专题01有理数的有关概念及性质（11大类型提分练 30道优选提升）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题01有理数的有关概念及性质（11大类型提分练 30道优选提升） 类型一、正数和负数 1．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）一袋面粉的标准质量是，如果把一袋面粉记为，那么另一袋面粉记为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如果规定收入为正，支出为负，收入5元记作元，那么支出9元记作（    ） A．5元 B．元 C．11元 D．元 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）解放军组织常态化台海演习训练，一架武装直升机“停”在离海面的低空，一艘核潜艇潜在水下．设海平面的高度为，若武装直升机的高度记作，则核潜艇的高度记作 ． 类型二、有理数和无理数的概念 4．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）下列各数：，0，0.1010010001…，，3.1415926，其中有理数的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）在数，，，，0.101001，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在15，中，负分数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 类型三、有理数的分类 7．（23-24七年级上·江苏南通·期中）请将下列各数分类： ，，，，，，，，． （1）正分数集： ； （2）整数集： ； （3）负有理数集： ． 8．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）把下列各数填在相应的大括号内：；；；；；；；；；；注意：请将序号垻入相应集合内． 正数集合：{            …}； 整数集合：{            …}； 负分数集合：{            …}； 非负有理数集合：{            …}． 9．（23-24七年级上·江苏·周测）把下列各数的序号分别填在表示它所在的集合里： ①，②0，③，④，⑤（每相应两个2之间3的个数逐次增加1），⑥，⑦，⑧ 分数集合：{___________________…}； 无理数集合：{____________________…}； 非正数集合：{______________________…}． 类型四、数轴上表示的有理数 10．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴的单位长度为1，如果点表示的数是，那么点表示的数是（    ）    A．1 B．0 C． D．2 11．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）数轴上若A表示的数为，将点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动6个单位长度到达点C．则点C表示的数为（   ）． A．5 B．1 C．2 D． 12．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）在数轴上A点表示，则在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数（    ） A． B．5 C．或 D．1 类型五、用数轴判断式子符号和比较大小 13．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，下列正确的是（　　） A． B． C． D． 14．（23-24七年级上·北京朝阳·阶段练习）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ）    A． B． C． D． 15．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图，有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系正确的（　　） A． B． C． D． 16．（23-24七年级上·江苏南京·期中）在数轴上表示下列各数：，0，，，，并用“＜”号把它们连接起来． 类型六、数轴上的动点问题 17．（20-21七年级上·江苏盐城·期中）点P从数轴的原点出发，第一次向右移1个单位长度，第二次向左移2个单位长度，第三次向右移3个单位长度，第四次向左移4个单位长度，…，按照这个移动规律，请问：移动5次后，点P所在的点表示的数是（　　） A．﹣7 B．﹣3 C．3 D．7 18．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图，周长为14的长方形，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为，，若将长方形沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2023次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为 ． 19．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字0所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动（无滑动），那么数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母（    ）重合．    A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 类型七、相反数及其性质 20．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．6和 C．和 D．7和 21．（19-20七年级上·江苏常州·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 22．（22-23七年级上·江苏·周测）数轴上，若点A、B表示互为相反数的两个数，A在B的右侧，并且这两点的距离是8，则点B表示的数是 ． 23．（21-22七年级上·湖南娄底·期中）已知a、b互为相反数，那么 ． 24．（20-21七年级上·江苏无锡·期中）已知m与n互为相反数，且m与n之间的距离为6，且m＜n．则m＝ ，n= ． 类型八、绝对值 25．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）若，则a的值为 ． 26．（21-22七年级上·江苏盐城·期中）若|x|＝x，则x的取值范围是 ． 27．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）下列说法：①一个数的绝对值一定是正数；②一定是一个负数；③平方等于本身的数是0和1；④若，则是一个正数；⑤的绝对值是2020．其中正确的有 ．（填序号） 类型九、绝对值的性质及应用 28．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）已知，求的值为 ． 29．（22-23七年级上·江苏徐州·期中）已知点A，B，C在数轴上表示的数分别记为a，b，c，如果线段，，且b、c的绝对值相等，那么a的值为 ． 30．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知a，b，c均为整数，且，那么的值 ． 31．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）如果a是有理数，那么的最小值是 ． 32．（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）当 时，式子有最小值． 类型十、数轴综合性问题 33．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、B都在数轴上，O为原点． (1)点A表示的数是______．点B表示的数是______； (2)若点B以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，则4秒后点B表示的数是______； (3)对折纸面使数轴上点A与点B重合，则同时表示的点与表示______的点重合． 34．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为0，点D表示的数为． (1)将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点A表示的数是 ； (2)将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数表示的点与点 重合； (3)将正方形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第 次滚动后，点A离原点最远； ②当正方形结束滚动时，点D表示的数是什么？ 35．（23-24七年级上·江苏南通·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、、满足 (1)__，__，__； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____的点重合； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为则_____，______，______用含的代数式表示 类型十一、绝对值的有关距离最值的综合问题 36．（23-24七年级上·江苏南通·期中）阅读下面的材料： 根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是_________；数轴上表示x与2的两点之间的距离是_______． (2)若，则_______． (3)满足的整数x有_______个． (4)当_______时，代数式的最小值是3． 