专题强化02：有理数的运算题型归纳【11大题型】培优-2024-2025学年七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

专题强化02：有理数的运算题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：有理数加法法则及其运算律 · 题型二：有理数的减法法则 · 题型三：有理数加减混合计算 · 题型四：有理数的乘法法则及其运算律 · 题型五：有理数的除法法则 · 题型六：倒数 · 题型七：科学记数法 · 题型八：近似数 · 题型九：有理数的乘方 · 题型十：有理数的四则运算法则 · 题型十一：有理数运算的综合 【题型探究】 题型一：有理数加法法则及其运算律 1．（21-22七年级上·江苏南京·期中）如果，且，那么一定正确的是（    ） A．a为正数，且 B．a为正数，且 C．b为负数，且 D．b为负数，且 2．（19-20七年级上·湖北宜昌·期中） A．-1010 B．-2010 C．0 D．-1 3．（23-24七年级上·山西运城·期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系中正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：有理数的减法法则 4．（22-23七年级上·山东聊城·期中）已知，，且，则的值等于（    ） A．7和 B．7 C． D．以上答案都不对 5．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，把展开图沿虚线折叠成一个正方体后，相对面上的两数之和都相等，则的值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 6．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）在数轴上点对应的数分别是，点在表示和的两点之间（包括这两点）移动，点在表示和的两点（包括这两点）之间移动，则以下四个代数式的值，可能比2023大的是（    ） A． B． C． D． 题型三：有理数加减混合计算 7．（23-24七年级上·湖北十堰·期末）已知有理数、，满足，，若，则的值为 ． 8．（23-24七年级上·河北保定·期末）计算： (1)； (2)． 9．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）计算： (1)； (2)． 题型四：有理数的乘法法则及其运算律 10．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法，一女子在从右到左依次排列的绳子上打结，满七向左进一，用来记录采集到的野果数量，下列图示中表示162颗的是（    ） A．    B．   C．   D．   11．（23-24七年级上·浙江·期末）用简便方法计算：，其结果是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 12．（23-24七年级上·河北保定·期末）下面计算的过程正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五：有理数的除法法则 13．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 14．（23-24七年级上·福建漳州·期末）已知数轴上的点分别表示数，其中．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）观察下列等式(式子中的“！”是一种数学运算 符号) ，那么 的值是(   ) A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 题型六：倒数 16．（23-24七年级上·新疆喀什·期中）的相反数的倒数是（    ） A． B．3 C． D． 17．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 18．（23-24七年级上·四川泸州·期末）有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则的值是（　　） A． B．1 C．0 D． 题型七：科学记数法 19．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）文化和旅游部数据显示，2023年的中秋、国庆假期全国国内旅游出游人数8.26亿人次，实现国内旅游收入7534.3亿元．数据8.26亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·四川成都·期中）近期生物科学家发现一种病毒的长度约为米，利用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 21．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）近期量子芯片“悟空芯”在合肥成功问世，标志着我国在芯片上迈出了坚实的一步．悟空芯的尺寸相当于的运算能力，已知为0.00000001米，数据0.000000013用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 题型八：近似数 22．（23-24七年级上·广东汕头·期中）用四舍五入法得到的近似数0.270，其准确数的范围是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）用四舍五入按要求对取近似值，其中错误的是（　　） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 24．（23-24七年级上·浙江·期末）祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家、科学家，他首次将圆周率π精算到小数第七位，即．π取近似值3.1416是精确到（    ） A．百分位 B．千分位 C．万分位 D．十万分位 题型九：有理数的乘方 25．（23-24七年级下·山东淄博·期末）计算的结果为（　　） A．1 B． C． D．2．4 26．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数是（天），那么图2所表示孩子出生后的天数是（    ） A．1234天 B．466天 C．396天 D．284天 27．（23-24七年级下·广西梧州·期中）若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 题型十：有理数的四则运算法则 28．（23-24七年级下·福建福州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 29．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）（1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）用简便方法计算：． 30．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）计算： (1)； (2)． (3)； (4). 题型十一：有理数运算的综合 31．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 32．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）我们规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作， (1)根据以上规定求出：______________；______________； (2)小明发现也成立，并证明如下 设：          根据以上证明，请计算，______________] (3)猜想，______________]，并说明理由． 