第二单元专练篇·05：商的变化规律和商不变性质-2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

1 / 3 2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列 第二单元专练篇·05：商的变化规律和商不变性质 一、填空题。 1．根据 308÷28＝11，直接写出下面各题的商。 3080÷280＝( ) 616÷56＝( ) 3080÷28＝( ) 2．在算式 933÷29＝32……5中，被除数和除数同时乘 10，商是( )，余 数是( )。 3．144÷12，被除数减少 72，要使商不变，除数应减少( )。 4．如果两个数的商是 25，被除数和除数都除以 5，商( )；如果被除数 乘 5，要使商不变，除数应该( )。 5．根据第一题的得数，直接写出下面两题的得数。 83÷4＝20……3 830÷40＝( ) 8300÷400＝( ) 6．根据 111÷3＝37，在括号里填上合适的数。 222÷6＝( ) 333÷9＝( ) 444÷( )＝37 555÷( )＝37 666÷( )＝37 ( )÷21＝37 ( )÷24＝37 ( )÷( )＝37 7．想一想，填一填。 (1)720÷30＝72÷( )＝( ) (2)5600÷400＝56÷( )＝( ) (3)900÷60＝( )÷6＝( ) 8．根据第一个式子的结果，直接写出后面的结果。 360 30 12  3600 300  ( ) 36 3  ( ) 3600 30  ( ) 9．根据所给算式的规律进行填空。 26640 111 240  26640 222 120  2 / 3 26640 333  ( ) 26640 555  ( ) 10．根据 42÷6＝7，写出下面算式的商。 420÷60＝( ) 42÷3＝( ) 126÷18＝( ) 11．如果 A÷B＝60，那么（A×3）÷（B×3）＝( )；如果 A÷B＝75，那么 （A÷5）÷B＝( )。 12．△÷☆＝12……13，则☆最小是( )，此时△是( )。如果△和 ☆同时乘 10，那么商是( )，余数是( )。 二、选择题。 13．830÷40，把被除数和除数同时除以 10后再笔算更简便，83÷4＝20……3，所 以( )。 A．830÷40＝2……30 B．830÷40＝20……3 C．830÷40＝ 20……30 D．830÷40＝200……30 14．将除法算式 608÷16的除数减去 12，要使商不变，应把被除数减去( )。 A．12 B．456 C．152 D．4 15．A÷B＝17……3，如果 A、B都扩大到原来的 10倍，那么商( )，余 数( )。 A．乘 10；不变B．除以 10；不变 C．不变；乘 10 D．乘 2；乘 10 16．下面的算式中，与算式 560÷70的结果不相等的算式是( )。 A．（560÷10）÷（70÷10） B．（560×5）÷（70×5） C．（560÷2）÷（70×2） D．（560÷a）÷（70÷a）（a不为 0） 17．被除数不变，除数乘 6，商应当( )。 A．除以 6 B．乘 6 C．不变 D．无法确定 18．92÷3＝30……2，如果被除数和除数同时扩大到原来的 10倍，那么余数是 ( )。 A．2 B．20 C．200 D．2000 19．已知 236÷8＝29……4，那么 2360÷80的商和余数分别是( )。 A．29和 4 B．29和 40 C．290和 4 D．290和 40 20．下面算式中，计算结果与 84000÷400相等的是( )。 A．840 40 B． ( ) )84 0(00 1000 400 1 0   3 / 3 C． ( ) ( )8400 100 400 100   D． ( ) )84000 100 4( 00 100   21．已知 a÷b＝c（a，b，c均不为 0），如果 a÷（b÷2）＝18，则 c＝( )。 A．9 B．18 C．36 D．72 22．如果 A÷B＝160，那么（A×5）÷（B×2）＝( )。 A．1600 B．64 C．400 D．800 23．如果○÷☆＝8……9（☆≠0），那么（○×5）÷（☆×5）＝( )。 A．8……9 B．8……45 C．40……45 D．40……9 24．在算式 368÷23＝16中，如果除数乘 2，要使商仍是 16，被除数应( )。 A．乘 2 B．除以 2 C．加 2 D．不变 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列 第二单元专练篇·05：商的变化规律和商不变性质 一、填空题。 1．根据308÷28＝11，直接写出下面各题的商。 3080÷280＝( )    616÷56＝( )     3080÷28＝( ) 2．在算式933÷29＝32……5中，被除数和除数同时乘10，商是( )，余数是( )。 3．144÷12，被除数减少72，要使商不变，除数应减少( )。 