1.1 空间向量及其运算-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册课前预习10分钟（人教B版2019）

第一章)空间向量与立体儿何 1.1空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其运算 二、空间向量的线性运算 【知识点一点】 三角形法则：a十b-O+A市O市 加法 一、空间向量的概念 平行四边形法则：a+b=(疗+(=（店 名称 定义 减法 三角形法则：a一b=O才-O=C才 的量称为空间向 空间向 空间向量 空间中既有 又有 量（简称为向量），空问向量的大小称为向量的模（我长度） 量的线 (1)当2≠0，且a≠0时，a的模为1Aa+而且0 单位向量 模等于 的向量 性运算 的方向： 数乘①当A>0时，与a的方向相同： 零向量 始点和终点相同的向量，规定零向量与任意向量平行 ②当A<0时，与a的方向和反， 相等句童 大小相等、方向相同的向童量 (2)当A=0或a=0时，a=0 相反向童 大小相等、方向相反的向量 交挠 a+b-b+a 平行（共 如果两个非零向量的方向相同成者相反，那么称这两 徐 线)向量 个向量平行（共线） 运算律 结合 (a, (a+b)+c-a+(b+c).(pa)-(Ag)a 对于空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通 律 共而向量 :∈R) 过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面 分配 (a+)a=0+a,a(a十b=a十b 律 三、空间向量的数量积 (a,一b》=(a,b》,对吗？ 1.向量的数量积 两个非零向量a与b的数量积（也称为内积）定义为a· b=a bcos(a,b》,其中(a,b)为a与b的夹角，范国为 [0,] 规定零向量与任意向量的数量积为 2.空间向量数量积的几何意义 (1)两个向量数量积的儿何意义与投影有关。一般地，给 定空间向量a和空间中的直线I(或平面a),过a的始点 【解题秘籍】 和终点分别作直线1（或平面a)的垂线，假设垂足为A, 类比平而向量投影的概金，借助图形，叙述作出向量AB, B,则向量AB称为a在直线I(或平而a)上的 在轴1上投影（空间称为射影）的过程 (2)a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b的 如图，已知向量AB=a,l为轴，向量e是1上与轴1同方向 长度的乘积，即向量▣在向最6上的投影的数量为后 的单位向量，作点A在1上的射影A',作点B在1上的射 影B',则A'B称为向量AB在轴1上或在e的方向上的正射 a costa.b). 影：可以证明A'B'=AB1cos(a,e) 3.空间向量数量积的性质 注意：轴【上的正射影A'B'对应的数值A'B'是一个可正可 (1)a⊥ba·b=0: (2)a·a=a2=a: 负可零的实数，它的符号代表向量AB与（的方向的对应关 系，大小代表在！上射影的长度 (3)a·b≤ab: (4)(a)·b=A(a·b)(a∈R): (5)a·b=b·a(交换律)： (6)(a十b)·c=a·c十b·c(分配律). 【思考】若a,b是空间的两个非零向量，则（一a,b)= ·2 【课前测一测】 5.如图所示，已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F,G 1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） 分别是BC,CD,DB的中点，化简下列表达式，并在图中 (1)共线向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共线 标出化简结果的向量： 向量， (D)AB+BC+CD:(2)AB+GD+EC. (2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则 这两个向量不是共面向量 (3)如果O市=D才+1A(1≠0)，那么点P,A,B共线. (4)空间中任意三个向量一定是共面向量： 2.下列命题中，为真命题的是() A.向量AB与B的长度相等 B,将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的 终点构成一个圆 C,空间向量就是空间中的一条有向线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 3.在四面体OABC中，Oi+Ai-C市等于( A.OA B.A C.Oc D.AC 4.已知在正方体ABCDA,B,C,D,中，AE=AC,若 AE=x4+y(AB+AD),则( A=1y-号 B.:-g.y-1 C.x=1y= 1 D.:-1.y-1 ·3· 1.1.2空间向量基本定理 (2)四点共面：①M币=xMA+yM亦： 【知识点一点】 ②O币=OM+xMA+yMB 一、共面向量定理 0P=0A+y0B+OM(+y+:=1): 1.共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a,那么存在 ④PM∥A(或PA∥M花或P第∥A).(O为空间任一点· 1,使得b=a. r,y,∈R) 2.共面向量定理 四、空间向量基本定理的应用 如果两个向量a,b不共线，那么向量a,b,e共面的充要 若未给定基底，首先根据已知条件确定三个不共面的向 条件是，存在 (x,y),使c=m+3b 量构成空间向量的一组基底，基底确定后，利用向量加 二、空间向量基本定理 法的三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代 1.空间向量基本定理 换，把目标向量逐步分解，向基底常近，最后化简整理求 如果空间中的三个向量a,b,c ,那么对空间 出结果， 中的任意一个向量P,存在唯一的有序实数组(x,y,), 【解题秘籍】 使得p=0十3b十c. (1)若p=a十b十c,则0十3b十叫微向量a,b,c的线 2.基底 性表达式或线性组合，或者说p可以由a,b,C线性表示。 如果空间中的三个向量a,b,心不共面，则它们的线性组 (2)对于基底{a,b,c,除了应知道a,b,c不共面外，还应明 合a+3b+e能生成所有的空间向量，这时a,b,c组成 确以下三，点： 空间向量的一组基底，记为(a,b,c},其中a.b,e都称为 ①基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，速用 :表达式0+Jb十℃称为向量a,b,c的线性 不同的基底，同一向量的表达式也可能不同： 组合或线性表达式. ②②由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量 三、共面向量定理的应用 共面，所以若三个向量不共面，就就明它们都不是0： 证明空间向量共面或四点共面的方法 ③空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空 (1) :利用已知条件将其中一个向量表示成另外 间向量构成的，一个基向量是指基底中的某个向量，二者是 两个向量的线性组合，即若p=十5b,则向量p,a,b共面. 相关联的不同概念 4。 【课前测一测】 1.恩考辨析（正确的画“√/”，错误的画“×”） (1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示. (2)若{a,b,c}为空间的一个基底，则a,b,c全不是零 向量. A.a (3)对于三个不共面向量a:,a:,a,不存在实数组{：，入， 4.已知e,e2为单位向量，且e:⊥e:,若a=2e,+3e2,b Aa1使0=A1a1十A0:十Aa: e,一4e,a⊥b,则实数k的值为( (4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底， A.-6 B.6 C,3 D.-3 2.下列式子中，正确的是() 5.在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，向量AB,AD.AA两 A.ala=a 两夹角均为60，且AB1=1,|AD1=2,A41=3,则 B.(a·b)'=ab Adl- C.a(a·b)=b·a D.la·b|≤allb 3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于 a,点E.F分别是BC,AD的中点，则AE·AF的值为 5· 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 平行 a∥b(a≠0)b=ab,=加1，b=a:.b=a 【知识点一点】 一、空间向量的坐标与运算 垂直 a⊥b=a·b=0=ab,+a:b+ab,=0 1.空间向量的坐标 如果在空间向量的基底{e,e2,e}中，e,e,e都是单位 二、空间向量坐标的应用 向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为 1.两点之间的距离公式 :在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正 设P(x),P:(x出)是室间中任意两点，O是坐标 交分解，而且，如果p=ae,十3e:十e1,则称 原点，则P可-O广-OP=(一xy一为一名)，所以 (x,y,)为向量p的坐标，记作p=(x,y,z),其中x,y, PP=1P=√x-)+(”-为)+(-)月 都称为P的坐标分量。 2.中点坐标公式：已知空间中的两点P(x”2),P,(x, 2.空间向量坐标的运算 设a=(a1,a,4),b=(h,:,b),a∈R. ,则线段BB的中点的坐标为（士，兰。 2 名称 坐标表示 a十b=(a十，a:十a:十) 三、利用空间向量的坐标运算解决空间平行、垂直问题 线性 a-b=(41一4，d:-,a1-h） 1,与向量坐标有关的平行，垂直问题主要有两种类型：一是 运算 a=(241,iu,4》 判定平行或垂直：二是已知平行或垂直求参数， 数量 2.利用空间向量的坐标运算解决空间平行、垂直问题的一 a·b-a,a十a十d,b 积 般步骤： 模 a=va·a=a,+a:+a (1)建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标： 0·b 么十u:6十4b (2)求出相关向量的坐标： cos(a,b)= 夹角 ab √a十a十a·√所+伤十 (3)设a=(a1,a,a2）,b=(b,a,),利用“a∥b(a≠0) (a≠0.b≠0) =b=a(a∈R)=b1=a1. ·6· h=Aa:,h,=aa,“a⊥b→a·b=0=ab十aeb:十a,h (3)空间直角坐标系中(Oz平面上点的坐标满足x=0 0”建立关系： (4)得出结论， (4)关于坐标平面O:对称的点的坐标其纵坐标、竖坐 【思考】根据平面直角坐标系的建立，我们怎样建立空间 标保持不变，横坐标相反 直角坐标系呢？ 2.点(2,0.3)在空间直角坐标系中的() A.y轴上 B.Oy平面上 C,xOx平面上 D.第一象限内 【解题秘籍】 3.已知点A(一1.2,7)，则点A关于x轴对称的点的坐标为 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 A.(-1,-2,-7) 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量 B.(-1,-2,7) 坐标运算公式计算。 C.(1,-2,-7) (2)由条件求向量或点的坐标 D.(1,2,-7) 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解 4.在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,一2,5)关于平面 方程（组）求出其坐标 O:对称的点B为( 【课前测一测】 A.(1.-2,-5) 1.思考辨析（正确的两“√”，错误的画“X”) B.(-1,-2,5) (1)空间直角坐标系中的任意一点的坐标是唯一的， C,(-1,-2,-5) D.(1,2,-5) (2)空间直角坐标系中r轴上点的横坐标x=0,竖坐标 5.在空间直角坐标系中，从点P(一4.一2,3)引x轴的垂 ￥=0. 线，则垂足的坐标为参考答案 第一章空间向量与立体儿何 (2)E,F,G分别为BC,CD,DB的中点，∴GD-BG 1.1空间向量及其运算 G亦-。武=武，∴A市+G市+武=A市+B武+武 1.1.1空间向量及其运算 【知识点一点】 AG+G-AF,如图中向量AF 一，大小方向1 1,1,2空间向量基本定理 三、1.0 【知识点一点】 2.投影 【思考】提示：不对.一a与a,一b与b分别是互为相反向量， 一、1.唯一的实数 .(-a,b>=(a.-b>=r-(a.b). 2.唯一的实数对 【课前测一测】 二、1.不共面 1.(1)、/(2)×(3)/(4)× 2.基向量 2.A 3.C解析：O才+AB-C=Oi-CB-Oi+BC=心 三，(1)向量共面 【课前测一测】 4.D解桥：AE=AA+AE=A+A,C=A+ 1.(1)×(2)/(3)×(4)× 十(AB+A.所以r=1y=子 2.D解析：根据数量积的定义知，A,B,C均不正确，a· 5.解：(1)A市+BC+CD=AC+CD=AD,如图中向量AD. b=ablcos《a,b)≤ab,故D正确. 3.C解桥：A正.A=号(Ai+AC)·号A市=(AB· 市+at.市=(a×a×号+a×a×号）=a. 4.B解析：由题意可得a·b=0.e,·e=0.e=e=1, ·49· .(2e+3e)·(ke,-4e)=0..2k-12=0,∴.k=6. 5.(一4,0,0)解析：，点P(一4，-2,3) 5.5解析：由于AC=Ai+AD+AA ,从点P引x轴的垂线，垂足坐标为（一4,0,0）. .AC=(AB+A6+AA)-B+A6+ 1.2空间向量在立体几何中的应用 AA1+2(AB·AD+A市·AA+AD.不A) 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 【知识点一点】 =1+2+3+2(1×2×号+1×3×号+2×3×分） 一，1.位置向量 25,故AC1=5. 2.方向向量 1L.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 =0受] 【知识点一点】 一，1.单位正交基底有序实数组 【思考】提示：在已知直线上或在与已知直线平行的直线上 三【思考】提示：在空间中选定一点0和一个单位正交基 取有向线段表示的向量，都是直线的方向向量，一般所求的 底{ij,k}.以(O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向 方向向量不唯一，如果需要具体的可以给坐标赋特殊值 以它们的长为单位长度建立三条数轴：工轴，y轴、？轴， 【课前测一测】 这样我们就建立了空间直角坐标系， 1.(1)/(2)×(3)× 2.A解析：AB=(2.4.6)=2(1.2.3).故选A. 【课前测一测】 1.(1)/(2)×(3)×(4) 3.A解析：A(0,y,3)和B(-1,2,),AB=(-1,2-y 2.C解析：，点(2,0,3)的y轴坐标为0，所以孩点在xOe平 x一3)，直线1的一个方向向量为m=(2,一1,3)，设 面上 A市=6m-1=2,2-y=-62-3=3张，解得k=- 3.A解析：点（一1,2,7）关于x轴对称的点的坐标为 (-1,-2,-7) y==2六y-=0, 4.B解析：关于平而yO:对称的点：横坐标互为相反数， +,AB解析：M,N在直线1上，M=(1,1,3),故向 纵坐标和竖坐标相同. 量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线1的一个方向向量 ·50-