33．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点用数表示，则 ①若，那么的值是_________． ②有最小值，最小值是_________； ③求的最小值． 【专题训练】 一、单选题 34．（2024·甘肃武威·三模）党的二十大报告中提到以“得罪千百人、不负十四亿”的使命担当开展反腐败斗争，其中“十四亿”是概指全体中国人民，则数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 35．（2024·河北邢台·一模）红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是8位小数 D．是7位小数 36．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列各组数种，值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 37．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ）．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．（22-23七年级下·湖南常德·期中）已知数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 39．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24七年级上·河南安阳·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（    ） A．132天 B．72天 C．60天 D．42天 41．（23-24七年级上·河南郑州·期末）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列式子：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 42．（23-24七年级上·北京房山·期末）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示．当时，下面有五个结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是（    ） A．①④⑤ B．①②④ C．③④⑤ D．①⑤ 43．（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，图1中★的个数为，图2中★的个数为，图3中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 44．（23-24七年级上·山东滨州·期末）已知，，且，则的值为 ． 45．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）如果满足，则的值是 ． 46．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知、、为的三边长，、满足，为方程的解，则的周长为 ． 47．（23-24七年级下·四川巴中·期末）今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为 元（用合适的记数法表示）． 48．（23-24七年级下·山西太原·期末）定义一种新的运算“”，若，则，如：．已知，则 ． 49．（2024·北京西城·一模）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为 ，第37个空格所填入的数为 ． 37 三、解答题 50．（23-24七年级上·云南红河·期末）计算： (1)； (2)． 51．（23-24七年级下·山东聊城·期中）阅读材料：求的值． 解：设，将等式两边同时乘2得： 将下式减去上式得即 即 请你仿照此法计算： (1) (2)（其中为正整数）． 52．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）规定一种新运算：，其中a，b为有理数． (1)计算：_____； _____； (2)计算：； (3)当时，求x的值． 53．（23-24七年级下·山东淄博·期中）阅读下面的材料： ；…… 利用上面材料中的方法解答下列各题： (1)①___________； ②______________________； 你得到的规律是：___________（用含n的式子表示，n为大于1的整数）． (2)计算： 54．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中） (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①；②． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化02：有理数的运算题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：有理数加法法则及其运算律 · 题型二：有理数的减法法则 · 题型三：有理数加减混合计算 · 题型四：有理数的乘法法则及其运算律 · 题型五：有理数的除法法则 · 题型六：倒数 · 题型七：科学记数法 · 题型八：近似数 · 题型九：有理数的乘方 · 题型十：有理数的四则运算法则 · 题型十一：有理数运算的综合 【题型探究】 题型一：有理数加法法则及其运算律 1．（21-22七年级上·江苏南京·期中）如果，且，那么一定正确的是（    ） A．a为正数，且 B．a为正数，且 C．b为负数，且 D．b为负数，且 【答案】C 【分析】根据可知然后两种情况：或分别讨论． 【详解】解：∵， ∴ 则a一定是正数，此时，与已知矛盾， ∴， ∵， 当时， ①若a、b同号， ∵ ∴， ②若a、b异号， ∴， 综上所述时，，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的减法、绝对值、有理数的加法、正数和负数，掌握加法、减法运算法则，分情况讨论是解题关键． 2．（19-20七年级上·湖北宜昌·期中） A．-1010 B．-2010 C．0 D．-1 【答案】A 【分析】利用加法结合律使计算简便. 【详解】解： 故选A. 【点睛】正确利用加法结合律是本题的解题关键. 3．（23-24七年级上·山西运城·期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系中正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先在数轴上表示出，，再根据数轴知，且|a|＞|b|，然后根据有理数加法法则和利用数轴比较有理数大小进行判断便可． 【详解】解：在数轴上表示出，，如图， 由图可知：，且|a|＞|b|， ∴故①错误， ，故②错误， 故③正确， ，故④正确， 故⑤正确， 故⑥错误， ∴正确的有③④⑤，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理的大小，有理数加法，绝对值，相反数，熟记数轴特征和各个运算法则是解题的关键． 题型二：有理数的减法法则 4．（22-23七年级上·山东聊城·期中）已知，，且，则的值等于（    ） A．7和 B．7 C． D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的加减法以及绝对值正确掌握运算法则是解题关键；直接利用绝对值的性质以及有理数的加法分类讨论得出答案． 