4．如果两个数的商是25，被除数和除数都除以5，商( )；如果被除数乘5，要使商不变，除数应该( )。 5．根据第一题的得数，直接写出下面两题的得数。 83÷4＝20……3 830÷40＝( ) 8300÷400＝( ) 6．根据111÷3＝37，在括号里填上合适的数。 222÷6＝( )         333÷9＝( ) 444÷( )＝37        555÷( )＝37 666÷( )＝37        ( )÷21＝37 ( )÷24＝37         ( )÷( )＝37 7．想一想，填一填。 (1)720÷30＝72÷( )＝( ) (2)5600÷400＝56÷( )＝( ) (3)900÷60＝( )÷6＝( ) 8．根据第一个式子的结果，直接写出后面的结果。          ( ) ( )        ( ) 9．根据所给算式的规律进行填空。               ( )        ( ) 10．根据42÷6＝7，写出下面算式的商。 420÷60＝( )   42÷3＝( )    126÷18＝( ) 11．如果A÷B＝60，那么（A×3）÷（B×3）＝( )；如果A÷B＝75，那么（A÷5）÷B＝( )。 12．△÷☆＝12……13，则☆最小是( )，此时△是( )。如果△和☆同时乘10，那么商是( )，余数是( )。 二、选择题。 13．830÷40，把被除数和除数同时除以10后再笔算更简便，83÷4＝20……3，所以( )。 A．830÷40＝2……30 B．830÷40＝20……3 C．830÷40＝20……30 D．830÷40＝200……30 14．将除法算式608÷16的除数减去12，要使商不变，应把被除数减去( )。 A．12 B．456 C．152 D．4 15．A÷B＝17……3，如果A、B都扩大到原来的10倍，那么商( )，余数( )。 A．乘10；不变 B．除以10；不变 C．不变；乘10 D．乘2；乘10 16．下面的算式中，与算式560÷70的结果不相等的算式是( )。 A．（560÷10）÷（70÷10） B．（560×5）÷（70×5） C．（560÷2）÷（70×2） D．（560÷a）÷（70÷a）（a不为0） 17．被除数不变，除数乘6，商应当( )。 A．除以6 B．乘6 C．不变 D．无法确定 18．92÷3＝30……2，如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，那么余数是( )。 A．2 B．20 C．200 D．2000 19．已知236÷8＝29……4，那么2360÷80的商和余数分别是( )。 A．29和4 B．29和40 C．290和4 D．290和40 20．下面算式中，计算结果与84000÷400相等的是( )。 A． B． C． D． 21．已知a÷b＝c（a，b，c均不为0），如果a÷（b÷2）＝18，则c＝( )。 A．9 B．18 C．36 D．72 22．如果A÷B＝160，那么（A×5）÷（B×2）＝( )。 A．1600 B．64 C．400 D．800 23．如果○÷☆＝8……9（☆≠0），那么（○×5）÷（☆×5）＝( )。 A．8……9 B．8……45 C．40……45 D．40……9 24．在算式368÷23＝16中，如果除数乘2，要使商仍是16，被除数应( )。 A．乘2 B．除以2 C．加2 D．不变 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列 第二单元专练篇·05：商的变化规律和商不变性质 一、填空题。 1．根据308÷28＝11，直接写出下面各题的商。 3080÷280＝( )    616÷56＝( )     3080÷28＝( ) 【答案】 11 11 110 【分析】商的变化规律：（1）除数不变，被除数乘或除以一个数（0除外），商也同时乘或除以同一个数。（2）被除数不变，除数乘或除以一个数（0除外），商要除以或乘同一个数。（3）被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变。据此解答即可。 【详解】根据分析： ①被除数308变为3080是乘10，28变为280是乘10，那么商不变，所以3080÷280＝11； ②616÷308＝2，308变为616是乘2，56÷28＝2，28变为56是乘2，所以商不变，那么616÷56＝11； ③308变为3080是乘10，除数不变，那么商也要乘10，11×10＝110，所以3080÷28＝110。 2．在算式933÷29＝32……5中，被除数和除数同时乘10，商是( )，余数是( )。 【答案】 32 50 【分析】被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。余数就乘或除以相同的数（0除外）。 【详解】5×10＝50 在算式933÷29＝32……5中，被除数和除数同时乘10，商是32，余数是50。 3．144÷12，被除数减少72，要使商不变，除数应减少( )。 【答案】6 【分析】根据商不变性质，被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变，144减少72等于72，相当144除以2等于72，要使商不变，12也要除以2，12除以2等于6，12减6等于6，所以除数应减少6，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，144÷12，被除数减少72，要使商不变，除数应减少6。 4．如果两个数的商是25，被除数和除数都除以5，商( )；如果被除数乘5，要使商不变，除数应该( )。 【答案】 不变 乘5 【分析】商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变。据此解答。 【详解】如果两个数的商是25，被除数和除数都除以5，商不变；如果被除数乘5，要使商不变，除数应该乘5。 5．根据第一题的得数，直接写出下面两题的得数。 83÷4＝20……3 830÷40＝( ) 8300÷400＝( ) 【答案】 20……30 20……300 【分析】商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变，但是余数改变了，余数也同时乘或除以这个相同的数。 【详解】83÷4＝20……3 83×10＝830 4×10＝40 则830÷40＝20……30； 83×100＝8300 4×100＝400 则8300÷400＝20……300。 6．根据111÷3＝37，在括号里填上合适的数。 222÷6＝( )         333÷9＝( ) 444÷( )＝37        555÷( )＝37 666÷( )＝37        ( )÷21＝37 ( )÷24＝37         ( )÷( )＝37 【答案】 37 37 12 15 18 777 888 999 27 【分析】根据商的变化规律，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。据此解答即可。 【详解】根据111÷3＝37可知： 222÷6＝（111×2）÷（3×2）＝37         333÷9＝（111×3）÷（3×3）＝37 444÷（  ）＝37，可以发现被除数从111变成444，扩大到原数的4倍，商不变，则除数也要相应地扩大到原数的4倍，变成3×4＝12，即444÷12＝37         555÷（  ）＝37，可以发现被除数从111变成555，扩大到原数的5倍，商不变，则除数也要相应地扩大到原数的5倍，变成3×5＝15，即555÷（15）＝37 666÷（  ）＝37，可以发现被除数从111变成666，扩大到原数的6倍，商不变，则除数也要相应地扩大到原数的6倍，变成3×6＝18，即666÷（18）＝37 （   ）÷21＝37，可以发现除数从3变成21，扩大到原数的7倍，商不变，则被除数也要相应地扩大到原数的7倍，变成111×7＝777，即（777）÷21＝37 （   ）÷24＝37，可以发现除数从3变成24，扩大到原数的8倍，商不变，则被除数也要相应地扩大到原数的8倍，变成111×8＝888，即（888）÷21＝37 （   ）÷（   ）＝37，只需要满足商的变化规律即可，例如可以填（999）÷（27）＝37 7．想一想，填一填。 (1)720÷30＝72÷( )＝( ) (2)5600÷400＝56÷( )＝( ) (3)900÷60＝( )÷6＝( ) 【答案】(1) 3 24 (2) 4 14 (3) 90 15 【分析】商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变。据此解答。 【详解】（1）720÷30＝（720÷10）÷（30÷10）＝72÷3＝24 （2）5600÷400＝（5600÷100）÷（400÷100）＝56÷4＝14 （3）900÷60＝（900÷10）÷（60÷10）＝90÷6＝15 8．根据第一个式子的结果，直接写出后面的结果。          ( ) ( )        ( ) 【答案】 12 12 120 【分析】第1题，被除数360与除数30同时乘10，变为3600除以300，商不变还是12。 第2题，被除数360与除数30同时除以10，变为36除以3，商不变还是12。 第3题，除数不变，被除数扩大到原来的10倍，商也扩大到原来的10倍。 【详解】360÷30＝（360×10）÷（30×10）＝3600÷300＝12。 360÷30＝（360÷10）÷（30÷10）＝36÷3＝12； 12×10＝120，3600÷30＝120。 9．根据所给算式的规律进行填空。               ( )        ( ) 【答案】 80 48 【分析】根据题意，观察这几个算式，被除数都是26640；根据商的变化规律：被除数不变，除数乘或除以几（0除外），商反而除以或乘相同的数，据此解答。 【详解】26640÷111＝240 26640÷333 ＝26640÷（111×3） ＝240÷3 ＝80 26640÷555 ＝26640÷（111×5） ＝240÷5 ＝48 所以：26640÷333＝80；26640÷555＝48。 10．根据42÷6＝7，写出下面算式的商。 420÷60＝( )   42÷3＝( )    126÷18＝( ) 【答案】 7 14 7 【分析】在除法算式中，被除数和除数同乘相同的数（0除外），商不变；被除数不变，除数除以几（0除外），则商就乘相同的数；据此解答即可。 【详解】根据42÷6＝7，可得： 420÷60＝7 42÷3＝14 126÷18＝7 11．如果A÷B＝60，那么（A×3）÷（B×3）＝( )；如果A÷B＝75，那么（A÷5）÷B＝( )。 【答案】 60 15 【分析】商不变的规律：被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变； 除数不变，商随被除数变化的规律：被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几；据此解答即可。 【详解】如果A÷B＝60，那么（A×3）÷（B×3）＝60； 如果A÷B＝75，那么（A÷5）÷B＝75÷5＝15。 12．△÷☆＝12……13，则☆最小是( )，此时△是( )。如果△和☆同时乘10，那么商是( )，余数是( )。 【答案】 14 181 12 130 【分析】根据有余数的除法，余数必须比除数小，除数＞余数，再根据被除数＝除数×商＋余数计算。被除数和除数都乘或除以相同的数（0除外），商不变，但余数是改变的。被除数和除数都扩大到原来的几倍，商不变，但余数就扩大到原来的几倍；被除数和除数都缩小到原来的几分之几，商不变，但余数就缩小到原来的几分之几。 【详解】☆＞13，☆最小是14； 12×14＋13 ＝168＋13 ＝181 181÷14＝12……13 1810÷140＝12……130 △÷☆＝12……13，则☆最小是（14），此时△是（181）。如果△和☆同时乘10，那么商是（12），余数是（130）。 二、选择题。 13．830÷40，把被除数和除数同时除以10后再笔算更简便，83÷4＝20……3，所以( )。 A．830÷40＝2……30 B．830÷40＝20……3 C．830÷40＝20……30 D．830÷40＝200……30 【答案】C 【分析】根据商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以一个数（0除外），商不变，余数也同时乘或除以同一个数。原式所得结果的余数应是：3×10＝30；据此判断即可。 【详解】根据分析： A．830÷40＝2……30，不正确，商不变； B．830÷40＝20……3，不正确，余数应乘10； C．830÷40＝20……30，正确； D．830÷40＝200……30，不正确，商不变，余数乘10。 故答案为：C 14．将除法算式608÷16的除数减去12，要使商不变，应把被除数减去( )。 A．12 B．456 C．152 D．4 【答案】B 【分析】商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变，余数也会乘或除以相同的不为0的数；先计算出16减去12的差，然后用16除以这个差，计算出16是除以几得到的这个差；然后将被除数也除以这个数，最后计算出得到的这个被除数与原本的被除数608的差；据此解答。 【详解】根据分析： 16÷（16－12） ＝16÷4 ＝4 608－608÷4 ＝608－152 ＝456 所以要使商不变，应把被除数减去456。 故答案为：B 15．A÷B＝17……3，如果A、B都扩大到原来的10倍，那么商( )，余数( )。 A．乘10；不变 B．除以10；不变 C．不变；乘10 D．乘2；乘10 【答案】C 【分析】被除数和除数都扩大几倍（0除外），商不变，但余数也扩大几倍。 【详解】A÷B＝5……3，如果A、B都乘10，那么商不变，余数也乘10； 故答案为：C 16．下面的算式中，与算式560÷70的结果不相等的算式是( )。 A．（560÷10）÷（70÷10） B．（560×5）÷（70×5） C．（560÷2）÷（70×2） D．（560÷a）÷（70÷a）（a不为0） 【答案】C 【分析】根据商的变化规律，被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变，据此选择即可。 【详解】A．被除数和除数同时除以10，商不变，结果相等； B．被除数和除数同时乘5，商不变，结果相等； C．被除数除以2，除数乘2，则商除以（2×2），结果不相等； D．被除数和除数同时除以a，且a不为0，商不变，结果相等。 