11.4实际问题与一元一次方程（七大题型提升练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（人教版五四制）

11.4《实际问题与一元一次方程》 重难点题型专项练习 考查题型一 行程问题 1．运动场的跑道一圈长，小明同学练习骑自行车，平均每分钟骑；小军同学练习跑步，起初平均每分跑． (1)两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？又经过多长时间再次相遇？ (2)若两人从同一处同时同向出发，小军同学跑30秒后，体能下降，平均速度下降到每分钟跑，经过多长时间首次相遇？ 【答案】(1)两人经过分钟首次相遇，又经过分钟再次相遇． (2)经过分钟首次相遇 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键； （1）设经过分钟，两人首次相遇，根据题意可得等量关系为：小明练习骑自行车的路程＋小军练习跑步的路程＝跑道一圈长，据此列出方程，则可求得第一次相遇的时间，同理，可求得再次相遇经过的时间． （2）设分钟后首次相遇，根据题意列出一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：设两人从同一处同时反向出发，经分钟时间首次相遇， ， 解这个方程，得． 答：两人经过分钟首次相遇． 因为第二次两人还是从同一处同时反向出发， 所以又经过分钟再次相遇． （2）解：设分钟后首次相遇，依题意， 秒分钟 解得： 答： 经过分钟首次相遇． 2．某中学学生步行到郊外旅行．七（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，速度为6千米/时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/时． (1)后队追上前队需要多长时间？ (2)后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是多少千米？ 【答案】(1)2小时 (2)20千米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，以及求代数式的值． （1）设后队追上前队需要小时，根据题意列出方程，解出即可得出时间； （2）由（1）得出时间，再由路程等于速度乘以时间即可得出联络员走的路程． 【详解】（1）解：设后队追上前队需要小时， 由题意得∶， 解得∶． 故后队追上前队需要2小时； （2）由（1）知后队追上前队的时间为2个小时， ∴联络员骑车的路程：． 故后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是20千米． 3． 2019年12月29日莫旗机场通航运营，开通了“莫旗-海拉尔”通用航空短途运输往返航线，莫旗机场的通航标志着呼伦贝尔地区实现了“十三五”规划“”的（四个支线机场和六个通用机场）机场网络布局，极大程度解决了莫旗人们出行“最后一公里”的问题，也将成为呼伦贝尔市航空经济发展新的增长点．已知在风速为的条件下，一架飞机顺风从莫旗机场飞到海拉尔东山机场需要．它逆风飞行同样的航线要用1.8小时． 求： (1)无风时这架飞机在这一航线的平均航速． (2)两机场之间的航程． 【答案】(1)无风时这架飞机在这一航线的平均航速为 (2)两机场之间的航程为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）设无风时这架飞机在这一航线的平均航速为，利用航程航速时间，结合两机场之间的航程不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用两机场之间的航程（无风时这架飞机在这一航线的平均航速风速）顺风航行的时间，即可求出结论． 【详解】（1）解：设无风时这架飞机在这一航线的平均航速为， 根据题意得：， 解得：． 答：无风时这架飞机在这一航线的平均航速为； （2）解：根据题意得： ． 答：两机场之间的航程为． 4． A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米． (1)若两人同时出发相向而行，两人相遇时离B地有多远？ (2)若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？ 【答案】(1)两人相遇时离B地有36千米； (2)小时后乙超过甲10千米． 【分析】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于根据题意找出等量关系． （1）设两人同时出发相向而行，需经过x小时两人相遇，即x小时他们共同走完64千米，由此可以列出方程解决问题； （2）设y小时后乙追上甲，那么y小时甲走了千米，乙走了千米，然后利用已知条件即可列出方程解决问题． 【详解】（1）设两人同时出发相向而行，需经过x小时两人相遇， 根据题意得：， 解方程得：， ∴千米， 答：两人相遇时离B地有36千米； （2）设甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则y小时后乙超过甲10千米， 根据题意得：， 解方程得：， 答：小时后乙超过甲10千米． 考查题型二 工程问题 1．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要6天，由乙工程队单独铺设需要12天，如果由这两个工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？ 【答案】要4天可以铺设好这条管线 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列出方程解决工程问题，设这两个工程队从两端同时施工天可以铺好这条管线，，解答即可． 【详解】解：设这两个工程队从两端同时施工天可以铺好这条管线， 根据题意，得， 解得：． 答：要4天可以铺设好这条管线． 2．甲每天生产某种零件80个，甲生产3天后，乙也加入生产同一种零件，再经过5天，两人共生产这种零件940个．问乙每天生产这种零件多少个？ 【答案】乙每天加工这种零件60个． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用．直接利用甲加工的零件乙加工的零件，进而得出等式求出答案． 【详解】解：设乙每天加工这种零件个，根据题意可得： ， 解得：， 答：乙每天加工这种零件60个． 3．某地为了打造一条丽的风光带，将一段长为360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用20天，已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治16米，求甲、乙两个工程队分别整治了多少天河道． 【答案】甲工程队整治了10天河道，乙工程队整治了10天河道 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲工程队整治了x天河道，则乙工程队整治了天，根据“甲工程队的工作量+乙工程队的工作量=360米”列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设甲工程队整治了x天河道，则乙工程队整治了天． 由题意得． 解得， ， 答：甲工程队整治了10天河道，乙工程队整治了10天河道． 4．近期流感高发，接种疫苗是阻断流感的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产．计划全体工人每天工作8小时，每人每小时生产疫苗400剂．受其它因素影响，实际参与生产的工人比原计划少10名，为了应对市场需要，实际参与生产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到每天工作10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样恰好能完成每天预定产量． (1)求该制药厂实际参加生产的工人有多少人？ (2)生产5天后，接到通知，再生产25天，加上这5天的生产量共需完成800万剂的生产任务．为保证按时完成任务，该厂决定招聘熟练工人立即到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时，每人每小时完成的工作量不变，问该车间还需要招聘多少熟练工人？ 【答案】(1)该制药厂实际参加生产的工人有人； (2)该车间还需要招聘名熟练工人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题关键． （1）设该制药厂实际参加生产的工人有人，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设该车间还需要招聘名熟练工人，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设该制药厂实际参加生产的工人有人， 由题意得：， 解得：， 答：该制药厂实际参加生产的工人有人； （2）解：设该车间还需要招聘名熟练工人， 由题意得：， 解得：， 答：该车间还需要招聘名熟练工人 考查题型三 比赛积分问题 1．用一元一次方程解决实际问题，习近平总书记说“绿水青山就是金山银山”，为了增强中学生环保意识，某学校组织全体中学生进行环保知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣______分． (2)参赛者得76分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得83分，你认为可能吗？请通过计算说明． 【答案】(1)， (2)参赛者答对了16道题； (3)参赛者说他得83分，是不可能的 【分析】本题考查了一元一次方程的实际运用，解答时抓住“答对题所得分答错题所扣分总得分”是关键． （1）先由选手算出答对一题所得分数，再由选手B算出答错一题扣分即可； （2）设答对了道题，答错了道题，根据题意构造方程，解方程即可； （3）设答对了道题，答错了道题，根据“答对的得分答错的得分分”列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 答对一题的得分是：（分）， 答错一题的得分是：（分）， 故答案为：，； （2）解：设参赛者答对了道题，答错了道题，由题意得： ， 解得， ∴参赛者答对了16道题； （3）解：不可能，理由如下： 假设参赛者得83分， 设答对了道题，答错了道题，由题意得： ， ， ∵为整数，而不是整数， ∴参赛者说他的得分为83分，是不可能的． 2．某校七年级组织篮球联赛，经过14轮比赛后，前四强积分榜如下表： 班级 比赛场次 胜场 负场 总积分 七（6）班 14 14 0 42 七（2）班 14 13 1 40 七（4）班 14 12 2 38 七（8）班 14 11 3 36 (1)从表中信息可以看出，胜一场得____________分，负一场得____________分； (2)若七（5）班的总积分为28分，求七（5）班的胜场数； (3)某班的胜场积分能等于它的负场积分吗，为什么？ 【答案】(1)3，1 (2)7 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键． （1）根据图表求出胜一场和负一场分别所得的分数， （2）假设七（5）班胜x场，七（5）班的总积分为28分，列出关于x的方程并求解，再根据x的值进行判断即可． （3）由（1）中可知胜一场和负一场分别所得的分数，再假设某班胜x场，某班的胜场积分等于它的负场积分，列出关于x的方程并求解，再根据x的值进行判断即可． 【详解】（1）解：解：根据七（6）班的比赛积分可知胜一场得分为：分． 再根据七（2）班的比赛积分可知负一场得分为：分 故答案为3，1． （2）解：设某班胜x场，则负场． 解得， 答：七（5）班的胜场数是7场． （3）解：设某班胜x场，则负场， 解得， ∵场数不能为分数， ∴某班的胜场积分不能等于它的负场积分． 3．某班组织庆祝元旦知识竞赛，共设有道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 100 (1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分； (2)参赛者得分为分，求他答错了几道题？ (3)参赛者说他的得分为分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)参赛者答错了3道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的实际运用，解答时抓住“答对题所得分答错题所扣分总得分”是关键． （1）先由选手算出答对一题所得分数，再由选手算出答错一题扣分即可； （2）设答对了道题，答错了道题，根据题意构造方程，解方程即可； （3）设答对了道题，答错了道题，根据“答对的得分答错的得分分”列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 答对一题的得分是：（分）， 答错一题的得分是：（分）， 故答案为：，； （2）设参赛者答对了道题，答错了道题，由题意得： 参赛者答错了3道题； （3）不可能，理由如下： 假设参赛者得分，设答对了道题，答错了道题，由题意得： ， ， ， 为整数， 参赛者说他的得分为分，是不可能的． 4．为了促进全民健身运动的开展，某市组织了足球比赛．下表记录了比赛过程中部分代表队的积分情况． 代表队 总场/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分 A 6 5 1 0 16 B 6 6 0 0 18 C 6 3 2 1 11 D 6 3 1 2 10 (1)本次比赛中胜一场得 分, 平一场得 分, 负一场得 分； (2)参加本次比赛的F队，完成10场比赛后，只输了1场，积分是23分，请求出F队胜出的场次． 【答案】(1)；； (2)F代表队胜出的场数为7场 【分析】本题考查比赛积分问题，清楚积分的组成部分及胜负积分的规则是解本题的关键． （1）根据代表队的积分情况解出胜一场、平一场、负一场的积分情况； （2）根据题意，列一元一次方程求解即可. 【详解】（1）解：根据B代表队的积分情况可得胜一场的积分情况：分； 根据A代表队的积分情况可得平一场的积分情况：分； 根据C代表队的积分情况可得负一场的积分情况：分； 故答案为：；；； （2）设F代表队胜出的场数为x，则平场为场， 列方程得：， 解方程得：， 答：F代表队胜出的场数为7场． 考查题型四 配套问题 1．广东鸿图科技股份有限公司某车间名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉个或螺母个，一个螺钉要配三个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？ 【答案】分配名工人生产螺钉，名工人生产螺母 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 设分配名工人生产螺钉，根据“一个螺钉要配三个螺母”，生产螺母的数量应是螺钉的倍，所以本题中的等量关系是：每人每天平均生产螺钉的个数×生产螺钉的人数×=每人每天平均生产螺母的个数×生产螺母的人数．据此等量关系式可列方程解答． 【详解】解：设分配名工人生产螺钉，则：分配名工人生产螺母， 由题意，得：， 解得：； ∴人； 故应该分配名工人生产螺钉，名工人生产螺母． 2．某车间有技工85人，生产甲、乙两种零件，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？ 【答案】应分配人生产甲种零件，人生产乙种零件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确用代数式表示生产的甲种零件的个数和乙两种零件的个数及所配成的套数是解题的关键．设分配 x 人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，可生产甲种零件个，乙种零件个，由每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套即可求解． 【详解】解：设分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件， 根据题意得：， 解得：， （人）， 应分配人生产甲种零件，人生产乙种零件，能使每天生产的这两种零件刚好配套． 3．第19届亚运会在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”通过不同色彩，不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．某工厂生产该吉祥物的盲盒，分为A，B两种包装，该工厂共有1000名工人．已知每个工人平均每天可以生产15个A种包装的盲盒或20个B种包装的盲盒，且每人每天只能生产一种包装的盲盒．为了促销，该工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由1个A种包装的盲盒和2个B种包装的盲盒组成，为了使每天生产的盲盒正好配套，该工厂应该安排生产A种包装盲盒和B种包装盲盒的工人各多少名？ 【答案】应该安排400名工人生产盲盒A，600名工人生产盲盒B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设安排x人生产盲盒A，则生产盲盒B的有人列方程解答即可，正确理解配套的意义是列方程的关键． 【详解】设安排x人生产盲盒A，则生产盲盒B的有人 依题意得： 解得： 所以 答：应该安排400名工人生产盲盒A，600名工人生产盲盒B． 4．某校七（1）班共有学生52人，其中女生上比男生多4人，该班在社会实践课上准备用硬纸板制作茶盒子的盒身和盒底，规定：每个学生在一定时间范围内剪盒身40个或剪盒底50个． (1)该班男生、女生各有多少人． (2)该班原计划男生负责剪盒底，女生负责剪盒身，若一个盒身配2个盒底，则这节课做出的盒身和盒底配套吗？如果不配套，那么女生需要支援男生几人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套？ 【答案】(1)男生24人、女生28人 (2)不配套；女生需要支援男生人 【分析】本题考查一元一次方程的应用： （1）设男生有x人，则女生有 人，根据共有学生52人，可以列出相应的方程，从而可以得到该班分别有男生、女生各多少人； （2）设a人制作盒身，则人制作盒底，根据一个盒身配2个盒底，可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：设男生有x人，则女生有人，根据题意得： ， 解得：， ∴， 答：该班分别有男生24人、女生28人； （2）解：男生负责剪盒底有， ∴这节课做出的盒身和盒底不配套． 