精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

丰城九中2024-2025上学期初三入学考试试卷 数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线 C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转180°后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形．直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出树状图，共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有l种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种， 小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为， 故选：． 【点睛】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，画出树状图表示所有等可能的情况是解题的关键． 3. 如图，绕点A按顺时针方向旋转后与重合，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，得到是旋转角是解答的关键．根据旋转性质得旋转角为可求解． 【详解】解：绕点A按顺时针方向旋转后与重合， ． 故选：D． 4. 如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由是圆的直径可得，由可得，再由圆周角定理可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都对着， ∴． 故选∶C． 【点睛】此题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记圆周角定理．直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 5. 关于x的方程ax2﹣2x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A. a≥﹣1 B. a＞﹣1 C. a≥﹣1且a≠0 D. a＞﹣1且a≠0 【答案】A 【解析】 【分析】当a≠0根据根的判别式的意义得Δ＝（﹣2）2﹣4a×（﹣1）＝4（1+a）≥0，然后解不等式；当a＝0时，是一元一次方程有根，由此得出答案即可． 【详解】解：当a≠0时， ∵原方程有实数根， ∴Δ＝4+4a≥0， ∴a≥﹣1， 当a＝0时，﹣2x﹣1＝0有实数根． 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的参数与根的关系，根据根的情况求参数，难度一般． 6. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①b2﹣4ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c=0； ④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当x＞0时，y随x增大而减小． 其中结论正确的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，结合图象当x=-1时，y=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断． 【详解】函数图象与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误； 函数的对称轴是x=1，则与x轴的另一个交点是（3，0）， 则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，故②正确； 函数的对称轴是x1，∴b=-2a，由图象可知：当x=-1时，y=a-b+c=0，∴a+2a+c=3a+c=0，故③正确； 函数与x轴的交点是（﹣1，0）和（3，0）则当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故④正确； 当x＞1时，y随x的增大而减小，则⑤错误． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】将根代入一元二次方程，求出a的值即可． 【详解】将x=－1代入方程可得：1－(－3)－a=0， 解得：a=4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的意义，将根代入方程求解是解题关键． 8. 将抛物线向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线向右移1个单位，再向上移2个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图形与几何变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 9. 某小区规划在一个长为米，宽为米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与平行，另一条与垂直，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为2米，则甬路的宽度为________米． 【答案】2 【解析】 【分析】设甬路的宽为xm，六块草坪的面积为，根据面积之间的关系列方程，解方程求解，并根据实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽． 【详解】设甬路的宽为xm,根据题意得 整理得 解得 当x=44时不符合题意，故舍去， 所以x=2. 故答案为2. 【点睛】考查一元二次方程的应用，把甬路进行平移，表示出草坪的长与宽是解题的关键. 10. 如图，四边形内接于是直径，过C点的切线与的延长线交于P点，若，则的度数为___________． 【答案】##115度 【解析】 【分析】根据过C点的切线与的延长线交于P点，，可以求得和的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决． 本题考查切线的性质、圆内接四边形，等边对等角，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【详解】解：连接，如图： 由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是以CD为直径的半圆上的一个动点，连接BP，则BP的最大值是_____． 【答案】+2 【解析】 【分析】将以CD为直径的⊙O补充完整，由点B在⊙O外可得出当点B、O、P三点共线时BP最大，根据矩形以及圆的性质可得出OC、OP的长度，再利用勾股定理即可求出OB的长度，进而即可得出BP的最大值． 【详解】解：将以CD为直径的⊙O补充完整，如图所示． ∵点B在⊙O外， ∴当点B、O、P三点共线时，BP的值最大． ∵CD为⊙O的直径，CD＝AB＝4， ∴OC＝OP＝2． 在Rt△BOC中，BC＝3，OC＝2， ∴OB＝＝， ∴此时BP＝BO+OP＝+2． 故答案为+2． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是找出BP最大时点P的位置．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，寻找出取最值时点的位置是关键． 12. 已知，正六边形的边长为2，点P在它的边上，当为等腰三角形时，的长为______． 【答案】2或或 【解析】 【分析】根据题意，分三种情况讨论：①当时，为等腰三角形；②当时，为等腰三角形，③当时，为等腰三角形，分别求解即可． 【详解】解：正六边形的边长为2， ， ①当时，为等腰三角形， ； ②当时，为等腰三角形，过点B作， ，， ， ， ； ③当时，为等腰三角形，连接，过点P作， 由②可知，， ， 同理， ， 四边形为矩形， ， 为等腰三角形， ， ， 综上所述的长为2或或． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理，多边形内角和，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程； （2）已知：如图，、为的半径，、分别为、的中点，求证：． 【答案】（1），；（2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，圆的性质，全等三角形的判定及性质． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据、分别为、的中点得到，从而证得，根据全等三角形的性质即可得证结论． 【详解】（1）解： 移项，得：， 因式分解得：， ∴或， ∴，； （2）证明：∵、分别为、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 14. 先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根． 【答案】，1． 【解析】 【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再根据是方程的根可得，再代入即可． 【详解】解：原式 ． ∵是方程的根， ∴． ∴． ∴ 原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解．掌握分式的运算法则和整体代入求值是关键． 15. 如图，在网格中（每个小正方形的边长都是1），线段的两个端点都在格点上，，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段． （1）旋转过程中点A运动的路径长为______； （2）在网格中用无刻度直尺作图：（不写作法，保留作图痕迹） ①画出线段，则点C的坐标为______； ②作出的外心O． 【答案】（1） （2）①画图见解析，；② 【解析】 【分析】（1）由于线段在变换到的过程中，A点走过的路程为以B为圆心，为半径，圆心角为90度的弧，于是利用弧长公式可计算出A点的运动路径长； （2）①根据旋转方向和旋转角度作图即可； ②根据直角三角形的外心在斜边中点利用网格作图确定的中点即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理可得：， ∵将线段绕点B顺时针旋转，得到线段， ∴于线段在变换到的过程中，A点走过的路程为以B为圆心，为半径，圆心角为90度的弧， ∴点A的运动路径长为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图所示，线段即为所求： ∵， ∴； ②如图点O即为所求： ∵是直角三角形，即， ∴的外心O即为的中点， ∴如下图中所示，点O即为所求 【点睛】本题考查了作图—旋转变换，弧长公式及三角形的外心，掌握相关概念正确作图是解题关键． 16. 一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同． （1）判断事件“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是什么事件，并写出其发生的概率； （2）现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则取走了多少个白球？ 【答案】（1）不可能事件，0； （2）5个白球． 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，概率，掌握事件的分类，概率的两种求法，利用方程解概率问题是关键． （1）口袋中装有红球和白球，从口袋中随机摸出一个球是蓝球，是不可能的，进而也可得出概率． （2）设取走了x个白球，根据题意列方程求解即可． 【小问1详解】 因为口袋中装有3个红球和9个白球， 所以“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是不可能事件， 所以它发生的概率是0． 【小问2详解】 设取走了x个白球． 由题意，得， 解得． 故取走了5个白球． 17. 如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，求出，再利用等腰三角形的性质解决问题即可． （2）如图，过点A作，垂足为F．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，进而利用垂径定理可得结论 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点A作，垂足为F． ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，三角形的内角和定理，勾股定理、等腰三角形的性质等知识，掌握垂径定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知 关于x的一元二次方程． 求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； 当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 【答案】（1）答案见解析；（2） ． 【解析】 【分析】（1）应用根的判别式直接判断就可以. （2）先根据根与系数的关系求出两根之和，两根之积再用勾股定理求出k，继而求得周长 【详解】（1）a=1,b=-（2k+1）,c=4k-3 ， ∵ ∴ 即 ∴无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根. （2）∵两条直角边的长 b和c恰好是这个方程的两个根 ∴根据韦达定理可知 ∴， 解得. 当时， 周长 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． 19. 由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元． （1）求出这两次价格上调的平均增长率； （2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？ 【答案】（1）这两次价格上调的平均增长率为； （2）每包应该降价3元． 【解析】 【分析】（1）设这两次价格上调的平均增长率为x,利用经过两次上调价格后的价格=原价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每包应该降价m元，则每包的售价为元，每天可售出包，根据每天该口罩的销售额为315元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合要让顾客获得更大的优惠，即可得出每包应该降价3元． 【小问1详解】 设这两次价格上调的平均增长率为x, 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：这两次价格上调的平均增长率为． 【小问2详解】 设每包应该降价m元，则每包的售价为元，每天可售出包， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵要让顾客获得更大的优惠， ∴m的值为3． 答：每包应该降价3元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20. 如图，点E是正方形的边延长线上一点，且，连接交于点O，以点O为圆心，为半径作，交线段于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：过O作于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）过O作于H，利用正方形性质和等腰三角形性质证明，，根据角平分线性质得到即可得证； （2）结合正方形性质和勾股定理得到后即可求得，由角平分线定义求出的角度后，根据阴影部分的面积为的面积扇形的面积即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积的面积扇形的面积． 【点睛】本题考查的知识点是正方形性质、等腰三角形性质、角平分线性质、证明某直线是圆的切线、勾股定理、求扇形面积，解题关键是熟练掌握角平分线性质及扇形面积公式． 五、（本大题共2小题，每小题9分） 21. 九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”，求函数的“旋转函数”． 小组同学是这样思考的，由函数可知，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参照小组同学的方法解决下面问题： （1）函数的“旋转函数”是 ； （2）若函数与互为“旋转函数”，求的值； （3）已知函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是，试求证：经过点的二次函数与互为“旋转函数”． 【答案】（1） （2）1 （3） 证明：化简得 ， 则A、B、C三点的坐标分别为， ∴A、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为， ∴将三点代入函数解析式 ， 得， ∴， ∴经过、、三点的函数解析式为， ∴与原函数是旋转函数． 【解析】 【分析】（1）由二次函数的解析式可得出的值，结合“旋转函数”的定义可求出的值，即可得解；（2）由函数与互为“旋转函数”，可求出的值，将其代入即可得出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出A、B、C的坐标，结合对称的性质可求出点，，的坐标，由点，，的坐标，利用交点式可求出过点的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出的值，再由可证出经过点的二次函数与函数互为“旋转函数”． 【详解】（1）由函数知，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得， ∴； （3）略 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质以及二次函数图象与几何变换，解题的关键是：(1)利用“旋转函数”的定义求出的值；(2)利用“旋转函数”的定义求出的值；(3)根据点的坐标，利用待定系数法求出过点的二次函数解析式． 22. 九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则　 　°，与的数量关系是 　 　； （2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 【答案】（1）90， （2）； （3）或2 【解析】 【分析】（1）证明为等边三角形，根据旋转的性质得，求出，根据等腰三角形的性质可得，，即可得，； （2）根据旋转的性质得，由平分得，可得，，即可得，根据等腰直角三角形的性质可得； （3）分以下两种情况进行讨论：①当点E在右边时，②当点E在左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 ∵为等腰三角形，， ∴为等边三角形， ∵将绕点O旋转，得到， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴， 故答案为：90，； 【小问2详解】 由旋转的性质，可知， ∵为等边三角形，平分为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵F是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 分以下两种情况进行讨论： ①如图1．当点E在右边时， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 由旋转的性质，得， ∴为等边三角形， ∵F是的中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当点E在左边时， 同理，可得， ∴． 综上所述，的长为或2． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键． 六、（本大题共12分） 23. 已知抛物线顶点在第三象限，顶点纵坐标为． （1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标； （2）若图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点G，求的面积； （3）在对称轴上找一点Q，使的值最小，求满足条件的点Q坐标； （4）在抛物线上是否存在一点P，使得是以为直角边的直角三角形？存在，求出点P坐标；不存在，说出理由． 【答案】（1）抛物线的函数表达式：，顶点坐标为 （2） （3） （4）存在，点P坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线对称轴为直线，进而得到顶点坐标为，把代入抛物线解析式求出a的值即可得到答案； （2）分别求出A、B、G的坐标得到的长，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）由对称性得到，则，即可推出线段与对称轴的交点即为点Q， 证明，得到，则点Q的坐标为； （4）分两种情况，当A为直角顶点时，过点过点P作轴于F，证明是等腰直角三角形，设，则，即可得到，将点P代入抛物线得，，解方程即可得到答案；当点G为直角顶点时，过点C作轴，垂足为点H，求出，则，则点P即是点C． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， 又∵抛物线顶点在第三象限，且顶点纵坐标为， ∴将代入得：， 解得：或（舍去）， ∴抛物线的函数表达式：，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：令， 解得：或， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵点B关于对称轴对称的点为点A， ∴， ∴， ∴线段与对称轴的交点即为点Q， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴点Q的坐标为； 【小问4详解】 解：当是以为直角边的直角三角形时，存在两种情况： ①以点A为直角顶点的直角三角形，过点P作轴于F ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，设，则， ∵， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴将点P代入抛物线得，， 解得，，，（不合题意，舍去） ∴； 第二种情况：设抛物线顶点C，连接，过点C作轴，垂足为点H， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点P即是点C， ∴， 综上所述，满足条件的点P坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键，最后一问注意要利用分类讨论的思想求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2024-2025上学期初三入学考试试卷 数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线 C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线 2. 小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，绕点A按顺时针方向旋转后与重合，连接，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 关于x的方程ax2﹣2x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A. a≥﹣1 B. a＞﹣1 C. a≥﹣1且a≠0 D. a＞﹣1且a≠0 6. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①b2﹣4ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c=0； ④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当x＞0时，y随x增大而减小． 其中结论正确的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为_________． 8. 将抛物线向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为________． 9. 某小区规划在一个长为米，宽为米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与平行，另一条与垂直，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为2米，则甬路的宽度为________米． 10. 如图，四边形内接于是直径，过C点的切线与的延长线交于P点，若，则的度数为___________． 11. 如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是以CD为直径的半圆上的一个动点，连接BP，则BP的最大值是_____． 12. 已知，正六边形的边长为2，点P在它的边上，当为等腰三角形时，的长为______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程； （2）已知：如图，、为的半径，、分别为、的中点，求证：． 14. 先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根． 15. 如图，在网格中（每个小正方形的边长都是1），线段的两个端点都在格点上，，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段． （1）旋转过程中点A运动的路径长为______； （2）在网格中用无刻度直尺作图：（不写作法，保留作图痕迹） ①画出线段，则点C的坐标为______； ②作出的外心O． 16. 一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同． （1）判断事件“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是什么事件，并写出其发生的概率； （2）现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则取走了多少个白球？ 17. 如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知 关于x的一元二次方程． 求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； 当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 19. 由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元． （1）求出这两次价格上调的平均增长率； （2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？ 20. 如图，点E是正方形的边延长线上一点，且，连接交于点O，以点O为圆心，为半径作，交线段于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 五、（本大题共2小题，每小题9分） 21. 九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”，求函数的“旋转函数”． 小组同学是这样思考的，由函数可知，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参照小组同学的方法解决下面问题： （1）函数的“旋转函数”是 ； （2）若函数与互为“旋转函数”，求的值； （3）已知函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是，试求证：经过点的二次函数与互为“旋转函数”． 22. 九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则　 　°，与的数量关系是 　 　； （2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 六、（本大题共12分） 23. 已知抛物线顶点在第三象限，顶点纵坐标为． （1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标； （2）若图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点G，求的面积； （3）在对称轴上找一点Q，使的值最小，求满足条件的点Q坐标； （4）在抛物线上是否存在一点P，使得是以为直角边的直角三角形？存在，求出点P坐标；不存在，说出理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $