第二章《有理数的运算》同步单元基础与培优高分必刷卷-2024-2025学年七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

第二章《有理数》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．拒绝餐桌浪费，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省万斤，这些粮食可供万人吃一年．万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．如果有一个两位小数的近似值是6.8，那么这个数的最大值是（　　） A．6.89 B．6.79 C．6.84 D．6.74 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下面各图中，不能说明与相等的是（   ） A． B． C． D． 5．某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 6．下列各组数中，相等的一组是（      ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 8．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．母亲甲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子1出生后的天数，如图1所示，孩子1出生后的天数是（天），母亲乙按照母亲甲的做法记录孩子2出生后的天数，如图2所示，则孩子2出生后的天数比孩子1 出生后的天数（   ）    A．少41天 B．少42天 C．多41天 D．多42天 9．下列几组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A． B．1 C． D． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人，350000000用科学记数法表示为 ． 12．已知a是有理数，表示不超过a的最大整数，如等，那么 ． 13．小明设计了一个“幻圆”游戏，将，，，，11，13，15，17分别填入图中的圆圈内，使横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和都相等，则图中的值为 ．    14．若两个有理数的和等于两个有理数的积，则称这两个有理数互为“相依数”，如：有理数与3，因为×3．所以有理数与与3是互为相依数，对于有理数，对它进行如下操作：取a的相依数，得到；取的倒数，得到；取的相依数，得到；取的倒数，得到；……；依次按如上的操作得到一组数若，则 ． 15．若a、b、c均为整数，且满足，则 ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 17．天气渐渐热了，又到了饮料的销售旺季，济南 A、B、C三个超市都进了一批相同的料，同一规格的饮料定价相同．大瓶 10元，小瓶 2.5元．为了抢占市场，分别推出不同的优惠措施：A超市买大瓶送小瓶； B超市一律打九折； C超市购买满  30元就能全部打八折．下表是四位顾客的购买情况，请你帮助这些顾客计算去哪家超市购买花钱最少，并把结果填入下面的表格中． 顾客 甲 乙 丙 丁 购买情况 10 小瓶 5 大瓶 4大6小 1大2小 选择商场 所花钱数 (元) 18．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点，，所对应的数的和是．    (1)若以为原点，则数轴上点所表示的数是______，______； (2)若原点在图中数轴上，且点到原点的距离为4，求的值． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 20．阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 21． 某口罩加工厂计划每名工人每天生产300个医用口罩，一周生产2100个医用口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，工人小贤9月份第2周周日生产了300个医用口罩，9月份第3周的生产情况如下表，正号表示产量比前一天增产，负号表示产量比前一天减产． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量/个 +5 +13 +16 (1)根据记录的数据可知，小贤9月份第3周产量最多的一天比产量最少的一天多多少？ (2)根据表格记录的数据，求出小贤本周实际生产的口罩数量． (3)若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励1.2元；若完不成每周的计划量，则少生产一个扣 元．问小贤这一周的工资总额是多少元？ 22．观察下列解题过程： 计算：的值 解：设①， 则②， 由②－①，得.即原式 通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算： 23．阅读下列材料： ， ， ， 由以上三个等式相加，可得： ． 根据以上材料，请你完成下列各题： (1)；（写出过程） (2)________________；（用含n的代数式表示） (3)根据以上学习经验，猜想____________．（写出最后结果） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章《有理数》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．拒绝餐桌浪费，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省万斤，这些粮食可供万人吃一年．万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：． 2．如果有一个两位小数的近似值是6.8，那么这个数的最大值是（　　） A．6.89 B．6.79 C．6.84 D．6.74 【答案】C 【分析】要考虑6.8是一个两位数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的6.8最大是6.84，“五入”得到的6.8最小是6.75，由此解答问题即可．取一个数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，根据题的要求灵活掌握解答方法． 【详解】解：“四舍”得到的6.8最大是6.84，“五入”得到的6.8最小是6.75，所以这个数最大是6.84； 故选：C． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的减法和整式的加减运算，根据有理数的减法和整式的加减运算法则逐一计算可得，解题的关键是掌握有理数的减法法则和整式的加减运算法则． 【详解】解：，此选项计算错误； ，此选项计算错误； ，此选项计算错误； ，此选项计算正确； 故选：． 4．下面各图中，不能说明与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了乘法分配律，解题的关键是读懂题意． 根据四个选项中的图只列出能用式子“”或“”表示即可，根据乘法分配律，． 【详解】解：A、6厘米厘米厘米总长度，不能用“”或“”表示．即不能说明“”与“”相等． B、总价是元，根据乘法分配律就是元．可以用“”或“”表示，即能说明“”与“”相等． C、总面积为平方厘米，根据乘法分配律就是平方厘米．能说明“”与“”相等． D、两种颜色的珠子一共有珠子个，根据乘法分配律就是个．即能说明“”与“”相等． 故选：A． 5．某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，理解题意成为解题的关键． 根据增长率求出依次求出2021年、2022年、2023年基地黄桃产量，然后对比即可解答． 【详解】解：2021年基地黄桃产量为， 2022年基地黄桃产量为， 2023年基地黄桃产量为， 因此突破的年份是2023年． 故选B． 6．下列各组数中，相等的一组是（      ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的性质，相反数的定义，根据绝对值的性质和相反数的定义，有理数的乘方的定义对各选项进行计算，然后利用排除法求解． 【详解】解：A.，，两组值不相等； B. ，，两组值不相等； C. ，，两组值相等； D.，两组值不相等； 故选C． 7．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据数轴的性质可得，再根据有理数的运算法则逐项判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，． A、，正确，则此项不符合题意； B、，正确，则此项不符合题意； C、因为无法判断与的大小关系，所以不一定正确，则此项符合题意； D、，正确，则此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴、有理数的加减法与除法，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 8．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．母亲甲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子1出生后的天数，如图1所示，孩子1出生后的天数是（天），母亲乙按照母亲甲的做法记录孩子2出生后的天数，如图2所示，则孩子2出生后的天数比孩子1 出生后的天数（   ）    A．少41天 B．少42天 C．多41天 D．多42天 【答案】A 【分析】根据已知算法求出孩子2出生后的天数，相减即可得到答案． 【详解】解：由已知算法可知，孩子2出生后的天数是（天）， （天）， 孩子2出生后的天数比孩子1 出生后的天数少41天， 故选A． 【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，理解题意，掌握“结绳计数”满七进一的计算方法是解题关键． 9．下列几组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】先将各数化简，再根据相反数的定义进行判断即可． 本题主要考查了乘方的运算，绝对值化简，以及相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义． 【详解】解：A、，，不是相反数，故A不符合题意； B、，，不是相反数，故B不符合题意； C、，，是相反数，故C符合题意； D、，，不是相反数，故D不符合题意． 故选：C． 10．定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式—数字规律找到运算规律（）是解题关键． 【详解】解∶原式 故选：D． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人，350000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数：科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数． 根据科学记数法表示较大的数的方法求解即可； 【详解】解：依题意，数据350000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 12．已知a是有理数，表示不超过a的最大整数，如等，那么 ． 【答案】 【分析】根据的意义得出，，，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，有理数的乘除运算，正确理解的意义是解题的关键． 13．小明设计了一个“幻圆”游戏，将，，，，11，13，15，17分别填入图中的圆圈内，使横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和都相等，则图中的值为 ．    【答案】7或 【分析】本题考查了有理数的加法，设小圈上的数为c，大圈上的数为d，先求出这8个数的和，然后即可求出横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和，从而求出a、c的值，即可得出的值，进而分别分析求解即可． 【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ， 又横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和都相等， 这个数和为， ， ， ， 当时，， 当时，， 或， 故答案为：7或． 14．若两个有理数的和等于两个有理数的积，则称这两个有理数互为“相依数”，如：有理数与3，因为×3．所以有理数与与3是互为相依数，对于有理数，对它进行如下操作：取a的相依数，得到；取的倒数，得到；取的相依数，得到；取的倒数，得到；……；依次按如上的操作得到一组数若，则 ． 【答案】1011 【分析】根据题意求出前几个数，发现其规律再进行求解即可． 【详解】解：当时，由题意可求得， 故的值6次一循环的规律出现， 且 而， ∴ ＝ ＝1011． 故答案为：1011． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 15．若a、b、c均为整数，且满足，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是有理数的乘方及绝对值的性质，能根据有理数的乘方及绝对值的性质得出、、之间的关系式解答此题的关键． 先根据，，均为整数，得出和均为整数，根据有理数乘方的法则得出关于、、的方程组，求出、、之间的关系，用表示出、，代入原式进行计算． 【详解】解：因为，，均为整数，所以和均为整数， 从而由可得或， 若，则， 从而． 若，则， 从而． 因此，． 故答案为：2． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)0(2)5(3)324(4)63(5)(6) 【分析】（1）利用有理数的加减法混合运算法则计算即可； （2）利用有理数的乘法分配律计算即可； （3）利用有理数的乘除法混合运算法则计算即可； （4）利用有理数的混合运算法则计算即可； （5）利用乘法分配律计算即可； （6）利用有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算法则和乘法运算律，掌握有理数的运算法则和运算律是解决问题的关键． 17．天气渐渐热了，又到了饮料的销售旺季，济南 A、B、C三个超市都进了一批相同的料，同一规格的饮料定价相同．大瓶 10元，小瓶 2.5元．为了抢占市场，分别推出不同的优惠措施：A超市买大瓶送小瓶； B超市一律打九折； C超市购买满  30元就能全部打八折．下表是四位顾客的购买情况，请你帮助这些顾客计算去哪家超市购买花钱最少，并把结果填入下面的表格中． 顾客 甲 乙 丙 丁 购买情况 10 小瓶 5 大瓶 4大6小 1大2小 选择商场 所花钱数 (元) 【答案】见解析 【分析】题目主要考查打折运算及有理数的乘法应用，理解题意，分别对每位顾客计算出相应的超市的费用即可得出结果 【详解】解：顾客甲：只买10小瓶，(元)，只买10小瓶， 到A或C超市购买无优惠，到B超市购买有优惠，花费为（元）； 顾客乙：只买5个大瓶，(元)，已满30元，到A超市购买无优惠，到B超市购买九折，到C超市购买八折， 应该到C超市购买更便宜，花费； 顾客丙：买4大瓶6小瓶，(元)， 如果选A超市就是：元)，如果选B超市就是：(元)， 选C超市就是：(元)， 所以选C超市， 顾客丁：买1大瓶和2小瓶，(元)， 如果选A超市：(元)， 如果选B超市就是：(元)， 如果选C超市无优惠， 所以选A超市． 顾客 甲 乙 丙 丁 购买情况 10 小瓶 5 大瓶 4大6小 1大2小 选择商场 B C C A 所花钱数 (元) 40 44 12.5 18．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点，，所对应的数的和是．    (1)若以为原点，则数轴上点所表示的数是______，______； (2)若原点在图中数轴上，且点到原点的距离为4，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为或 【分析】（1）根据题意当为原点，点到点的距离为，则点表示的数为，点表示的数为，根据、、所对应的数的和是，即可求解； （2）分在的左边与在的右边两种情形，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵点到点的距离为， 若以为原点，则点表示的数为，点表示的数为， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵点到点的距离为3，点到点的距离为8，点到原点的距离为， ∴当在的左边时，、、三点在数轴上所对应的数分别为、、， ∴， 当在的右边时，、、三点在数轴上所对应的数分别为、、， ∴， 综上所述：的值为或 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点距离，数形结合，分类讨论是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)1(2)(3)0(4)8(5)(6) 【分析】（1）运用加法结合律进行简便运算即可； （2）先去括号、去绝对值并将分数化成小数，然后再计算即可； （3）先将小数化成分数，然后再运用加法结合律计算即可； （4）先将小数化成分数，然后按照有理数乘除混合运算法则计算即可； （5）直接运用乘法分配律计算即可； （6）先将小数化成分数，然后按照有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ． （4）解：， ， ， ， ． （5）解：， ， ， ． （6）解：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算、有理数的运算律等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 20．阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （2）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 【详解】（1） ， ； （2） ， ． 21． 某口罩加工厂计划每名工人每天生产300个医用口罩，一周生产2100个医用口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，工人小贤9月份第2周周日生产了300个医用口罩，9月份第3周的生产情况如下表，正号表示产量比前一天增产，负号表示产量比前一天减产． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量/个 +5 +13 +16 (1)根据记录的数据可知，小贤9月份第3周产量最多的一天比产量最少的一天多多少？ (2)根据表格记录的数据，求出小贤本周实际生产的口罩数量． (3)若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励1.2元；若完不成每周的计划量，则少生产一个扣 元．问小贤这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)20 (2)2152 (3)1784 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出算式求解是解题的关键． （1）先根据表格中的数据把每天的实际产量计算出来，再用产量最多的减去产量最少得即可得到答案． （2）根据（1）中实际日产量求和计算即可． （3）列式计算即可． 【详解】（1）解：∵第2周周日生产了300个医用口罩， ∴第3周的日产量如下： 周一生产个医用口罩， 周二生产个医用口罩， 周三生产个医用口罩， 周四生产个医用口罩， 周一生产个医用口罩， 周一生产个医用口罩， 周一生产个医用口罩， 第3周产量最多的一天是周六，生产个医用口罩，产量最少的一天是周三，生产个医用口罩， 小贤9月份第3周产量最多的一天比产量最少的一天多个医用口罩； （2）解：根据（1），得第3周产量为： ． （3）根据每生产一个口罩可得0.8元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励1.2元；若完不成每周的计划量，则少生产一个扣0.3元． 所以小贤这一周的工资总额是：（元）． 【点睛】本题考查了正数、负数的应用，有理数加减法运用，明确正数、负数的实际意义，准确进行计算是解题的关键． 22．观察下列解题过程： 计算：的值 解：设①， 则②， 由②－①，得.即原式 通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算： 【答案】 【分析】利用所给的解答方式进行求解即可． 【详解】解：设①， 则②， 由②①，得． ∴， 即原式． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律和有理数的乘方，解答的关键是理解清楚题目所给的解答方式并灵活运用． 23．阅读下列材料： ， ， ， 由以上三个等式相加，可得： ． 根据以上材料，请你完成下列各题： (1)；（写出过程） (2)________________；（用含n的代数式表示） (3)根据以上学习经验，猜想____________．（写出最后结果） 【答案】(1) (2) (3)35910 【分析】（1）利用已知材料得出原式，进而求出即可； （2）利用（1）中所求，进而求出即可； （3）仿照已知得出原式，进而求出即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 故答案为； （3） ． 故答案为：35910． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用找出的规律解决问题． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$