第二章 等式与不等式（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第一册）

第二章 等式与不等式（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对ABD举反例即可判断，对C利用作差法即可判断. 【详解】对A，当时，不等式不成立，所以A不正确； 对B，当时，满足，但，所以B不正确； 对C，因为，因为，且，可得，所以，所以C正确； 对D，举例，则，则，所以D不正确. 故选：C. 2．（22-23高一上·山东潍坊·期中）已知关于的方程的两根分别是，且满足，则实数的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用根与系数关系及，根据已知等量关系即可求值. 【详解】由题设， 又， 所以，可得. 故选：A 3．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】分式不等式的解法. 【详解】由，得，即， 即，解得，D正确. 故选：D 4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 故选：C 5．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围． 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以， 故选：A． 6．（23-24高一上·北京·期中）如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程有两个不同的正实根，则两根之和大于零，两根之积大于零及，列出不等式组，解出即可. 【详解】因为关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根， 则有， 故选：A 7．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 8．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数，若的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，且是方程的两个根，然后利用根与系数的关系求解即可. 【详解】因为的解集为， 所以，且是方程的两个根， 所以， 所以，所以， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·浙江·期中）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为0 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为4 【答案】ABC 【分析】由基本不等式可得AB正确，由二次函数的性质可得C正确，由乘“1”法可判断D错误. 【详解】A：因为，结合，则， 所以，当且仅当时取等号，此时，故A正确； B：，当且仅当时，即时取等号，故B正确； C：，由二次函数的性质可得，当时，此时，最大值为，故C正确； D：，当且仅当，即时取等号，故D错误； 故选：ABC. 10．（23-24高一上·浙江·期中）设表示不超过的最大整数，如，，则当时，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据新定义判断A选项；B、C举出反例；D选项，首先设，，然后对和分别讨论即得. 【详解】对于A，因为表示不超过的最大整数，所以，故A对； 对于B，取，则，得， ，故B不成立. 对于C，取，， ，得，故C不成立. 对于D，设，， 则，而； 当时，，此时， 当时，，此时， 综上：，故D对. 故选：AD 11．（23-24高一上·四川雅安·期中）若关于的不等式恰有4个整数解，则（    ） A．的值可以是 B．的值不可能是 C．的最大值是8 D．的最小值是7 【答案】AC 【分析】根据二次方程根的大小讨论，求出解集，然后利用解集中恰有4个整数解建立不等式即可求解. 【详解】令，解得或. 当时，不等式的解集为，则； 当时，不等式无解，所以不符合题意； 当时，不等式的解集为，则. 综上，的取值范围是. 对照选项知的值可以是，的最大值是8正确. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】方程的解为或， 因为，所以， 所以关于的不等式的解集为. 故答案为：. 13．（23-24高一·全国·课后作业）若关于，的方程组与的解集相等，则 . 【答案】/3.5 【分析】由题可知方程组，代入即求. 【详解】∵方程组与的解集相同， ∴方程组的解也是它们的解， 由得， ∴即， ∴. 故答案为： 14．（22-23高一上·上海静安·期中）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 .（结果用区间表示） 【答案】 【分析】设每件衬衫提价元，则每件衬衫的售价为元，表示出每天出售衬衫的净收入，由不等关系列出不等式，解出的范围，即可得件衬衫的售价的取值范围. 【详解】设每件衬衫提价元，则每件衬衫的售价为元， 则每天出售衬衫的净收入为：（元）， 由题可知，， 整理得，，解得， ， 每件衬衫的售价的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，考查了计算能力，属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高一上·辽宁·期中）求下列方程组及不等式组的解集. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入消元法求解即可； （2）分别解出两个不等式，然后取交集. 【详解】（1）， 从而解得或， 故解集为. （2）不等式 等价于，解得， 不等式等价于，解得， 所以不等式组 的解集为. 16．（15分）（23-24高一上·北京·期中）已知一元二次方程的两根为，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）由根与系数关系得，并用它们表示出各式求值即可. 【详解】（1）由题设，则； （2）； （3）. 17．（15分）（22-23高一上·安徽·期中）已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理，即可求解； （2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，解不等式. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以与是方程的两个实数根， 由根与系数的关系，得， 解得：，； （2）由（1）知不等式为， 即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为． 18．（17分）（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值； （2）将已知式分解因式为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为． （2）因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18． 19．（17分）（21-22高一上·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 【答案】(1)40 (2)102万平方米，30欧元/平方米 【分析】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米，根据条件建立不等关系，即可解决问题； （2）根据条件建立不等关系，整理得到，再利用基本不等式即可解决问题. 【详解】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 由题知，即，解得， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. （2）由题意得，整理得， 两边同除以得， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，故该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到102万平方米时，才可能使 年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和，此时的售价为欧元/平方米. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 等式与不等式（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·山东潍坊·期中）已知关于的方程的两根分别是，且满足，则实数的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京·期中）如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数，若的解集为，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·浙江·期中）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为0 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为4 10．（23-24高一上·浙江·期中）设表示不超过的最大整数，如，，则当时，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·四川雅安·期中）若关于的不等式恰有4个整数解，则（    ） A．的值可以是 B．的值不可能是 C．的最大值是8 D．的最小值是7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为 ． 13．（23-24高一·全国·课后作业）若关于，的方程组与的解集相等，则 . 14．（22-23高一上·上海静安·期中）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 .（结果用区间表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高一上·辽宁·期中）求下列方程组及不等式组的解集. (1)； (2). 16．（15分）（23-24高一上·北京·期中）已知一元二次方程的两根为，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 17．（15分）（22-23高一上·安徽·期中）已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 18．（17分）（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 19．（17分）（21-22高一上·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$