精品解析：2024年湖南省长沙市长郡教育集团春季九年级毕业会考数学模拟练习卷(一）

2024年春季九年级毕业会考模拟练习卷（一） 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2023 B. C. D. 2. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 4. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　） A. 2，4，7 B. 3，3，6 C. 5，8，2 D. 4，5，6 6. 为了调查某中学学生的身高情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（ ） A. 此次调查属于普查 B. 样本容量是300 C. 2000名学生是总体 D. 被抽取的每一名学生是个体 7. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 8. 小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 关于一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象不经过第三象限 B. y随着x的增大而减小 C. 图象与x轴交于 D. 图象与y轴交于 10. ，，，，五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：=______． 12. 不等式组的解集是_______． 13. 已知是中的一个数，则关于的方程有解的概率为_______． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，已知点B，C关于原点对称，则的面积为______． 15. 如图，在中，是直径，弦，垂足为，若，，则的半径为_______． 16. 若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为_________． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分） 17. 计算：． 18. 化简求值：，其中 19. 某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，小亮想测量某大厦楼顶上的一个广告牌的高度，从与大厦相距的处观测广告牌顶部的仰角，观测广告牌底部的仰角为，如图所示． （1）求大厦的高度；（结果精确到） （2）求广告牌的高度（结果取整数） （参考数据：，，，） 20. 打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（：政史类，：文学类，：科技类，：艺术类，：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生人数为________名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“科技类”所对应的圆心角度数是________度； （3）若该校有名学生，请你估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数； （4）甲同学从，，三类书籍中随机选择一种，乙同学从，，三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 21. 如图，点在线段上，，，，． （1）求证：； （2）已知，，求的面积． 22. 为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，年级组准备在学校对面的晨光文具店购买，两种文具作为奖品．已知文具的单价比文具的单价贵元，且用元购买文具的数量与用元购买文具的数量相同． （1）求，两种文具的单价； （2）若年级组需要购买，两种文具共件，且购买这两种文具的总费用不超过元，则年级组至少购买种文具多少件？ 23. 在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 24. 在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为他们的“密接点”．例如：与有且只有一个交点，则称这两个函数为“亲密函数”，点称为他们的“密接点”． （1）判断下列几组函数，是“亲密函数”的在（ ）内记“√”，不是“亲密函数”的在（ ）内记“”： ①与；（ ） ②与；（ ） ③与；（ ） （2）一次函数与反比例函数（其中为常数，是“亲密函数”，且他们的“密接点”到原点的距离等于3，求的值． （3）两条直线与都是二次函数的“亲密函数”，且“密接点”分别为．记直线与的交点的纵坐标为，直线与轴的交点的纵坐标为．试判断与的关系，并证明你的判断． 25. 如图，四边形内接于，对角线、相交于点M，． （1）求证：． （2）当时，记，记． ①当时，求t的值； ②求t的最大值． （3）当为直径时，连接交于点E，满足以下条件：①；②；③（m，n均为正整数）；求的半径r的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春季九年级毕业会考模拟练习卷（一） 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2023 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 利用倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是． 故选：C． 2. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：150万， 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同分母的分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键． 4. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 5. 以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　） A. 2，4，7 B. 3，3，6 C. 5，8，2 D. 4，5，6 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】A、4+2=6＜7，不能组成三角形； B、3+3=6，不能组成三角形； C、5+2=7＜8，不能组成三角形； D、4+5=9＞6，能组成三角形． 故选D． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 6. 为了调查某中学学生的身高情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（ ） A. 此次调查属于普查 B. 样本容量是300 C. 2000名学生是总体 D. 被抽取的每一名学生是个体 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．此次调查属于抽样调查，故A不符合题意； B．样本容量是300，故B符合题意； C．2000名学生的身高情况是总体，故C不符合题意； D．被抽取的每一名学生的身高情况称为个体，故D不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质．