设a人制作盒身，则人制作盒底，根据题意得： ， 解得：， ∴女生需要支援男生人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套， 答：女生需要支援男生人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套． 考查题型五 销售利润问题 1．某特产专卖店购进了、两个品种的核桃，其中品种的进价比品种的进价每千克贵5元，购进5千克品种核桃与购进6千克品种核桃的进价相同． (1)求、两个品种核桃的进价分别是多少元/千克? (2)该特产专卖店购进了、两个品种的核桃共100千克，花了2725元．出售时，品种核桃按标价出售每千克的利润率为，品种核桃按标价出售每千克可获利15元．若按标价出售、两个品种的核桃，则全部售完特产专卖店共可获利多少元? 【答案】(1)品种核桃的进价30元/千克，则品种核桃的进价是25元/千克 (2)元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用； （1）设品种核桃的进价元/千克，则品种核桃的进价是元/千克．根据购进5千克品种核桃与购进6千克品种核桃的进价相同列出方程求解即可； （2）设购进品种核桃千克，则购进品种核桃千克．根据一共花费花了2725元列出方程求出A、B两种核桃的重量，再根据利润每千克利润重量进行求解即可。 【详解】（1）解：设品种核桃的进价元/千克，则品种核桃的进价是元/千克． 根据题意，得， 解得， ∴（元）． 答：品种核桃的进价30元/千克，则品种核桃的进价是25元/千克． （2）解：设购进品种核桃千克，则购进品种核桃千克． 根据题意，得， 解得， ∴（千克）． ∴全部售完共可获利（元）． 2．杭州亚运会期间，某电商厂家用m元购进一批吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”，原计划按进价提高标价出售，一次性售尽，所获利润为期望利润．实际售卖时，按标价卖出这批吉祥物的后，为了加快资金周转，厂家决定以七五折（即按标价的）的优惠价，把剩余的吉祥物全部卖出． (1)该电商厂家销售完这批吉祥物是亏损还是盈利？ 请说明理由； (2)实际售卖时规定，不论按什么价格出售，卖完这批吉祥物必须一次性交税费300元（税费与购进吉祥物用的钱一起作为成本），若实际所得利润比期望利润少了 ． 问该电商厂家购进这批吉祥物用了多少钱？ 【答案】(1)该电商厂家销售完这批吉祥物是盈利了，理由见解析； (2)厂家购进这批吉祥物用了6000元钱． 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设这种吉祥物的进价为a元/件，则标价为，由打七五折销售可求出此时的售价，将其与a比较后即可得出结论； （2）设厂家购进这批吉祥物用了x元，根据利润销售收入成本，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解∶这部分吉祥物是盈利了，理由如下： 设这种吉祥物的进价为a元/件，则标价为，总数量为， ∴， ∴该电商厂家销售完这批吉祥物是盈利了； （2）解：设厂家购进这批吉祥物用了x元，依题意得， ， 解得∶． 答∶厂家购进这批吉祥物用了6000元钱． 3．某超市用500元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品购进14件，乙种商品购进18件，已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多10元． (1)求甲、乙两种商品每件进价； (2)若甲种商品售价为15元/件，乙种商品售价为35元/件．求该超市甲、乙两种商品全部销售完后的利润（注：利润售价进价）． 【答案】(1)甲、乙两种商品每件进价分别为10元，20元 (2)该超市甲、乙两种商品全部销售完后的利润为340元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设甲种商品每件的进价为x元，则乙种商品每件的进价为元，根据两种商品共花费500元列出方程求解即可； （2）根据利润（售价进价） 销售量分别求出两种商品的利润，然后求和即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价为x元，则乙种商品每件的进价为元， 由题意得，， 解得， ∴， ∴甲、乙两种商品每件进价分别为10元，20元； （2）解： ， ∴该超市甲、乙两种商品全部销售完后的利润为340元． 4．某校开展校园艺术节系列活动，派张老师到文体店购买奖品． (1)若张老师计划购买笔记本，文体店笔记本标价每本10元，结账时老板建议：“你再多买一本，就可以全部打九折，花费比现在还省6元，”张老师原计划购买多少本笔记本? (2)张老师购买了钢笔和签字笔共50支，文体店钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，老板给予总价打8折出售，张老师购买钢笔和签字笔共花费了272元．张老师购买了钢笔和签字笔各多少支? 【答案】(1)张老师原计划购买15个笔记本； (2)张老师购买的钢笔有20支，签字笔有30支． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设张老师原计划购买个笔记本，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）设张老师购买的钢笔有支，则购买的签字笔有支，根据“这次该商店老板全部给予八折优惠，合计272元”建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设张老师原计划购买个笔记本， 由题意得：， 解得，符合题意， 答：张老师原计划购买15个笔记本； （2）解：设张老师购买的钢笔有支，则购买的签字笔有支， 由题意得：， 解得，符合题意， 则， 答：张老师购买的钢笔有20支，签字笔有30支． 