与算式560÷70的结果不相等的算式是（560÷2）÷（70×2）。 故答案为：C 17．被除数不变，除数乘6，商应当( )。 A．除以6 B．乘6 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变；据此可知，两数相除，如果除数乘6，被除数不变，商应当除以6，据此解答。 【详解】根据分析可知，两数相除，如果被除数不变，除数乘6，商应当除以6。 故答案为：A 18．92÷3＝30……2，如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，那么余数是( )。 A．2 B．20 C．200 D．2000 【答案】B 【分析】根据在有余数的除法里，被除数和除数都缩小到原来的几分之一（或都扩大相同的倍数，0除外），商不变，但余数也随着缩小到原来的几分之一（或扩大相同的倍数），据此解答即可。 【详解】92÷3＝30……2，被除数和除数同时扩大到原来的10倍，那么余数也扩大到原来的10倍，为2×10＝20； 故答案为：B 19．已知236÷8＝29……4，那么2360÷80的商和余数分别是( )。 A．29和4 B．29和40 C．290和4 D．290和40 【答案】B 【分析】结合有余数的除法中余数和除数的关系以及商不变的知识可知，当被除数和除数同时扩大到原来的几倍，商不变，余数则相应地扩大到原来的几倍。据此解答即可。 【详解】已知236÷8＝29……4，2360÷80＝（236×10）÷（8×10）＝29……40 故2360÷80的商是29，余数是40 故答案选：B 20．下面算式中，计算结果与84000÷400相等的是( )。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以不为0的相同的数，商不变。据此分析每个选项。 【详解】A．的结果相当于算式84000÷400的被除数除以100，除数除以10算出的结果，两者不相等，不符合； B．的结果相当于算式84000÷400的被除数除以10000，除数除以100算出的结果，两者不相等，不符合； C．的结果相当于算式84000÷400的被除数除以1000，除数乘100算出的结果，两者不相等，不符合； D．的结果相当于算式84000÷400的被除数和除数同时除以100算出的结果，两者相等，符合。 即计算结果与84000÷400相等的是。 故答案为：D 21．已知a÷b＝c（a，b，c均不为0），如果a÷（b÷2）＝18，则c＝( )。 A．9 B．18 C．36 D．72 【答案】A 【分析】根据商的变化规律：被除数不变，除数乘或除以几（0除外），商反而除以或乘几，除数不变，被除数乘或除以几（0除外），商就乘或除以几。 【详解】观察算式发现：被除数a不变，除数b÷2，那么商c×2；c×2＝18，则c＝9。 故答案为：A 22．如果A÷B＝160，那么（A×5）÷（B×2）＝( )。 A．1600 B．64 C．400 D．800 【答案】C 【分析】 被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。被除数扩大到原来的几倍，除数不变，商也扩大到原来的几倍；被除数不变，除数缩小到原来的几分之一，商也缩小到原来的几分之一。 【详解】A÷B＝160 （A×5）÷（B×2） ＝160×5÷2 ＝400 如果A÷B＝160，那么（A×5）÷（B×2）＝400。 故答案为：C 23．如果○÷☆＝8……9（☆≠0），那么（○×5）÷（☆×5）＝( )。 A．8……9 B．8……45 C．40……45 D．40……9 【答案】B 【分析】在有余数的除法中，被除数和除数同时乘或除以一个相同的不为0的数，商不变，余数也要同时乘或除以这个不为0的数。 如：101÷10＝10……1，1010÷100＝10……10，被除数101和除数10同时乘10，变成了1010和100，但是商不变，依然是10，余数1也同时乘10，变成了10。 【详解】○÷☆的被除数是○，除数是☆；（○×5）÷（☆×5）的被除数是○×5，除数是☆×5；相当于○÷☆的被除数和除数同时乘了5，商不变，依然是8，余数9也要同时乘5，变成9×5＝45。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查有余除法的商和余数的变化规律，余数的变化是易错点，需要特别注意。 24．在算式368÷23＝16中，如果除数乘2，要使商仍是16，被除数应( )。 A．乘2 B．除以2 C．加2 D．不变 【答案】A 【分析】根据除法算式中商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；据此解答即可。 【详解】在算式368÷23＝16中，如果除数乘2，要使商仍是16，被除数应乘2。 故答案为；A 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$