作，由题意可知平分，故可得，即可求解的面积． 【详解】解：作，如图所示： 由题意可知：平分， ∵，， ∴ ∴ 故选：B 8. 小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出的度数. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：B 9. 关于一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象不经过第三象限 B. y随着x的增大而减小 C. 图象与x轴交于 D. 图象与y轴交于 【答案】C 【解析】 【分析】由，，可得图象经过一、二、四象限，随的增大而减小，再分别求解一次函数与坐标轴的交点坐标，从而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴图象经过一、二、四象限，随的增大而减小， 故A，B不符合题意； 当时，，解得， ∴图象与x轴交于，故C符合题意； 当时，， ∴图象与y轴交于，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与增减性，一次函数与坐标轴的交点坐标，熟记一次函数的性质是解本题的关键． 10. ，，，，五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了推理与论证，若，进入了前三强，那么、、、也均能进入，由于前三强只有三个人，显然这是不合理的；因此只有当进行前三强，那么、也进入，这样才符合题意． 【详解】若进入前三强，那么进入前三强的有、、、、共5人，显然不合题意， 同理，当进入前三强时，也不合题意，所以应从开始进入前三强．即进入前三强的是，，． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 12. 不等式组的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解： 由①得：， ， 由②得： ， ∴不等式组的解集为， 故答案为． 13. 已知是中的一个数，则关于的方程有解的概率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根据与系数的关系，求不等式的解集，概率的计算，掌握一元二次方程根与系数的关系和概率计算是解题的关键． 根据一元二次方程有解的判定方法“”可得的值，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：关于的方程有解， ∴， 解得，， ∴的值可以是或，两个值， ∴方程有解的概率为， 故答案为： ． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，已知点B，C关于原点对称，则的面积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意先求出，再根据点，关于原点对称得到计算即可．本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握值几何意义是关键． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，轴于点， ， 点，关于原点对称， ， ． 故答案为：3． 15. 如图，在中，是直径，弦，垂足为，若，，则的半径为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆综合．熟练掌握圆周角定理推论，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 连接，根据直径性质得出，再利用含角的直角三角形的性质可得，再根据勾股定理求出，即得．（方法不唯一） 【详解】连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴． ∴的半径为． 故答案为：． 16. 若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式，熟记扇形的弧长公式是解题的关键． 【详解】解：扇形的弧长． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握绝对值的性质，锐角三角函数的计算，负整数指数幂，零指数幂的运算是解题的关键． 先化简绝对值，锐角三角函数，负整数指数幂，零指数幂，再根据实数的混合运算法则即可求解． 【详解】解： ． 18. 化简求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将与的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，小亮想测量某大厦楼顶上的一个广告牌的高度，从与大厦相距的处观测广告牌顶部的仰角，观测广告牌底部的仰角为，如图所示． （1）求大厦的高度；（结果精确到） （2）求广告牌的高度（结果取整数） （参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算即可得解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 在中，，， ， 大厦的高度约为； 【小问2详解】 解：在中，，， ， ， ， 广告牌的高度约为． 20. 打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（：政史类，：文学类，：科技类，：艺术类，：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生人数为________名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“科技类”所对应的圆心角度数是________度； （3）若该校有名学生，请你估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数； （4）甲同学从，，三类书籍中随机选择一种，乙同学从，，三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1）， 补全条形统计图如图所示： （2）； （3）估计最喜欢阅读文学类书籍的学生有人； （4）． 【解析】 【分析】（）根据的人数及所占比值求出总人数，总人数减去的人数，可求人数，再补全统计图即可； （）乘以所占总人数的比值，即可求出“科技类”所对应的圆心角度数； （）由该校共有学生人数乘以最喜欢阅读文学类书籍的学生人数所占的比例即可； （）画树状图，共有种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有种，再由概率公式求解即可； 本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 【小问1详解】 被调查的学生总人数为：（名）， ∴：艺术类人数为（名）， 补全条形统计图略 故答案为：； 【小问2详解】 “科技类”所对应的圆心角度数为：， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵（人）， ∴估计最喜欢阅读文学类书籍的学生有人； 【小问4详解】 画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有种，即，， ∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 21. 