【详解】∵，，且， ∴或， ∴或 ， 故选：D． 5．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，把展开图沿虚线折叠成一个正方体后，相对面上的两数之和都相等，则的值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体相对面上的数字，先确定相对面，再根据相对面上的两数之和都相等列出式子，求出和c的值即可求出的值．熟练掌握正方体展开图中相对面的特征是解题的关键． 【详解】∵把展开图沿虚线折叠成一个正方体后，相对面上的两数之和都相等， ，， ， ． 故选：B 6．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）在数轴上点对应的数分别是，点在表示和的两点之间（包括这两点）移动，点在表示和的两点（包括这两点）之间移动，则以下四个代数式的值，可能比2023大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的性质、有理数的加减运算，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，从而可得，，，，，，再逐项判断即可得． 【详解】解：由题意可知，，， ，，，，，， ，则选项A不符合题意； 当时，，则，有可能比2023大，则选项B符合题意； ，则选项C不符合题意； ，则选项D不符合题意； 故选：B． 题型三：有理数加减混合计算 7．（23-24七年级上·湖北十堰·期末）已知有理数、，满足，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的有关计算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和有理数的加法乘法法则． 先根据已知条件，把，和用，，表示出来，再根据，判断，，中三个数中只有一个负数，然后选择一种情况：，，，利用绝对值的性质进行判断即可． 【详解】解：， ，，中三个数中既有正数又有负数，且，，， ， ，，中三个数中只有一个负数， 设，，则， ，，， ， ， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·河北保定·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减法法则及加法运算律，熟练掌握有理数的加减法法则及加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加减法法则计算即可得解； （2）根据有理数的加减法法则及加法运算律计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 9．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算括号内的，再计算加减即可得出答案； （2）先将式子化为，再去括号，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型四：有理数的乘法法则及其运算律 10．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法，一女子在从右到左依次排列的绳子上打结，满七向左进一，用来记录采集到的野果数量，下列图示中表示162颗的是（    ） A．    B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解题意；由题意可分别求出各个选项中野果的数量，然后问题可求解． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选D． 11．（23-24七年级上·浙江·期末）用简便方法计算：，其结果是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法运算律．熟练掌握乘法运算律是解题的关键． 利用乘法运算律计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 12．（23-24七年级上·河北保定·期末）下面计算的过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算．利用乘法分配律写出中间过程，进行判断即可．掌握乘法分配律，是解题的关键． 【详解】解：或； 故选A． 题型五：有理数的除法法则 13．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是理解乘法分配律的意义，以及除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把乘得的两个积加起来，掌握概念并灵活运用即可解题． 【详解】解：A、除法不具有分配律，不符合题意． B、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． C、，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意． D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． 故选：C． 14．（23-24七年级上·福建漳州·期末）已知数轴上的点分别表示数，其中．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用数轴上的点表示数，根据数据比较大小，由，， 得出是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， A、，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 15．（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）观察下列等式(式子中的“！”是一种数学运算 符号) ，那么 的值是(   ) A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用题中的新定义化简，约分即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得： 原式， 故选：C． 题型六：倒数 16．（23-24七年级上·新疆喀什·期中）的相反数的倒数是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化简多重符号、相反数、倒数，先求出，再根据相反数和倒数的定义计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴的相反数为， ∴的相反数的倒数是， 故选：A． 17．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了相反数、倒数的性质，绝对值的概念，有理数的乘法运算，根据题意可知，，，代入计算即可，解题的关键是掌握互为相反数的两数和为、互为倒数的两数积是，注意整体代入思想的运用． 【详解】解：由题意得：，，， ∴原式 ， 则或， 故选：． 18．（23-24七年级上·四川泸州·期末）有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则的值是（　　） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了求代数式的值，乘方运算，先根据倒数和相反数的性质求出a，b的值，再代入解析式求解即可． 【详解】∵有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数， ∴， 当时，原式， 当时，原式， 综上，的值是， 故选：D． 题型七：科学记数法 19．