考查题型六 水费电费问题 1．为了鼓励市民节约用水，M市水费实行分段计费制，每户每月用水量在规定用量及以下的部分收费标准相同，超出规定用量的部分收费标准相同．若规定月用水量为30吨，每月用水量不超过30吨按2元/吨收费，超出30吨的部分按a元/吨收费．下表是小龙家某4个月用水量和缴纳水费情况，根据表格提供的数据，回答： 月份 一 二 三 四 用水量（吨） 20 25 36 42 水费（元） 40 50 75 90 (1) ． (2)若小龙家十二月份用水40吨，则他家当月应缴水费多少元？ (3)若小龙家某月应缴水费105元，则当月他家的用水量是多少吨？ 【答案】(1)； (2)他家当月应缴水费元； (3)当月他家的用水量是吨． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程，进行求解． （1）根据三月份的水费，列方程求解即可； （2）根据水费执行标准，求解即可； （3）当月他家的用水量是吨，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据三月份的水费可得， 解得， 故答案为： （2）根据水费的执行标准可得，（元） 答：他家当月应缴水费元； （3）设当月他家的用水量是吨， 由题意可得，，则 解得 答：当月他家的用水量是吨． 2．为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过200度 超过200度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电180度，则小林家4月份应付的电费为：　　； (2)小林家6月份用电x（x）度，请你用x表示小林家6月份应付的电费：　　； (3)小林家11月份交付电费180元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 【答案】(1) (2) (3)小林家在11月份的用电量为300度． 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用． （1）由可得此时单价为每度元，利用总价等于单价乘以数量即可得到答案； （2）由小林家月份用电度，可得此时分两段计费，其中度每度元，超过部分度，每度元，从而可得答案； （3）设小林家在月份的用电量为度，由，可得，再列方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴小林家4月份应付的电费(元)． 故答案为：； （2）解：∵小林家6月份用电度， ∴小林家6月份应付的电费：元， 故答案为：； （3）解：设小林家在11月份的用电量为x度， ∵， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：小林家在11月份的用电量为300度． 3．铜仁南方电网为响应国家节能减排政策，对铜仁居民用户实行阶梯电价收费，月用电量210度之内（包括210度），每度价格元，用电量210度至350度，每度比第一档次提价元，月用电量350度以上，每度比第一档提价元． 例：若某户月用电量400度，则需交电费．如果按此方案计算，小华家5月份的电费为元． 问题： (1)则小华家该月用电量属于第几档？并通过计算得出用电量是多少？ (2)若小红家这个月用电a度，交电费为b元，请你用含字母a，b表示小红家的用电费用． 【答案】(1)第二档；262度 (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键． (1)先分别计算出用电量为210度，350度时需要交纳的电费，然后比较，可得出小华家5月份的电量在哪一档上，从而列示计算即可． (2)根据(1)求得的结果，讨论a的值，得出不同的结论． 【详解】（1）根据题意，当用电量为210度时，需要交纳元， 当用电量为350度时，需要交纳元， ∵， ∴小华家5月份的用电量在第二档， 设小华家5月份的用电量为x度，根据题意，得， 解得：， 答：小华家5月份的用电量为262度． （2）解：由(1)得，当时，小华家的用电量在第一档，应该支付的费用为元； 当时，小华家的用电量在第二档，应该支付的费用为元； 当时，小华家的用电量在第三档，应该支付的费用为元． 4．为节约用水，某市规定四口之家每月标准用水量为15立方米，超过部分加价收费，假设不超过部分水费为元/立方米，超过部分水费为3元/立方米． (1)如果小明家6月份用水20立方米，则应缴水费多少元？ (2)如果小明家某月的用水为m 立方米，那么这个月应缴水费多少元？（用含m 的代数式表示） (3)如果小明家某月的应缴水费元，，那么这个月用水为多少立方米？ 【答案】(1)元． (2)元； (3)25立方米． 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际运用，根据实际情况分段讨论，掌握一元一次方程的分段讨论是解题的关键． （1）根据题干中的计费方法列式求解即可； （2）用水为m立方米，一部分是标准用水量与单价的乘积，另一部分是超出的水量与超出的单价的乘积，最后两部求和，即可求出答案； （3）根据（2）中的代数式，把用水量代入列出方程，即可求出答案． 【详解】（1）（元）． 答：这个月应缴水费元． （2）这个月应缴水费为元； （3）∵， ∴ ∴            解得 答：这个月用水25立方米． 考查题型七 方案选择问题 1．姥山岛地处巢湖市中庙镇西南方向，全国五大淡水湖之一的巢湖之中，是巢湖中最大岛屿．姥山岛四面皆水，如同一叶飘于水中，为八百里巢湖唯一“湖上绿洲”，是湖天第一胜境．某校七年级2班学生计划周末去巢湖姥山游玩，游船价格如下表： 船型 四座电瓶船 六座电瓶船 价格 100元/小时 120元/小时 已知所有学生均有座位且坐船游玩1小时，请解决下面问题： (1)若租用10条游船，所有船恰好坐满，需花费1060元．那么租用了几条四座电瓶船？ (2)若每只船均坐满，直接列举出所有可行的租船方案，并计算出每种方案的价格，指出最省钱的方案． 【答案】(1)7 (2)方案和价格见解析，最省钱的方案是租用1条四座电瓶船，7条六座电瓶船． 