精品解析：福建省福州市华伦中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题

2023—2024学年梦之队九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题． 1. 如图所示的垃圾分类标志，分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意； C．选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D．选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 2. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解再证明可得 【详解】解： ＝， DE∥BC， 故选D 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键． 3. 电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映．某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知第一天票房为2，第二天票房为2+2x，第三天票房为(2+2x)+(2+2x)x，列方程为，化简求解即可． 【详解】解：第一天票房为2，第二天票房为2+2x，第三天票房为(2+2x)+(2+2x)x 故根据题意列方程式为： 化简得： 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于正确的表示每天的票房． 4. 函数先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图像的平移，熟记“左加右减，上加下减”是解决图像平移的关键．根据二次函数图像的平移方法“左加右减，上加下减”直接进行求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，把先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为，所以平移后的抛物线解析式为． 故选：B． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过P作轴于N，轴于M，根据点P的坐标求出和，解直角三角形求出即可． 【详解】解：过P作轴于N，轴于M，则， ∵点， ∴，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出和的长是解此题的关键． 6. 将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出图象，然后读出点的坐标即可，熟练掌握旋转图形的作法是解题关键． 【详解】解：如图所示，点绕原点逆时针旋转得到点F，此时点， 故选：B． 7. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ） A. 2mm B. C. D. 4mm 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案． 【详解】连接CF与AD交于点O， ∵为正六边形， ∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm， ∴△COD为等边三角形， ∴CD=CO=DO=4mm， 即正六边形的边长为4mm， 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键． 8. 如图所示，、、都是的半径（点在劣弧上，不包括端点、），则下列关系一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”进行判断即可，能够熟练运用圆周角定理是解决本题的关键． 【详解】解：根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知， 为弧所对的圆心角， 弧所对的圆周角为， 故， 故选：B． 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由旋转可得：，，，进而得到：，，即可求解． 【详解】解：由旋转可得：，，， ，， ， 故选：B． 10. 已知抛物线（为常数）经过点 、、，当时，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．先求出，可得抛物线的对称轴为直线，再根据抛物线的对称性可得，进而得到，再结合，可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线（为常数）经过点、， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知，则的值为_____． 【答案】#### 【解析】 【分析】直接利用已知将原式变形得出，之间的关系进而得出答案． 【详解】解：， ， 则， ． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键． 12. 已知，如果它们对应高的比，那么和的面积比是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，由此即可计算． 【详解】解：∵，如果它们对应高的比， ∴和的相似比是 ∴和的面积比是， 故答案为：． 13. 一个扇形的半径为6，弧长为3π，则此扇形的圆心角为___度． 【答案】90 【解析】 【分析】根据弧长公式列式计算，得到答案． 【详解】设这个扇形的圆心角为n°， 则＝3π， 解得，n＝90， 故答案为：90． 【点睛】考核知识点: 弧长的计算．熟记公式是关键. 14. 如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的对边与斜边之比即可． 【详解】解：如图所示，作AD⊥BC，垂足为D， AD=3，BD=4， ∴AB=5， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，根据题意得出sin∠ABC是解决问题的关键． 15. 已知m，n是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由进行求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，灵活运用所学知识是解题的关键． 16. 正的边长为，的半径为，是上动点，点在上且，则的最大值为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到点，使，连接，过点作于点，证明，得，找出最大值即可得解． 【详解】解：如图：延长到点，使，连接，过点作于点， 又∵正的边长为，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理易得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，且点在的延长线时，的值最大，此时值最大， ∵最大此时； ∴的最大值为 故答案为 【点睛】本题考查圆外一点到圆上点的最大距离的性质，勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定及性质定理，解题的关键是掌握圆外点与圆的距离计算方法． 三、解答题： 17. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再两边加上一次项系数的一半的平方进行配方，据此解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 18. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上．若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先根据直角三角形两锐角互余可得，再根据旋转的性质可得、，然后运用等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：，， ． 由旋转的性质可得，，， ， ． 19. 已知关于x的方程， （1）求证：方程恒有两不等实根； （2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且，求a的值． 【答案】（1） 证明：∵ ∴该方程恒有二不等实根； （2）-1 【解析】 【分析】（1）先计算出，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到方程恒有二不等实根； （2）利用方程根与系数的关系得到，，再把变形为，整体代入得到关于a的方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，， ∵， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，解题关键是熟记一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系式． 20. 如图，在中，以为直径的与相切于点，与相交于点，是上一点，且，连接，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】先根据切线的性质得为直角三角形，再根据勾股定理求出，进而求出，然后连接，结合“直径所对的圆周角是直角”证明，可得，即可求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵为的直径，与相切于点， ∴． ∴为直角三角形． 设，则， ∵， ∴在中，由勾股定理，得， 解得． ∴，． 如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法． 21. 如图，在中，点I是的内心． （1）求作过点I且平行于的直线，与分别相交于点D，E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 解：如图，直线即为所作； （2） 【解析】 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的平行线的作法作图即可； （2）过点I作于点N，于点M，于点M，于点P，过点A作于点F，交于点H，过点D作于点G，连接．易证，即可得出．由三角形内心的性质可知，结合三角形面积公式可得出，，即得出，结合题意可求出，．又易证，，即可证，得出，从而可求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点I作于点N，于点M，于点M，于点P，过点A作于点F，交于点H，过点D作于点G，连接． ∵， ∴， ∴, ∴． ∵点I是的内心， ∴． ∵，， ∴． ∵，即， ∴，． 由所作辅助线可知四边形为矩形， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查作图—作平行线，三角形相似的判定和性质，三角形内心的性质，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质等知识．掌握基本作图方法和正确作出辅助线是解题关键． 22. 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值． 如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数． 为简单起见，设，则． ∵，∴…… 任务： （1）请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数． （2）如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点： ①设是已知线段，过点B作且使； ②连接，在上截取； ③在上截取； 则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？ （3）已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　． 【答案】（1）黄金分割数为 （2）能，道理见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设，则．根据黄金分割的定义，构建方程求出x即可． （2）设，根据勾股定理求出，再证明即可． （3）利用黄金分割的定义求出，再根据求解即可． 【小问1详解】 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即黄金分割数为． 【小问2详解】 能，道理如下： 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C是线段的黄金分割点． 【小问3详解】 如图，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 23. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动， 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 1.91 2.0 n 0.0669 【问题解决】 （1）上述表格中，________，________； （2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．” ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是________（填序号） （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自芒果、荔枝中的哪种树?并给出你的理由． 【答案】（1）3.75，2.0 （2）② （3） 这片树叶更可能来自荔枝，理由如下： 这片树叶长，宽 ，长宽比大约为2.0， 根据平均数这片树叶可能来自荔枝树． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差的定义，方差越小，形状差别越小，根据树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，即可判断荔枝树叶的长宽比； （3）计算该树叶的长宽比即可判断来自哪颗树． 【小问1详解】 芒果树叶的长宽比中数据从小到大排序处在第5、6位的两个数的平均数为，因此中位数m=3.75； 荔枝树叶的长宽比中数据出现次数最多的是2.0，因此众数n=2.0； 故答案为：3.75，2.0； 【小问2详解】 合理的是②，理由如下：从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的长宽比的方差较小，所以芒果叶形状差别更小；从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，荔枝树叶的长宽比为2，所以荔枝树叶的长约为宽的两倍； 故答案为：②； 【小问3详解】 略． 【点睛】本题考查了统计图中中位数、众数、平均数、方差的意义，看懂统计图表，正确的计算是解决问题的关键． 24. 如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点 求证：； 若，求的长； 如图2，连接，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）由矩形的形及已知证得△EAF≌△DAB，则有∠E=∠ADB，进而证得∠EGB=90º即可证得结论； （2）设AE=x，利用矩形性质知AF∥BC，则有，进而得到x的方程，解之即可； （3）在EF上截取EH=DG，进而证明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，则证得△HAG为等腰直角三角形，即可得证结论． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC，AD∥BC， 在△EAF和△DAB， ， ∴△EAF≌△DAB(SAS)， ∴∠E=∠BDA， ∵∠BDA+∠ABD=90º， ∴∠E+∠ABD=90º， ∴∠EGB=90º， ∴BG⊥EC； （2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x， ∵AF∥BC，∠E=∠E， ∴△EAF∽△EBC， ∴，又AF=AB=1， ∴即， 解得：，（舍去） 即AE=； （3）在EG上截取EH=DG，连接AH， 在△EAH和△DAG， ， ∴△EAH≌△DAG(SAS)， ∴∠EAH=∠DAG，AH=AG， ∵∠EAH+∠DAH=90º， ∴∠DAG+∠DAH=90º， ∴∠HAG=90º， ∴△GAH是等腰直角三角形， ∴即， ∴GH=AG， ∵GH=EG-EH=EG-DG， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为E．点D在二次函数的图象上，轴，． （1）求这条抛物线的函数解析式及顶点E的坐标； （2）在x轴上有一点F，若以点F、B、C为顶点的三角形与相似，求点F坐标； （3）点Q是二次函数图象上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若，求点Q的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，根据轴，求出点坐标，代入函数解析式求出值即可； （2）先求出点、的坐标，再分别求出的三边长，设点，再分别讨论当、、分别为的最长边时，利用相似三角形的性质，分别列出关于的方程，解方程即可； （3）设点，求出函数对称轴，结合已知以及顶点的坐标得，，根据列方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：， 当时，，即点的坐标为， 轴，， 点的坐标为，代入抛物线得：， ， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）得，令，即， 解得：，， ，， ，，， 设点， ①当为的最长边时，得， ， 解得：， 点； ②当为的最长边时，得， ， ， 点； ③当为的最长边时，得， 解得：无解，所以这个点不存在， 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：点在函数图象上，则设点， 二次函数对称轴为， ，， ， ， 或， 解得：，或，， 当时不符合题意， 故或， 故点的坐标为或． 【点睛】本题时二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的线段问题，解题关键是灵活运用相关知识及分类讨论和方程思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年梦之队九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题． 1. 如图所示的垃圾分类标志，分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（　　） A. B. C. D. 3. 电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映．某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 4. 函数先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ） A. 2mm B. C. D. 4mm 8. 如图所示，、、都是的半径（点在劣弧上，不包括端点、），则下列关系一定成立的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（为常数）经过点 、、，当时，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知，则的值为_____． 12. 已知，如果它们对应高的比，那么和的面积比是_______． 13. 一个扇形的半径为6，弧长为3π，则此扇形的圆心角为___度． 14. 如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC的值为_____． 15. 已知m，n是方程的两个根，则的值为______． 16. 正的边长为，的半径为，是上动点，点在上且，则的最大值为_________________． 三、解答题： 17. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上．若，，求的度数． 19. 已知关于x的方程， （1）求证：方程恒有两不等实根； （2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且，求a的值． 20. 如图，在中，以为直径的与相切于点，与相交于点，是上一点，且，连接，若，，求的长． 21. 如图，在中，点I是的内心． （1）求作过点I且平行于的直线，与分别相交于点D，E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，，求的长． 22. 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值． 如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数． 为简单起见，设，则． ∵，∴…… 任务： （1）请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数． （2）如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点： ①设是已知线段，过点B作且使； ②连接，在上截取； ③在上截取； 则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？ （3）已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　． 23. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动， 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 1.91 2.0 n 0.0669 【问题解决】 （1）上述表格中，________，________； （2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．” ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是________（填序号） （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自芒果、荔枝中的哪种树?并给出你的理由． 24. 如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点 求证：； 若，求的长； 如图2，连接，求证：． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为E．点D在二次函数的图象上，轴，． （1）求这条抛物线的函数解析式及顶点E的坐标； （2）在x轴上有一点F，若以点F、B、C为顶点的三角形与相似，求点F坐标； （3）点Q是二次函数图象上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $