微专题2 最短路径问题（课件PPT）-【齿轮同步】2024-2025学年八年级上册数学活页好题（北师大版）

数 学 2025北师 1 第一章 勾股定理 微专题2 最短路径问题 2 平面中的最短距离 1.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题： 如图，诗中将军在观望烽火之后从山脚的点出发，奔向小河旁边的 点 饮马，饮马后再到点宿营.若，到水平直线（ 表示小河）的距离分 别是3，1，,两点之间的水平距离为3，则 的最小值为___. 5 3 2.如图，，两个小镇在河流 同侧，到河岸的距离分别为 ，，且 ，现在要在河岸上修建一 个自来水公司，分别向， 两镇供水.铺设水管的费用为每千米3万元， 请你在河岸选择自来水公司的位置 ，使铺设水管的总费用最低，并求 出最低总费用. 4 解：作点关于的对称点，连接交于点 ，如解 图所示，则点 即为自来水公司的位置. 过点作，交的延长线于点 ，如解图所示， 则 为直角三角形. 在中， ， ， 由勾股定理，得 , 即 . 所以 . 因为 （万元）， 所以铺设水管的最低总费用为150万元. 5 圆柱表面的最短路径 3.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面 周长为，在容器内壁离容器底部的点 处有一饭粒，此时一 只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点 处，则蚂蚁吃到饭粒 需爬行的最短路径是( ) A A. B. C. D. 6 4.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺， 有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所 示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底 面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 处，则问题中葛藤的最短长度是____尺. 25 7 5. 下图左右两幅图分别是某公园内滑雪场 型池的实 景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成， 它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点 在 上，.一名滑雪爱好者从点滑到点 ，他滑行的最短路线长 为____ . 20 8 6.如图，已知线段 是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为 10，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点， 两点嵌 有一圈长度最短的金属丝. （1）现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是___. C A. B. C. D. 9 （2）求该金属丝的长度. 解：由（1）选项C中的图,可知这圈金属丝的长度为 . 因为圆柱底面的周长为10，圆柱的高 ，由勾股定理，得 ,所以该金属丝的长度为26. 10 棱柱表面的最短路径 7.小南同学报名参加了攀岩选修课，攀岩墙近似一个 长方体的两个侧面，如图所示.根据学过的数学知识 可求得从点攀爬到点 的最短路径为( ) C A.6米 B.8米 C.10米 D.12米 11 第8题图 8.如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上， 从顶点到顶点镶有一圈金属丝.已知此三棱镜的高为 ， 底面边长为 ，则这圈金属丝的长度至少为( ) B A. B. C. D. 12 9.在一个长，宽 的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的 木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽，它的底面是边长为 的等 边三角形，一只蚂蚁从点爬到点的最短路程是____ . 第9题图 13 13 台阶面的最短路径 10.如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺 地毯，则地毯的长度至少需要( ) D A.4米 B.5米 C.6米 D.7米 14 11.(2023郑州中原区期中)如图所示是一个三级台阶，每一级的长，宽和 高分别是，，，和 是这个台阶两个相对的端点.若 一只壁虎从点出发沿着台阶表面爬到 点. 15 （1）画出从点到 点的台阶表面展开图. 解：如解图1所示. 图1 16 （2）求壁虎爬行的最短路线的长. 17 解：连接 ,如解图2所示. 图2 在中，， . 由勾股定理，得 ，所以 . 所以壁虎爬行的最短路线的长为 . 18 $$