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）根据题意设租用了条四座电瓶船，列出方程并正确计算即可； （2）先计算出共有学生数量，再分别计算出方案一到方案四所花费用，进行比较即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设租用了条四座电瓶船， 根据题意，得：， 解得：， 答：租用了7条四座电瓶船； （2）解：由（1）可知，共有学生（名）， 方案一：租用7条四座电瓶船，3条六座电瓶船，总费用为1060（元）， 方案二：租用10条四座电瓶船，1条六座电瓶船，总费用为（元）， 方案三：租用4条四座电瓶船，5条六座电瓶船，总费用为（元）， 方案四：租用1条四座电瓶船，7条六座电瓶船，总费用为（元）， ∵， 最省钱的方案是租用1条四座电瓶船，7条六座电瓶船． 2．综合与实践：2023年10月5日，杭州第19届亚运会女子篮球决赛，中国队战胜日本队，夺得金牌，这则消息提升了青少年参加篮球运动的热情．某体育用品商店抓住时机，对甲、乙两品牌篮球开展促销活动，已知甲、乙两品牌篮球的标价分别是160元／个，60元／个，现有如下两种优惠方案： 方案一：不购买会员卡时，甲品牌篮球享受8.5折优惠，乙品牌篮球5个以下按标价购买，买5个（含5个）以上时所有球享受8.5折． 方案二：办理一张会员卡100元，会员卡只限本人使用，全部商品享受7.5折优惠． (1)若购买甲品牌篮球5个，乙品牌篮球3个，哪一种方案更优惠？优惠多少元？ (2)若购买甲品牌篮球若干个，乙品牌篮球6个，且方案一与方案二所付钱数一样多，求购买甲品牌篮球的个数． 【答案】(1)方案二更优惠，优惠25元 (2)购买甲品牌的蓝球4个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列出正确的方程是本题的关键． （1）分别求出方案一和方案二的费用，即可求解； （2）设购买甲品牌的蓝球个，由方案一与方案二所付钱数一样多，列出方程可求解． 【详解】（1）解：方案一的费用：(元)； 方案二的费用：(元)． 因为(元)． 所以方案二更优惠，优惠25元． （2）设购买甲品牌的蓝球个， 由题意，得， 解得． 答：购买甲品牌的蓝球4个． 3．某校七年级同学准备去电影院观看电影，由各班班长负责买票，每班人数都多于人，电影票价格每张元，人以上的团体票有两种优惠方案可选择．方案一：全体人员打7折；方案二：有6人可以免票，剩下的人员打8折． (1)若一班有人，他们应该选择哪种方案？ (2)二班无论选择哪种方案要付的钱同样多，二班有多少人？ 【答案】(1)方案二 (2)二班有人． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用， （1）分别计算出方案一，方案二的花费，进行比较即可得； （2）设二班有人，根据题意得，进行计算即可得； 理解题意，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得， 方案一的花费为：（元）， 方案二的花费为：（元）， ∵， ∴若一班有人，他们应该选择方案二； （2）解：设二班有人， ， 解得 答：二班有人． 4．用纸在甲复印店复印文件，复印页数不超过20页时，每页收费0.5元，复印页数超过20页时，超过部分每页收费降为0.2元．在乙复印店复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费都是0.4元． (1)在甲复印店用纸复印30页时，需交费少元？ (2)当用纸复印多少页时，在甲复印店的收费比乙复印店的收费多1元？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）根据题意列出算式即可计算本题答案； （2）设用纸复印页，分类讨论并列出算式即可算出本题答案． 【详解】（1）解：∵用纸在甲复印店复印文件，复印页数不超过20页时，每页收费0.5元，复印页数超过20页时，超过部分每页收费降为0.2元， ∴根据题意得：（元） 答：在甲复印店用纸复印30页时，需交费12元； （2）解：设用纸复印页，在甲复印店的收费比乙复印店的收费多1元， 分情况讨论： ①当时， 在甲复印店花费：， 在乙复印店花费：， 则可列方程为：，解得：， ②当时， 在甲复印店花费：， 在乙复印店花费：， 则可列方程为：，解得：， 综上所述，用纸复印或页时，在甲复印店的收费比乙复印店的收费多1元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.4《实际问题与一元一次方程》 重难点题型专项练习 考查题型一 行程问题 1．运动场的跑道一圈长，小明同学练习骑自行车，平均每分钟骑；小军同学练习跑步，起初平均每分跑． (1)两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？又经过多长时间再次相遇？ (2)若两人从同一处同时同向出发，小军同学跑30秒后，体能下降，平均速度下降到每分钟跑，经过多长时间首次相遇？ 2．某中学学生步行到郊外旅行．七（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，速度为6千米/时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/时． (1)后队追上前队需要多长时间？ (2)后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是多少千米？ 3． 2019年12月29日莫旗机场通航运营，开通了“莫旗-海拉尔”通用航空短途运输往返航线，莫旗机场的通航标志着呼伦贝尔地区实现了“十三五”规划“”的（四个支线机场和六个通用机场）机场网络布局，极大程度解决了莫旗人们出行“最后一公里”的问题，也将成为呼伦贝尔市航空经济发展新的增长点．已知在风速为的条件下，一架飞机顺风从莫旗机场飞到海拉尔东山机场需要．它逆风飞行同样的航线要用1.8小时． 求： (1)无风时这架飞机在这一航线的平均航速． (2)两机场之间的航程． 4． A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米． (1)若两人同时出发相向而行，两人相遇时离B地有多远？ (2)若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？ 考查题型二 工程问题 1．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要6天，由乙工程队单独铺设需要12天，如果由这两个工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？ 2．甲每天生产某种零件80个，甲生产3天后，乙也加入生产同一种零件，再经过5天，两人共生产这种零件940个．问乙每天生产这种零件多少个？ 3．某地为了打造一条丽的风光带，将一段长为360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用20天，已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治16米，求甲、乙两个工程队分别整治了多少天河道． 4．近期流感高发，接种疫苗是阻断流感的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产．计划全体工人每天工作8小时，每人每小时生产疫苗400剂．受其它因素影响，实际参与生产的工人比原计划少10名，为了应对市场需要，实际参与生产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到每天工作10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样恰好能完成每天预定产量． (1)求该制药厂实际参加生产的工人有多少人？ (2)生产5天后，接到通知，再生产25天，加上这5天的生产量共需完成800万剂的生产任务．为保证按时完成任务，该厂决定招聘熟练工人立即到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时，每人每小时完成的工作量不变，问该车间还需要招聘多少熟练工人？ 考查题型三 比赛积分问题 1．用一元一次方程解决实际问题，习近平总书记说“绿水青山就是金山银山”，为了增强中学生环保意识，某学校组织全体中学生进行环保知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣______分． (2)参赛者得76分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得83分，你认为可能吗？请通过计算说明． 2．某校七年级组织篮球联赛，经过14轮比赛后，前四强积分榜如下表： 班级 比赛场次 胜场 负场 总积分 七（6）班 14 14 0 42 七（2）班 14 13 1 40 七（4）班 14 12 2 38 七（8）班 14 11 3 36 (1)从表中信息可以看出，胜一场得____________分，负一场得____________分； (2)若七（5）班的总积分为28分，求七（5）班的胜场数； (3)某班的胜场积分能等于它的负场积分吗，为什么？ 3．某班组织庆祝元旦知识竞赛，共设有道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 100 (1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分； (2)参赛者得分为分，求他答错了几道题？ (3)参赛者说他的得分为分，你认为可能吗？请说明理由． 4．为了促进全民健身运动的开展，某市组织了足球比赛．下表记录了比赛过程中部分代表队的积分情况． 代表队 总场/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分 A 6 5 1 0 16 B 6 6 0 0 18 C 6 3 2 1 11 D 6 3 1 2 10 (1)本次比赛中胜一场得 分, 平一场得 分, 负一场得 分； (2)参加本次比赛的F队，完成10场比赛后，只输了1场，积分是23分，请求出F队胜出的场次． 考查题型四 配套问题 1．广东鸿图科技股份有限公司某车间名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉个或螺母个，一个螺钉要配三个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？ 2．某车间有技工85人，生产甲、乙两种零件，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？ 3．第19届亚运会在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”通过不同色彩，不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．某工厂生产该吉祥物的盲盒，分为A，B两种包装，该工厂共有1000名工人．已知每个工人平均每天可以生产15个A种包装的盲盒或20个B种包装的盲盒，且每人每天只能生产一种包装的盲盒．为了促销，该工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由1个A种包装的盲盒和2个B种包装的盲盒组成，为了使每天生产的盲盒正好配套，该工厂应该安排生产A种包装盲盒和B种包装盲盒的工人各多少名？ 4．某校七（1）班共有学生52人，其中女生上比男生多4人，该班在社会实践课上准备用硬纸板制作茶盒子的盒身和盒底，规定：每个学生在一定时间范围内剪盒身40个或剪盒底50个． (1)该班男生、女生各有多少人． (2)该班原计划男生负责剪盒底，女生负责剪盒身，若一个盒身配2个盒底，则这节课做出的盒身和盒底配套吗？如果不配套，那么女生需要支援男生几人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套？ 考查题型五 销售利润问题 1．某特产专卖店购进了、两个品种的核桃，其中品种的进价比品种的进价每千克贵5元，购进5千克品种核桃与购进6千克品种核桃的进价相同． (1)求、两个品种核桃的进价分别是多少元/千克? (2)该特产专卖店购进了、两个品种的核桃共100千克，花了2725元．出售时，品种核桃按标价出售每千克的利润率为，品种核桃按标价出售每千克可获利15元．