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）文化和旅游部数据显示，2023年的中秋、国庆假期全国国内旅游出游人数8.26亿人次，实现国内旅游收入7534.3亿元．数据8.26亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：8.26亿， 故选：C． 20．（23-24七年级下·四川成都·期中）近期生物科学家发现一种病毒的长度约为米，利用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中， n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与绝对值较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：B． 21．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）近期量子芯片“悟空芯”在合肥成功问世，标志着我国在芯片上迈出了坚实的一步．悟空芯的尺寸相当于的运算能力，已知为0.00000001米，数据0.000000013用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据0.000000013米用科学记数法表示为． 故选：C． 题型八：近似数 22．（23-24七年级上·广东汕头·期中）用四舍五入法得到的近似数0.270，其准确数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数的确定方法是解题关键．近似数精确到哪一位，是对下一位的数字进行四舍五入得到的，由于的近似值为0.270，则由四舍五入近似可得的取值范围，即看万分位上的数． 【详解】解：由题意得，当满足时，得到的近似数为0.270． 故选：D． 23．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）用四舍五入按要求对取近似值，其中错误的是（　　） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数，“精确到第几位”是精确度的表示形式，熟练掌握四舍五入是解题关键． 根据近似数的精确度逐项判断即可． 【详解】解：（精确到十分位），选项A正确，不符合题意； （精确到），选项B正确，不符合题意； （精确到千分位），选项C错误，符合题意； （精确到），选项D正确，不符合题意， 故选：C． 24．（23-24七年级上·浙江·期末）祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家、科学家，他首次将圆周率π精算到小数第七位，即．π取近似值3.1416是精确到（    ） A．百分位 B．千分位 C．万分位 D．十万分位 【答案】C 【分析】根据小数部分的位数求解即可． 【详解】解：∵3.1416的小数部分是四位， ∴精确到万分位， 故选：C． 题型九：有理数的乘方 25．（23-24七年级下·山东淄博·期末）计算的结果为（　　） A．1 B． C． D．2．4 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，积的乘方的逆用； 先根据乘方的意义变形，再逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 26．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数是（天），那么图2所表示孩子出生后的天数是（    ） A．1234天 B．466天 C．396天 D．284天 【答案】B 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，理解题意，根据题中计算方法列式计算即可． 【详解】解：由题意，图2所表示孩子出生后的天数是 （天）， 故选：B 27．（23-24七年级下·广西梧州·期中）若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，有理数的乘方等知识．熟练掌握绝对值的非负性，算术平方根的非负性，有理数的乘方是解题的关键． 由，可得，可求，然后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴， 故选：B． 题型十：有理数的四则运算法则 28．（23-24七年级下·福建福州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据有理数的加减法即可求解； （）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可； （）根据有理数的乘法分配律及加减法即可求解； （）先算乘方及绝对值，再算乘除，最后算加减即可； 本题考查了有理数的加减混合运算，乘法分配律，含有乘方的有理数混合运算以及绝对值，掌握掌握运算法则解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 29．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）（1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）用简便方法计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）先去绝对值，再根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先把除法变成乘法，再计算乘法，最后计算加法即可； （3）先计算乘方，再计算绝对值，接着计算乘除法，最后计算加减法即可； （4）先把原式变形为，再利用分配律求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 30．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）计算： (1)； (2)． (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3)11 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数加法运算律、有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键. （1）运用加法结合律进行简便运算即可； （2）运用加法结合律进行简便运算即可； （3）运用乘法分配律进行简便运算即可； （4）运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可. 【详解】（1）解： . （2）解： . （3）解： . （4）解： . 题型十一：有理数运算的综合 31．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】该题是规律探究类题型，解题的关键是总结出规律，也考查了绝对值和平方的非负性． （1）根据题中所给等式关系，即可分别求解； （2）根据（1）中所给等式关系，即可分别求解； （3）由非负性可得，代入式子中化简即可求解； 【详解】（1）解：根据第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据以上规律可得第个算式为：； （2）解： 根据（1）中规律， 则； （3）解：∵， ∴， 则 ． 32．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）我们规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作， (1)根据以上规定求出：______________；______________； (2)小明发现也成立，并证明如下 设：          根据以上证明，请计算，______________] (3)猜想，______________]，并说明理由． 