如图，点在线段上，，，，． （1）求证：； （2）已知，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（）由，，，得，则，即可根据“”证明； （）由全等三角形的性质得，，则 由勾股定理得，然后用面积公式即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（）得， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴． 22. 为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，年级组准备在学校对面的晨光文具店购买，两种文具作为奖品．已知文具的单价比文具的单价贵元，且用元购买文具的数量与用元购买文具的数量相同． （1）求，两种文具的单价； （2）若年级组需要购买，两种文具共件，且购买这两种文具的总费用不超过元，则年级组至少购买种文具多少件？ 【答案】（1）文具的单价为元，则B文具的单价为元； （2）年级组至少购买种文具件． 【解析】 【分析】（）设文具的单价为元，则文具的单价为元，由用元购买文具的数量与用元购买文具的数量相同列出方程即可； （）设设年级组购买种文具件，根据购买这两种文具的总费用不超过元，列出不等式即可； 此题考查一元一次不等式应用，分式方程的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． 【小问1详解】 解：设文具的单价为元，则文具的单价为元， 根据题意，得， 解得 ， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：文具的单价为元，则B文具的单价为元； 【小问2详解】 设年级组购买种文具件， 根据题意，得：， 解得， ∴年级组至少购买种文具件． 23. 在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：是的中点，是的中点， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 是的中点， ， 四边形是菱形． （2）的长是 【解析】 【分析】（1）先利用“中点+平行模型”证明，得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）根据四边形是菱形，可得和都是等边三角形，作交的延长线于点，，求出，，再在中由勾股定理即可求解． 本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作交的延长线于点，则， 四边形是菱形， ， 和都是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 的长是． 24. 在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为他们的“密接点”．例如：与有且只有一个交点，则称这两个函数为“亲密函数”，点称为他们的“密接点”． （1）判断下列几组函数，是“亲密函数”的在（ ）内记“√”，不是“亲密函数”的在（ ）内记“”： ①与；（ ） ②与；（ ） ③与；（ ） （2）一次函数与反比例函数（其中为常数，是“亲密函数”，且他们的“密接点”到原点的距离等于3，求的值． （3）两条直线与都是二次函数的“亲密函数”，且“密接点”分别为．记直线与的交点的纵坐标为，直线与轴的交点的纵坐标为．试判断与的关系，并证明你的判断． 【答案】（1）①√；②×；③√ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数交点与求二元一次方程组的解，即可求解； （2）根据“亲密函数”的定义可得一次函数与反比例函数联立方程组，有且只有一组解，即，可得，分类讨论，当时，代入计算可得或，再根据“密接点”到原点的距离为3，运用勾股定理即可求解； （3）分别设直线的解析式为，分别与二次函数联立方程组解得，，由此可表示出点的坐标，运用待定系数法求直线的解析式可得，由此即可求解． 【小问1详解】 解：①， 解得，， ∴与是亲密函数，故记为√； ②， 方程组无解，即没有交点， ∴不是亲密函数，故记为×； ③， 解得，， ∴是亲密函数，故记为√； 故答案为：①√；②×；③√； 【小问2详解】 解：∵， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， ∵一次函数与反比例函数是“亲密函数”，且“密接点”到原点的距离等于， ∴有且只有一个实数解， ∴，整理得，， ∴， ∴， 当时，， 解得，，则， ∴“密接点”， ∴，且， 解得，， ∴； 当时，, 解得，，则， ∴“密接点”， 同理，，且， 解得，， ∴； 综上所述，； 【小问3详解】 解：，理由如下， 证明：根据题意，设直线的解析式为：，直线的解析式为：， ∵直线都是二次函数的“亲密函数”，且“密接点”分别为， ∴直线与二次函数联立方程得，，整理得，，有两个相等的实数根， ∴， 解得，，，则， ∴； 同理，直线与二次函数联立方程得，， 解得，，，则， ∴； 设直线的解析式为：， ∴， 得， 解得， ∴令，则， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数的综合，理解材料含义，掌握一次函数，反比例函数，二次函数交点与二元一次方程组求解的方法，待定系数法求解析式，二元一次方程组根与系数的关系等知识是解题的关键． 25. 如图，四边形内接于，对角线、相交于点M，． （1）求证：． （2）当时，记，记． ①当时，求t的值； ②求t的最大值． （3）当为直径时，连接交于点E，满足以下条件：①；②；③（m，n均为正整数）；求的半径r的值． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， ； （2）①；②t取得最大值为 （3）的半径r的值为5 【解析】 【分析】（1）由外角的性质和，可得，再由圆周角定理即可证明出． （2）①由圆周角定理得，可证，由相似三角形的性质得，由等高的两三角形，面积之比等于底边之比得，则，代入，得，再由，解方程即可． ②由，可得，设则，结合函数图像即可得出答案． （3）由直径对直角结合等腰三角形的性质可证，由面积公式可得，再证，得，进而可得，由，通过，可建立m，n的关系式，由m，n均为正整数，可得，再由相似三角形的性质可得，即，由垂径定理结合三角形的中位线可得，则，可设，，，利用勾股定理可得，再结合三角形的面积，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①， ， ， ， ∴， ∵和的底边分别为，，高相等， ， ， ， 代入得：， 整理得：， 当，， 解得或（舍去）， ． ②，， ， ，即， 设，则，函数图像如图，    由图像可知，当时，t可以取得最大值，令，解得， 的最大值为； 【小问3详解】 ， ， ∵为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵m，n均为正整数， ， ， 解得， ∴ ， ∵， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， 设，在中，， ， ， ， ， ， 或（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧弦圆心角的关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解二元一次方程组，三角形中位线的性质，二次函数的图象与性质，难度较大，属中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $