第11讲 特殊三角形易错必刷题型专项训练（66题22个考点）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第11讲 特殊三角形易错必刷题型专项训练（66题22个考点） 【易错必刷一 图形的轴对称】 1．如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 2．如图①是一条长方形纸带，F是上的一个动点，将纸带沿折叠（如图②），其中与相交于点G，再沿折叠（如图③）．若，则的度数为 ． 3．下图是由5个全等的正方形组成的，请你移动其中一个正方形，使它变成轴对称图形．（在网格图中画出4种形状不同的图形，涂上阴影）    【易错必刷二 等腰三角形的判定】 1．在中，，，D为线段上一点，且点D到、距离相等，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 2．如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 · 3．如图，点E，F在上，，，，与交于点O． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【易错必刷三 等腰三角形的性质】 1．如图， 在中， 和的平分线分别交于点 F、G，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，，则的值为 ． 3．如图，在中，，，，点D是射线BC上一个动点. （1）若为等腰三角形，求BD的长. （2）把沿AD翻折得到，若，求BD的长. 【易错必刷四 等边三角形的判定】 1．满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角形的是（　　　） A．有两个内角是的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形 C．有一个内角是且有两边相等的三角形 D．三边都相等的三角形 2．在中，，若使为正三角形，请你再添一个条件： ． 3．如图，是的角平分线，，交于点F．已知． (1)求的度数． (2)若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由． 【易错必刷五 等边三角形的性质】 1．如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于（　　） A． B． C．2 D．1 2．如图，直线a，b交于点O，，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则 ．    3．已知：如图，点D在等边三角形的边上，延长至点E使，连接交A与点F．    (1)求证：； (2)过点D作于G，若等边三角形的边长为6，求的长． 【易错必刷六 格点图中画等腰三角形】 1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为面积为1的等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在正方形网格中，A、两点是格点，如果点也是格点，且是等腰三角形，这样的点有 个．    3．如图，正方形网络中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，在图中画出符合下列条件的一个图形．    (1)在图1中画一个与全等且有一条公共边的格点三角形； (2)在图2中画一个以为腰长的等腰，使它的顶点都在格点上． 【易错必刷七 根据等角对等边求边长】 1．如图，中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，，则的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，将沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，的长为 ．    3．如图，在中，的平分线交于点F，过点F作分别交于点D，E．若的周长为20，，求的周长． 【易错必刷八 直线上与已知两点组成等腰三角形】 1．如图，，点P为直线上的一个动点，若使得是等腰三角形．则符合条件的点P有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个. 3．（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． （2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． 想一想：如图2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画　 　条． 算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数． 【易错必刷九 逆命题和逆定理】 1．下列命题： ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②有公共顶点且有公共边的角是邻补角 ③直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 其中真命题的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是 ，结论是 如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题： ． 3．如图，已知点、、、在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④ (1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果_______________，那么_______________．（填写序号） (2)证明（1）中命题的正确性． 【易错必刷十 直角三角形的两个锐角互余】 1．如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点E在上，边交于点H，若，则等于（    ）．    A． B． C． D． 2．如图，在中，于点D，，E是的中点，则等于 ． 3．如图，的平分线与交于D，，垂足E在上，． ①求的度数； ②的度数． 【易错必刷十一 含30度角的直角三角形】 1．如图，在中，，，平分，若，则点到的距离是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的角平分线交于点O，连接并延长交于D，于H，若，则 ． 3．如图，在中，和的平分线相交于点O，且． (1)若，求的度数； (2)若，且的周长为32，求的面积． 【易错必刷十二 斜边的中线等于斜边的一半】 1．如图所示，，矩形的顶点分别在边上，当在边上运动时，A随之在OM上运动，矩形的形状保持不变，其中，运动过程中，点D到点O的最大距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为 ． 3．在中，是边上的高，、分别为、边上的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【易错必刷十三 勾股定理的证明】 1．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．    3．我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数． (1)根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________； (2)请再举一例证明猜想成立． 【易错必刷十四 用勾股定理解三角形】 1．如图，点在正方形的内部，连接，，若，，，则正方形的面积是（　　） A． B． C． D． 2．，． （1）如图①，若，则 °； （2）如图①，若，，则 ； （3）如图②，是边上的中线，若，则 ； （4）如图③，于点，若，，则的长为 ． 3．如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【易错必刷十五 勾股定理与网格问题】 1．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上， 于点D，则线段的长为（    ） A．4 B． C． D．5 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，求的长．    3．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，已知，． (1)画出； (2)判断的形状，并说明理由． 【易错必刷十六 勾股定理与折叠问题】 1．如图，在等腰直角三角形纸片中，，D是的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ． 3．如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，试求的长． 【易错必刷十七 勾股定理的逆定理】 1．如图，四边形中，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．若三角形的三边长分别等于、、，则这个三角形是 三角形． 3．如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的度数． 【易错必刷十八 勾股定理的应用1】 1．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（     ） A．10米 B．8米 C．6米 D．4米 2．《九章算术》中“折竹”问题（如图）：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”译文：“一根竹子，原高一丈，竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．（1丈=10尺）问：竹子折断处离地面有几尺?”答：竹子折断处离地面有 尺． 3．如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面处，另一端在地面处，墙角记为点． (1)若米，米．竹竿的顶端沿墙下滑米，那么点将向外移动多少米？ (2)若，则顶端下滑的距离与底端外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端下滑的距离与底端外移的距离的大小． 【易错必刷十九 勾股定理的应用2】 1．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行 海里． 3．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线上取点C（于点A），用测距仪测得、的长．    测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【易错必刷二十 最短路径问题】 1．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如： “当时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的的斜边长， 可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知x，y均为正数，且．则 的最小值是（  ）    A． B． C． D．6 2．如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，在杯子内壁离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ． 3．2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【易错必刷二十一 直角三角形全等的判定方法（HL）】 1．如图，中，，，，，点P与点Q分别在和的垂线上移动，则当（    ）时， 和全等． A．3 B．6 C．3或 D．3或6 2．如图，已知，垂足为B，，若直接应用“HL”判定，则需要添加的一个条件是 ． 3．如图，与的顶点A，，，在同一条直线上，与交于点，与交于点，，，． (1)求证： (2)若，求线段的长． 【易错必刷二十二 全等的性质与HL综合】 1．如图，在中，为上一点，，垂足为，垂足为，下面结论：①；②；③，其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．如图，作的两内角平分线与两外角平分线，其交点分别为点与点，连接，已知，则 ， ． 3．如图，已知，垂直平分线段，平分，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求； (3)试探索线段、、三者之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 特殊三角形易错必刷题型专项训练（66题22个考点） 【易错必刷一 图形的轴对称】 1．如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】此题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质依次分析判断，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A、和关于直线对称， ， ，正确，不符合题意； B、和关于直线对称， 线段，，被直线垂直平分，正确，不符合题意； C、和关于直线对称， 是线段的垂直平分线， 为等腰三角形，正确，不符合题意； D、和关于直线对称， 线段所在直线的交点一定在直线上，原说法错误，符合题意． 故选：D． 2．如图①是一条长方形纸带，F是上的一个动点，将纸带沿折叠（如图②），其中与相交于点G，再沿折叠（如图③）．若，则的度数为 ． 【答案】/24度 【分析】本题考查了折叠问题，涉及了平行线的性质，熟记折叠的性质：折叠前后对应角相等是解题关键．根据可得，可求得；结合即可求解. 【详解】解：由图③可知： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 3．下图是由5个全等的正方形组成的，请你移动其中一个正方形，使它变成轴对称图形．（在网格图中画出4种形状不同的图形，涂上阴影）    【答案】见解析 【分析】本题考查作图—利用轴对称设计图案．“轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线折叠，能够与另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形”．根据轴对称图形的定义画出图形即可． 【详解】解：图形如图所示： 【易错必刷二 等腰三角形的判定】 1．在中，，，D为线段上一点，且点D到、距离相等，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【答案】C 【分析】根据等边对等角求出，再根据角平分线的判定得到点D在的平分线上，即可求出，即可证明等腰三角形． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D到、距离相等， ∴点D在的平分线上， ∴， ∴为等腰三角形， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是利用等腰三角形的性质求出相应角度，且能判定角平分线． 2．如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 · 【答案】15 【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，则可得的周长等于的值． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定－等角对等边，将的周长转换为的值是解本题的关键． 3．如图，点E，F在上，，，，与交于点O． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理：等角对等边，正确证明两个三角形全等是关键． （1）利用等式的性质可以证得，则依据即可证得三角形全等； （2）依据全等三角形的性质，即可证得，然后依据等角对等边从而证得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌； （2）解：∵≌， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【易错必刷三 等腰三角形的性质】 1．如图， 在中， 和的平分线分别交于点 F、G，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据平行线的性质，角平分线的定义，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选C． 2．如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，，则的值为 ． 【答案】6 【分析】 本题考查了三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定及性质；由角平分线与平行线易得，结合平行线的性质得，同理可得，再根据即可求解；掌握等腰三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】 解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， ， 故答案为：6． 3．如图，在中，，，，点D是射线BC上一个动点. （1）若为等腰三角形，求BD的长. （2）把沿AD翻折得到，若，求BD的长. 【答案】（1）16；（2）14 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，即可得出BD的长； （2）根据，可得△ACD为等腰直角三角形，得到AC=CD，即可求出BD的值. 【详解】解：（1）∵，，， ∵△为等腰三角形，AC⊥BC， ∴BC=CD=8， ∴BD=16； （2）∵， 根据翻折的性质得：∠ADE=∠ADB=45°， ∵∠ACD=90°， ∴△ACD为等腰直角三角形， ∴AC=CD=6， ∴BD=CD+BC=6+8=14. 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是根据折叠的性质得到∠ADC=45°. 【易错必刷四 等边三角形的判定】 1．满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角形的是（　　　） A．有两个内角是的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形 C．有一个内角是且有两边相等的三角形 D．三边都相等的三角形 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定定理． 【详解】解：A、有两个内角是的三角形是等边三角形，不符合题意； B、有两边相等且是轴对称图形的三角形是等腰三角形，符合题意； C、有一个内角是且有两边相等的三角形是等边三角形，不符合题意； D、三边都相等的三角形是等边三角形，不符合题意； 故选：B． 2．在中，，若使为正三角形，请你再添一个条件： ． 【答案】答案不唯一 【分析】根据等边三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：添加的条件是：答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定，熟知三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形是解题的关键． 3．如图，是的角平分线，，交于点F．已知． (1)求的度数． (2)若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，等边三角形的判定； （1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）由（1）得：，从而得到，再由点F是的中点，可得，然后根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：是等边三角形，理由： 由（1）得：， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【易错必刷五 等边三角形的性质】 1．如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查轴对称求最短距离．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、，此时周长最小为，由对称性可求是等边三角形，则可求的长为1． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、， 由对称性可知，，， 周长， 此时周长最小， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：D． 2．如图，直线a，b交于点O，，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则 ．    【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，分点B位于下方和上方两种情况分别求解即可，注意分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况，当点B位于下方时，如图：    ， ， 又， ； 当点B位于上方时，如图：    是等腰三角形，， 是等边三角形， ， 故答案为：或． 3．已知：如图，点D在等边三角形的边上，延长至点E使，连接交A与点F．    (1)求证：； (2)过点D作于G，若等边三角形的边长为6，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】（1）如图所示，过点作交于点，由等边三角形的性质得到，由平行线的性质得到，，则为等边三角形，证明，即可证明，则； （2）由全等三角形的性质得到，由三线合一得到，这可推出． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作交于点， 是等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ∴， ∵， ， ， ．    （2）解：由（1）得，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质与判定，平行线的性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质于判定条件． 【易错必刷六 格点图中画等腰三角形】 1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为面积为1的等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．据此求解即可． 【详解】解：如图：分情况讨论 当为是面积为1的等腰三角形，符合条件的C点有4个． 故选：B 2．如图，在正方形网格中，A、两点是格点，如果点也是格点，且是等腰三角形，这样的点有 个．    【答案】 【分析】以A为圆心，的长为半径作圆，此时点有个．以为圆心，的长为半径作圆，此时点有个．作的垂直平分线，此时点有个，作出图形即可求出答案． 【详解】解：以A为圆心，的长为半径作圆，此时满足条件的点有个， 以为圆心，的长为半径作圆，此时满足条件的点有个， 作的垂直平分线，此时满足条件的点有个， ∴这样的点有7个，    故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质，解题的关键是正确作图找出格点，本题属于基础题型． 3．如图，正方形网络中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，在图中画出符合下列条件的一个图形．    (1)在图1中画一个与全等且有一条公共边的格点三角形； (2)在图2中画一个以为腰长的等腰，使它的顶点都在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了作格点三角形， （1）根据三角形全等的判定方法进行解答即可； （2）根据格点作等腰即可； 解题的关键是熟练掌握格点的特点，等腰三角形的定义．． 【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形；    （2）解：为所求作的三角形．    【易错必刷七 根据等角对等边求边长】 1．如图，中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，，则的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，根据角平分线的性质及平行线的性质得，则可得，再根据即可求解，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，， ， 故选A． 2．如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，将沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，的长为 ．    【答案】或7 【分析】本题考查翻折变换，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分两种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，分别求解即可． 【详解】解：如图1中，当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有 解得， ； 如图2中，当时，， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或7． 故答案为：或7． 3．如图，在中，的平分线交于点F，过点F作分别交于点D，E．若的周长为20，，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边；根据角平分线的定义以及平行线的性质，得出，则，进而根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵在中，的平分线交于点F， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴． 的周长， 由，得的周长为． 【易错必刷八 直线上与已知两点组成等腰三角形】 1．如图，，点P为直线上的一个动点，若使得是等腰三角形．则符合条件的点P有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：作垂直平分线与的交点，可得， 以A为圆心，为半径画圆，交有两个交点，， 以B为圆心，为半径画圆，交有一个交点，， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据等腰三角形的判定定理解答． 2．如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个. 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题。根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在AC上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边于延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故答案为：6． 3．（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． （2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． 想一想：如图2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画　 　条． 算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数． 【答案】（1）4；（2）2;想一想： 4；算一算：70°或40°或100°． 【分析】（1）根据等腰三角形的判定，两个边相等的三角形是等腰三角形即可得到结论； （2）以O为圆心，OA为半径画弧，交直线l于两点，即可得到结论； 想一想：分四种情况：①当AC=AF，②当BC=BE，③当CB=CG，④当AD＝CD，⑤当BE=EC故过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条， 算一算：如图3，当AD=CD，分三种情况：①当CD=BD时，∠B=∠BCD=70°；②当CD=BC时，∠B=∠CDB=40°；③当BD=BC时，∠B=180°-40°-40°=100°；如图4，当AC=AE，CE=BE时，G根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，①当AO＝OP1，②当AO＝AP2；③当AO＝OP3，④当AP4＝OP4，这样的等腰三角形能画4个． 故答案为：4； （2）以O为圆心，OA为半径画弧，交直线l于两点； 故这样的等腰三角形能画2个， 故答案为：2； 想一想：①当AC＝AF，②当BC＝BE，③当CB＝CG，④当AD＝CD时，过顶点C作一条直线，能分割出一个等腰三角形，⑤当BE=EC故过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条， ∴过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条， 故答案为：5； 算一算：如图3，当AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝20°， ∴∠CDB＝40°， ∴①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝70°； ②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝40°； ③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°； 如图4，当AC＝AE，CE＝BE时， ∵∠A＝20°， ∴∠ACE＝∠AEC＝80°， ∴∠B＝∠BCE＝40°， 当AC=CE，CE=BE时， ∵∠A=20°， ∴∠AEC=∠A=20°， ∴∠B=10°， 综上所述，存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，∠B的度数为70°或40°或100°． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与作图；特别注意利用分类讨论的方法，避免漏解． 【易错必刷九 逆命题和逆定理】 1．下列命题： ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②有公共顶点且有公共边的角是邻补角 ③直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 其中真命题的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，根据邻补角的定义，点到直线的距离，两直线的位置关系一一判断即可得出答案． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故①是假命题． ②有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角是邻补角，故②是假命题， ③直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故③是假命题， ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故④是假命题， 故选：A． 2．在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是 ，结论是 如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题： ． 【答案】 同位角相等 两直线平行 两直线平行， 同位角相等 【分析】本题考查命题的基本概念与组成、逆命题，命题是由题设和结论构成．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质和定理． 【详解】解：∵题设是条件，结论是结果， ∴在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是同位角相等，结论是两直线平行， ∴如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题：两直线平行，同位角相等． 故答案为：两直线平行，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 3．如图，已知点、、、在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④ (1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果_______________，那么_______________．（填写序号） (2)证明（1）中命题的正确性． 【答案】(1)①②③，④ (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线判定． （1）根据题意利用①②③即可判定出，再利用全等性质及平行线性质即可得到④结论． （2）利用（1）中条件证明即可． 【详解】（1）解：真命题：如果，，，那么； ∴①②③，④； （2）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（SSS）， ∴， ∴． 【易错必刷十 直角三角形的两个锐角互余】 1．如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点E在上，边交于点H，若，则等于（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，如图，延长至，证明，再结合三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解：如图，延长至，    ∵，， ∴， ∵， ∴； 故选C 2．如图，在中，于点D，，E是的中点，则等于 ． 【答案】/度 【分析】先由得出，再根据直角三角形两锐角互余求出的度数，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，算出，最后结合三角形的外角性质作答即可．本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形外角性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质． 【详解】解：∵， ∴， ， 在中，， ∵E是的中点， ∴ ∴ 故答案为： 3．如图，的平分线与交于D，，垂足E在上，． ①求的度数； ②的度数． 【答案】①；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，直角三角形两个锐角互余，对于①，先根据平角定义得，再根据三角形内角和定理求出，然后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案；对于②，先根据角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】①， ∴． ∵， ∴． 在中，． ②∵平分， ∴， ∴． 【易错必刷十一 含30度角的直角三角形】 1．如图，在中，，，平分，若，则点到的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质，可得的度数，，根据角平分线的性质，可得，再根据可求得答案．本题考查了含角的直角三角形，角平分线的性质，掌握直角三角形的性质，角平分线的性质是解本题的关键． 【详解】解：如图，作于，   ，， ，， 平分， ， ， ， 即点到的距离是． 故选：D． 2．如图，在中，的角平分线交于点O，连接并延长交于D，于H，若，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，直角三角形的性质．作交于E，交于点F，根据角平分线的性质，可得，从而得到平分，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：作交于E，交于点F， ∵的角平分线交于点O，， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：10． 3．如图，在中，和的平分线相交于点O，且． (1)若，求的度数； (2)若，且的周长为32，求的面积． 【答案】(1) (2)的面积是32 【分析】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的定义及三角形内角和即可得出答案； （2）过作于点，连接， 通过为角平分线的交点，得出点到三边的距离相等，利用含度角的直角三角形的性质求出距离，然后利用和周长即可得出答案． 【详解】（1）解：、分别平分和，，， ，， ， ，即； （2）过O作于D点，连接， 为角平分线的交点， 点到三边的距离相等， 又， ，， 即点到三边的距离都等于 ， ， 又的周长为， ． 【易错必刷十二 斜边的中线等于斜边的一半】 1．如图所示，，矩形的顶点分别在边上，当在边上运动时，A随之在OM上运动，矩形的形状保持不变，其中，运动过程中，点D到点O的最大距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，矩形的性质，三角形不等式，熟练掌握三角形不等式，勾股定理是解题的关键． 取线段的中点E，连接，根据直角三角形的特征量，三角形不等式解答即可． 【详解】解：如图所示，取中点，连接． ，且矩形 当点运动到上时，使得最大． 的最大值为三点共线时为． 故选：D． 2．如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解直角三角形斜边上的中线性质是解答关键．根据同角的余角相等得到，，根据互余和求得，进而得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质来求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵E是斜边的中点，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．在中，是边上的高，、分别为、边上的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线 （1）连接，根据垂直定义可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）先利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用平角定义可得，再利用等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 是的中线， ， ， ， 点是的中点， ； （2）解：，， ， ， ， ， ，点是的中点， ， 的度数为． 【易错必刷十三 勾股定理的证明】 1．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：A、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故A选项不能说明勾股定理， B、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故B选项可以证明勾股定理， C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故C选项可以证明勾股定理， D、整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故D选项可以证明勾股定理， 故选：A． 2．如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．    【答案】20 【分析】由题意可知:大正方形的边长为，，根据勾股定理和正方形的面积以及题目给出的已知数据即可求的长度． 【详解】解：由题意可知：大正方形的边长为：， 直角三角形边长分别为， 根据勾股定理可得：， 又， 可得：，， ． 故答案为：20 【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用几何直观和图形面积，本题属于基础题形． 3．我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数． (1)根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________； (2)请再举一例证明猜想成立． 【答案】(1)24，26 (2)证明见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明． （1）依据材料所给公式，代入计算即可； （2）再任意举例计算即可证明． 【详解】（1）解：当a为10，则，， 故答案为：24，26； （2）解：若最小数， 则，， ∵ ∴猜想成立． 【易错必刷十四 用勾股定理解三角形】 1．如图，点在正方形的内部，连接，，若，，，则正方形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理．根据运用勾股定理求出的长即可求出正方形的面积. 【详解】解：， ， 正方形的面积． 故选：B． 2．，． （1）如图①，若，则 °； （2）如图①，若，，则 ； （3）如图②，是边上的中线，若，则 ； （4）如图③，于点，若，，则的长为 ． 【答案】 70 12 10 9.6 【分析】（1）直角三角形的两个锐角互余，据此列式计算，即可作答． （2）运用勾股定理列式计算，即可作答． （3）斜边上的中线等于斜边的一半，据此列式计算，即可作答． （4）先运用勾股定理列式计算，再结合等面积法进行列式计算，即可作答． 本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴ 故答案为：70； （2）∵ ∴， 故答案为：12 （3）∵，是边上的中线， ∴ ∴ 故答案为：10； （4）∵，， ∴ ∵于点 ∴ 则 ∴ 则的长为 故答案为： 3．如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据三角形外角的性质进行求解即可； （2）先利用勾股定理求出，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，设未知数构建方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， 即， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴． 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴． 解得． ∴． 【易错必刷十五 勾股定理与网格问题】 1．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上， 于点D，则线段的长为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了网格与勾股定理以及三角形面积，由勾股定理求出，再由三角形面积求出即可． 【详解】解：由勾股定理可得， ， ，即， ， 故选：C． 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，求的长．    【答案】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，根据网格的特点，作图的性质可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，已知，． (1)画出； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理与网格问题： （1）根据网格的特点和勾股定理作图即可； （2）证明，即可利用勾股定理的逆定理得到结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：是直角三角形． 理由如下：，，， ，． ， 是直角三角形． 【易错必刷十六 勾股定理与折叠问题】 1．如图，在等腰直角三角形纸片中，，D是的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查翻折的性质，等腰直角三角形的性质及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，再由等腰直角三角形确定，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是翻折而成， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵D是的中点， ∴， 设，则， ∴在中， 由勾股定理得，，即， 解得：， 故选：C． 2．如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，根据折叠的性质证明，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3．如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，试求的长． 【答案】(1)是等腰三角形，证明详见解析； (2)． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理． （1）根据平行线的性质以及折叠的性质求得，即可证明是等腰三角形； （2）根据折叠的性质可得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：是等腰三角形， 理由：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 根据折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：根据折叠的性质可得， ∴， 在中， ∵，即， ∴， ∴． 【易错必刷十七 勾股定理的逆定理】 1．如图，四边形中，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积； 故选B． 2．若三角形的三边长分别等于、、，则这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理， 解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理可知， 当三角形中三边的关系为，则该三角形为直角三角形 ． 【详解】解：， 三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 3．如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)的长为12； (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， 即的长为12； （2）解：∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， 即的度数为． 【易错必刷十八 勾股定理的应用1】 1．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（     ） A．10米 B．8米 C．6米 D．4米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．过C点作于点E，则四边形是矩形．，长度可求，在中，可根据勾股定理求出长． 【详解】解：如图，连接，设大树高为米，小树高为米， 过C点作于点E，则四边形是矩形． 米，米， （米）． 在中，根据勾股定理得： （米）， 故选：A． 2．《九章算术》中“折竹”问题（如图）：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”译文：“一根竹子，原高一丈，竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．（1丈=10尺）问：竹子折断处离地面有几尺?”答：竹子折断处离地面有 尺． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用．竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 答：折断处离地面的高度为尺； 故答案为：． 3．如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面处，另一端在地面处，墙角记为点． (1)若米，米．竹竿的顶端沿墙下滑米，那么点将向外移动多少米？ (2)若，则顶端下滑的距离与底端外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端下滑的距离与底端外移的距离的大小． 【答案】(1)2米 (2)不相等，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出米，再由勾股定理求出米，即可解决问题； （2）设米，顶端下滑的距离为米，底端外移的距离为米，利用勾股定理可得，再由偶次方的非负性可得，进而可求解． 【详解】（1）解：如图，由题意可知，， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：点将向外移动米； （2）解：不相等．理由如下： 设米，顶端下滑的距离为米，底端外移的距离为米， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴顶端下滑的距离大于底端外移的距离． 【易错必刷十九 勾股定理的应用2】 1．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意解题关键．根据题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，利用勾股定理求出杯子的斜边长度，即可求出h的取值范围． 【详解】解：由题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，即， h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度， 由勾股定理得，杯子的斜边长度，即， h的取值范围是， 故选：C． 2．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行 海里． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ∴， ∴ ∵甲以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时， ∴（海里）， ∵海里， 在中，（海里）， ∴乙轮船平均每小时航行（海里）． 故答案为：16． 3．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线上取点C（于点A），用测距仪测得、的长．    测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【答案】水潭的宽度为米． 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵米，米， ∴， ∴水潭的宽度为米． 【易错必刷二十 最短路径问题】 1．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如： “当时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的的斜边长， 可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知x，y均为正数，且．则 的最小值是（  ）    A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答． 根据题中所给的思路，将可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和4的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为，再利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图：   可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和4的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，当A，P，B共线是，的最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 2．如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，在杯子内壁离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，轴对称最短路径问题，作点A关于直线的对称点，作交延长线于E，连接交于F，则的长即为所求，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解；如图所示，将圆柱展开， 作点A关于直线的对称点，作交延长线于E，连接交于F， 由题意得，，， ∴由勾股定理得， 故答案为：． 3．2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【答案】(1)小明所在的E站应在离A站处 (2)则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等角对等边的性质，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． （2）作点D关于的对称点，连接交于点，即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F，证明，由勾股定理得出，的最小值即为，再得出，根据等角对等边得出． 【详解】（1）解：∵使得两活动点到地点站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 则小明所在的E站应在离A站处． （2）作点D关于的对称点，连接交于点， 即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F， 则，，， ∴， ∴． ∴的最小值即为，即 此时， ∴， ∴， ∴， 则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 【易错必刷二十一 直角三角形全等的判定方法（HL）】 1．如图，中，，，，，点P与点Q分别在和的垂线上移动，则当（    ）时， 和全等． A．3 B．6 C．3或 D．3或6 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分类讨论：①当时，②当时，即可求解；能根据对应边的不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：， ， ①当时， 在和中 ， （）； ②当时， 同理可证：（）； 3或6时，和全等； 故选：D． 2．如图，已知，垂足为B，，若直接应用“HL”判定，则需要添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定定理．根据一条直角边和一条斜边对应相等的两个直角三角形全等可得出答案． 【详解】解：“HL”判定定理的内容是：一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等， 已知是直角边相等， 需补充的条件是斜边相等，即， 故答案为：． 3．如图，与的顶点A，，，在同一条直线上，与交于点，与交于点，，，． (1)求证： (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握和证明三角形全等，是解题的关键． （1）先证明，再根据证明； （2）先证明，从而证明，进而即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中 ， ； （2）解：， ， ， ， 即 ， 在和中 ，     ，   ， ， ． 【易错必刷二十二 全等的性质与HL综合】 1．如图，在中，为上一点，，垂足为，垂足为，下面结论：①；②；③，其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】连接，直接证明，即可求证③，再利用等腰三角形的性质导角，可以判定，可判断②． 【详解】证明：连接， ∵，， ∴和均为直角三角形， ∵， ∴，故③符合题意； ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，  故②符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，掌握基础知识是解本题的关键． 2．如图，作的两内角平分线与两外角平分线，其交点分别为点与点，连接，已知，则 ， ． 【答案】 /115度 /25度 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．过点分别作交于点，交于点，交于点，从而可求得，可判定，则有，由三角形的内角和可得，再由角平分线的定义可得，，则有，从而可求，得，由三角形的内角和得，，从而可求的度数 【详解】解：过点分别作交于点，交于点，交于点，如图， ，分别是，的平分线， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ，， ，． 故答案为：，． 3．如图，已知，垂直平分线段，平分，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求； (3)试探索线段、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线性质、线段垂直平分线性质及三角形内角和定理等知识，熟练运用全等三角形的判定与性质、角平分线性质、线段垂直平分线性质及三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线性质得到，根据线段垂直平分线性质得到，利用即可判定； （2）根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质推出，，根据三角形内角和定理推出，根据邻补角定义求解即可； （3）根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：平分，于点，于点， ， 垂直平分线段， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）得，， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：，理由如下： 在和中， ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$