若按标价出售、两个品种的核桃，则全部售完特产专卖店共可获利多少元? 2．杭州亚运会期间，某电商厂家用m元购进一批吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”，原计划按进价提高标价出售，一次性售尽，所获利润为期望利润．实际售卖时，按标价卖出这批吉祥物的后，为了加快资金周转，厂家决定以七五折（即按标价的）的优惠价，把剩余的吉祥物全部卖出． (1)该电商厂家销售完这批吉祥物是亏损还是盈利？ 请说明理由； (2)实际售卖时规定，不论按什么价格出售，卖完这批吉祥物必须一次性交税费300元（税费与购进吉祥物用的钱一起作为成本），若实际所得利润比期望利润少了 ． 问该电商厂家购进这批吉祥物用了多少钱？ 3．某超市用500元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品购进14件，乙种商品购进18件，已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多10元． (1)求甲、乙两种商品每件进价； (2)若甲种商品售价为15元/件，乙种商品售价为35元/件．求该超市甲、乙两种商品全部销售完后的利润（注：利润售价进价）． 4．某校开展校园艺术节系列活动，派张老师到文体店购买奖品． (1)若张老师计划购买笔记本，文体店笔记本标价每本10元，结账时老板建议：“你再多买一本，就可以全部打九折，花费比现在还省6元，”张老师原计划购买多少本笔记本? (2)张老师购买了钢笔和签字笔共50支，文体店钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，老板给予总价打8折出售，张老师购买钢笔和签字笔共花费了272元．张老师购买了钢笔和签字笔各多少支? 考查题型六 水费电费问题 1．为了鼓励市民节约用水，M市水费实行分段计费制，每户每月用水量在规定用量及以下的部分收费标准相同，超出规定用量的部分收费标准相同．若规定月用水量为30吨，每月用水量不超过30吨按2元/吨收费，超出30吨的部分按a元/吨收费．下表是小龙家某4个月用水量和缴纳水费情况，根据表格提供的数据，回答： 月份 一 二 三 四 用水量（吨） 20 25 36 42 水费（元） 40 50 75 90 (1) ． (2)若小龙家十二月份用水40吨，则他家当月应缴水费多少元？ (3)若小龙家某月应缴水费105元，则当月他家的用水量是多少吨？ 2．为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过200度 超过200度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电180度，则小林家4月份应付的电费为：　　； (2)小林家6月份用电x（x）度，请你用x表示小林家6月份应付的电费：　　； (3)小林家11月份交付电费180元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 3．铜仁南方电网为响应国家节能减排政策，对铜仁居民用户实行阶梯电价收费，月用电量210度之内（包括210度），每度价格元，用电量210度至350度，每度比第一档次提价元，月用电量350度以上，每度比第一档提价元． 例：若某户月用电量400度，则需交电费．如果按此方案计算，小华家5月份的电费为元． 问题： (1)则小华家该月用电量属于第几档？并通过计算得出用电量是多少？ (2)若小红家这个月用电a度，交电费为b元，请你用含字母a，b表示小红家的用电费用． 4．为节约用水，某市规定四口之家每月标准用水量为15立方米，超过部分加价收费，假设不超过部分水费为元/立方米，超过部分水费为3元/立方米． (1)如果小明家6月份用水20立方米，则应缴水费多少元？ (2)如果小明家某月的用水为m 立方米，那么这个月应缴水费多少元？（用含m 的代数式表示） (3)如果小明家某月的应缴水费元，，那么这个月用水为多少立方米？ 考查题型七 方案选择问题 1．姥山岛地处巢湖市中庙镇西南方向，全国五大淡水湖之一的巢湖之中，是巢湖中最大岛屿．姥山岛四面皆水，如同一叶飘于水中，为八百里巢湖唯一“湖上绿洲”，是湖天第一胜境．某校七年级2班学生计划周末去巢湖姥山游玩，游船价格如下表： 船型 四座电瓶船 六座电瓶船 价格 100元/小时 120元/小时 已知所有学生均有座位且坐船游玩1小时，请解决下面问题： (1)若租用10条游船，所有船恰好坐满，需花费1060元．那么租用了几条四座电瓶船？ (2)若每只船均坐满，直接列举出所有可行的租船方案，并计算出每种方案的价格，指出最省钱的方案． 2．综合与实践：2023年10月5日，杭州第19届亚运会女子篮球决赛，中国队战胜日本队，夺得金牌，这则消息提升了青少年参加篮球运动的热情．某体育用品商店抓住时机，对甲、乙两品牌篮球开展促销活动，已知甲、乙两品牌篮球的标价分别是160元／个，60元／个，现有如下两种优惠方案： 方案一：不购买会员卡时，甲品牌篮球享受8.5折优惠，乙品牌篮球5个以下按标价购买，买5个（含5个）以上时所有球享受8.5折． 方案二：办理一张会员卡100元，会员卡只限本人使用，全部商品享受7.5折优惠． (1)若购买甲品牌篮球5个，乙品牌篮球3个，哪一种方案更优惠？优惠多少元？ (2)若购买甲品牌篮球若干个，乙品牌篮球6个，且方案一与方案二所付钱数一样多，求购买甲品牌篮球的个数． 3．某校七年级同学准备去电影院观看电影，由各班班长负责买票，每班人数都多于人，电影票价格每张元，人以上的团体票有两种优惠方案可选择．方案一：全体人员打7折；方案二：有6人可以免票，剩下的人员打8折． (1)若一班有人，他们应该选择哪种方案？ (2)二班无论选择哪种方案要付的钱同样多，二班有多少人？ 4．用纸在甲复印店复印文件，复印页数不超过20页时，每页收费0.5元，复印页数超过20页时，超过部分每页收费降为0.2元．在乙复印店复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费都是0.4元． (1)在甲复印店用纸复印30页时，需交费少元？ (2)当用纸复印多少页时，在甲复印店的收费比乙复印店的收费多1元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$