方 否如这两个个而炎角的余孩值为国 4√/15 6 ·52· 3.C解析：如图取BC的中点为E, 连接AE,DE. 3.B解析：'n=(1,0,一1)与直线1垂直， 由题意得AE⊥BC,DE⊥BC, .n的单位向量n= 且AE=DE-点，又AD= 24, 又1经过点A(2,3,1),.Ap=(2,0,1) ∴·∠AED=60°，即二面角A-BC-D的大小为60 A币在m上的投影A产·n。=(2,0,1)· 4.解：设正四校锥的底而边长为a,侧面与底面所成的二面 (停0，-）-点P到1的高为号 1×√2ah 角为0，高为h,斜高为h'.则 4解：，a的一个法向量为n=(一2，一2,1)， 4×ah 8…了=2 m-(-号-导吉)月 m0=卑=吾 又点A(-1,3,0)在a内，Ap=(-1.-2,4), 点P到平面a的距离为A户·n= L.2.5空间中的距离 【知识点一点】 -1.-240…(号-号川-9 一，2.方向向量 5.解：由题意知：O=(2,1,1),所以两平面间的距离为d= 3.法向量 Oi·n=-2+0+1-2 【课前测一测】 n √② 1.(1)√(2)/(3)×(4) 第二章平面解析儿何 2.A解析：时=(-2,0，-1).p=5,:nl 2.1坐标法 【知识点一点】 号则点P到直线1的延高d√一号- 2 一，1.√(x2一x)干(y-y)月 ·53·