【答案】(1)3，0 (2)42 (3)2，理由见解析 【分析】本题考查有理数的乘方、同底数幂的乘除法的逆用，理解题中运算方法是解答的关键． （1）根据题中运算方法，结合有理数的乘方求解即可； （2）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可； （3）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的除法运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：3，0； （2）解：设，， ∴，，， ∵，则， ∴， 故答案为：42． （3）解：猜想，理由： 设，， ∴，，， ∵，则， ∴， 故答案为：2． 33．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点用数表示，则 ①若，那么的值是_________． ②有最小值，最小值是_________； ③求的最小值． 【答案】(1)， (2)①或；②；③ 【分析】本题考查绝对值的性质、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）①利用绝对值的定义可得或，即可求解；②由表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和，根据两点间线段最短即可求解；③该式子表示数轴上点到、、、、的 距 离 之 和，根据两点之间线段最短和绝对值的意义可知：当时，原式有最小值，然后去取绝对值，利用求和公式计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：， 数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：， 故答案为：，； （2）①若，那么或， 解得：或， 故答案为：或； ②表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和， 由两点间线段最短可知：当时，有最小值，最小值是， 故答案为：； ③的中间一项是， 当时，原式有最小值， 的最小值是． 【专题训练】 一、单选题 34．（2024·甘肃武威·三模）党的二十大报告中提到以“得罪千百人、不负十四亿”的使命担当开展反腐败斗争，其中“十四亿”是概指全体中国人民，则数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 35．（2024·河北邢台·一模）红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是8位小数 D．是7位小数 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，以及幂的运算，根据相关概念和运算法则对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：， A项错误，不符合题意； ， B项错误，不符合题意； 是8位小数， 故C项正确，符合题意；D项错误，不符合题意； 故选：C． 36．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列各组数种，值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，相反数的定义，绝对值的性质，根据有理数的乘方，相反数的定义，绝对值的性质逐项判断即可，熟记性质是解题的关键． 【详解】、由，，则，符合题意； 、由，，则，不符合题意； 、由，，则，不符合题意； 、由，，则，不符合题意； 故选：． 37．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ）．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，有理数的运算，要熟练掌握．根据题意，可得，，据此逐项判定即可． 【详解】解：由图可知：， ，①错误； ，④错误； ， ， ，③正确； ， ，②正确； 综上所述，正确的选项有②③，共两个， 故选：B． 38．（22-23七年级下·湖南常德·期中）已知数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，由数轴可得：，，，从而可得，，，，即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得：，，， ∴，，，故A、C、D正确，B错误， 故选：B． 39．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形，可以得到阴影部分的面积． 【详解】解：由图可得，阴影部分的面积是， 故选：C． 40．（23-24七年级上·河南安阳·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（    ） A．132天 B．72天 C．60天 D．42天 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据“满七进一”可知最左边的每个结表示，中间的每个结表示7，最右边每个结表示1，由此可解． 【详解】解：孩子已经出生天数为：（天）， 故选B． 41．（23-24七年级上·河南郑州·期末）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列式子：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的特征、利用数轴确定式子的符号，绝对值的意义，有理数运算，根据数轴得出，，即可判断①，根据绝对值的意义，即可判断②，根据两数相乘，同号为正，异号为负，即可判断③，根据有理数运算法则，即可判断④和⑤． 【详解】解：由题知，， ，即①错误； ，即③正确； 离原点远，离原点近， ，即②错误； ，， ，即④错误； ，且， ，即⑤正确； 综上所述，正确的有③和⑤，共2个． 故选：B． 42．（23-24七年级上·北京房山·期末）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示．当时，下面有五个结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是（    ） A．①④⑤ B．①②④ C．③④⑤ D．①⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，利用得到原点的位置是解题关键，也考查了有理数的运算法则．根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得，结合有理数的运算，逐一分析可得答案． 【详解】解：∵， ∴，原点在b和c之间，且距离c更近， ∴由有理数a，b，c，d在数轴上对应点的位置可得， ∴，故①符合题意； ∴，故②不符合题意； ∴，故③不符合题意； ∵， ∴，，即， ∴，故④⑤符合题意； ∴其中正确的是①④⑤． 故选A． 43．（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，图1中★的个数为，图2中★的个数为，图3中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形变化的规律，能用含n的代数式表示第n幅图形中三角形的个数是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中★的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1幅图中★的个数为2，即； 第2幅图中★的个数为6，即； 第3幅图中★的个数为12，即； 第4幅图中★的个数为20，即； …， 所以第n幅图中★的个数为； 所以 ． 故选：A． 二、填空题 44．（23-24七年级上·山东滨州·期末）已知，，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，理解同号得正，异号得负，并把绝对值相乘是解题的关键．根据有理数的乘法法则，以及，可知，同号，进而求得，的值，即可求得的值． 【详解】解：，， ，， ， 时，或时，， 时，， 此时， 时，， 此时， 的值为或． 45．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）如果满足，则的值是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，合理分类讨论是解题的关键． 根据运算的结果分类讨论解答即可． 【详解】解：①当，时，，则，符合题意，此时； ②当时，，则，即，符合题意，此时； ③当时，，则，即，符合题意，此时； 故答案为：或2或0 46．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知、、为的三边长，、满足，为方程的解，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质等知识， 利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b、c的值，再解绝对值方程可得a的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出的周长． 【详解】解∶∵， ∴，， ∴，， ∵为方程的解， ∴或2， 又， ∴， ∴的周长为， 故答案为∶12． 47．（23-24七年级下·四川巴中·期末）今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为 元（用合适的记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了，有理数的乘法运算，科学记数法，正确理解题意是解题的关键．根据题意列式，利用有理数的乘法运算及科学记数法，即得答案． 【详解】解：(元)， 所以该企业一年的国债利息收益为元． 故答案为：． 48．（23-24七年级下·山西太原·期末）定义一种新的运算“”，若，则，如：．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，代数式求值，乘方运算，根据新定义先求出，代入即可，掌握新定义的计算方法是解题的关键． 【详解】解：由新定义可知，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 49．（2024·北京西城·一模）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为 ，第37个空格所填入的数为 ． 37 【答案】 1 19 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握四则运算法则是解题关键．根据第1个数是第2个数的倍数可得第2个空格所填入的数；先得出这37个数的和也是第37个数的倍数，再求出这37个数的和，由此即可得． 【详解】解：∵第1个空格填入37，第1个数是第2个数的倍数， ∴第2个空格所填入的数为1， ∵前36个数的和是第37个数的倍数， ∴这37个数的和也是第37个数的倍数， 又∵ ， ∴第37个空格所填入的数为19， 故答案为：1，19． 三、解答题 50．（23-24七年级上·云南红河·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算、有理数加法运算律、含乘方的有理数混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用有理数加法结合律变形，然后再计算即可； （2）先算乘方，再按照有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 51．（23-24七年级下·山东聊城·期中）阅读材料：求的值． 解：设，将等式两边同时乘2得： 将下式减去上式得即 即 请你仿照此法计算： (1) (2)（其中为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是探索运算规律题，根据已知材料中的方法，探索出运算规律是解决此题的关键． （1）设，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值； （2）设，两边乘以3后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘2得：， 将下式减去上式得：，即， 则； （2）解：设①， 两边同时乘3得：②， ②-①得：，即，则 则． 52．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）规定一种新运算：，其中a，b为有理数． (1)计算：_____； _____； (2)计算：； (3)当时，求x的值． 【答案】(1)1； (2)1 (3)2023 【分析】本题主要考查了新定义，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法计算，零指数幂和负整数指数幂： （1）根据新定义结合零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可； （2）根据新定义得到所求式子为，据此利用积的乘方的逆运算法则求解即可； （3）根据题意得到，进而得到，则，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为：1；； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 53．（23-24七年级下·山东淄博·期中）阅读下面的材料： ；…… 利用上面材料中的方法解答下列各题： (1)①___________； ②______________________； 你得到的规律是：___________（用含n的式子表示，n为大于1的整数）． (2)计算： 【答案】(1)①，②，， (2)1 【分析】本题考查有理数的混合运算及数字变化的规律，能根据题意得出是解题的关键； （1）①②根据题中所给示例即可解决问题； （2）利用前面的发现，将两个分数积的形式转换为两个差的形式即可解决问题． 【详解】（1）解：①， 故答案为： ②， 得到的规律是： 故答案为：，，； （2）解： ． 54．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中） (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①； ②． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第个式子即可； （2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果； （3）①原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果； ②原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴第5个式子是：； 第个式子是； 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：① ． ② ． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$