37．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①______； ②若，则点表示的数为______； ③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______． 38．（22-23七年级上·江苏南通·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为______； (2)若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于41的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为______；②的值为______．（最小值） 一、单选题 1．在有理数，，，，，中，负数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，数轴上的点分别表示数，，若，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字（    ）重合． A．0 B．1 C．2 D．3 4．下列各式：①；②；③；④，其中值一定是负数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．若实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且；①；②；③；④．其中错误的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列各数：，，，，，，其中既是负数又是有理数的个数是（    ） A． B． C． D． 8．设，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 9．a、b是有理数，且，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   10．规定：，．例如，．下列结论中，正确的个数是（　　） ①能使成立的的值为或； ②若，则； ③式子的最小值是； ④式子的最大值是． A． B． C． D． 二、填空题 11．已知数在数轴上的位置如图所示，化简 ．    12．已知数轴上两点A、B对应的数分别为，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为 ． 13．已知，则 ． 14．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简： ．    15．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为 ． 16．在数轴上，点表示的数为1，点距离点3个单位长度，点距离点5个单位长度，则点与点之间的最小距离为 ． 17．已知点M和N在同一条数轴上，点M在数轴上表示的数为7，点N与点M之间的距离为，则点N表示的数是 ． 18．将下列各数：在数轴上表示出来； 并比较它们的大小（用“”连接）：______． 19．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、两点之间的距离为2024（A在的左侧），且A、两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 20．在数轴上，有理数，的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为，，，，，且，．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ．    三、解答题 21．已知有理数，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为． (1)______，______； (2)写出大于的所有负整数： (3)在数轴上标出表示的点，并用“”连接起来． 22．如图，直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点、表示的数是互为相反数，请回答下列问题： (1)填空：C表示的数是_________． (2)把如图的直线补充成一条数轴，并在数轴上表示：，，，． (3)将(2)中各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 23．把下列各数分别填入相应的集合里： −2.5，3，0，π，2022． 正有理数集合：{　 　…}； 负分数集合：{　 　…}； 整数集合：{　 　…}； 自然数集合：{　 　…}． 24．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 回答下列问题： (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______； ②在①的情况下，如果，那么x为______． (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数、2、x，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是3， 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： 解决问题： ①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米． (3)若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、5，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 25．如图，在一张长方形纸条上画一条数轴．        (1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 _________ ；如果数轴上两点之间的距离为11，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 _________ ； (2)如图2，点A、B表示的数分别是、4，数轴上有点C，使点C到点A的距离是点C到点B 距离的2倍，那么点C表示的数是 _________ ； (3)如图2，若将此纸条沿A、B两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数． 26．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度． (1)在图1的数轴上，　　个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的　　； (2)求数轴上点B所对应的数b； (3)在图1的数轴上，点Q是线段上一点，满足，求点Q所表示的数． 27．阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为，则．    回答下列问题： (1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点A表示数x，点B表示数1，如果，那么x的值为 ； (2)①时，那么 ， ； ②代数式取最小值时，相应的整数x的个数为 个； (3)在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． ①当 时，； ②在整个运动过程中，请用含t的式子表示． 28．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．    (1)求a，b，c的值； (2)如图1，若点A，B，C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和个单位长度向左运动，假设经过t秒后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间距离表示为，若的值始终保持不变，求m的值； (3)如图2，将图1中的数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发仍以（2）中的每秒m个单位长度的速度沿“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 29．数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．借助数轴解决下列问题： 【知识回顾】 数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为； （1）若，则 ； 若，则 ； 一般地， （用含a，b的代数式表示）． 【概念理解】 （2）代数式的最小值为 ； 【深入探究】 （3）代数式（m为常数）的最小值随m值的变化而变化，直接写出该代数式的最小值及对应的m的取值范围（用含m的代数式表示）； （4）若代数式（m为常数）的最小值为8，则m的值为 ． 30．已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足．    (1)比较大小： 0， 0， 0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； (2)化简：； (3)计算：． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01有理数的有关概念及性质（11大类型提分练 30道优选提升） 类型一、正数和负数 1．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）一袋面粉的标准质量是，如果把一袋面粉记为，那么另一袋面粉记为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数表达相反意义的量．根据正负数的意义，超过的部分用正数表示，不足的部分用负数表示即可． 【详解】解：一袋面粉记为，那么另一袋面粉记为． 故选：． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如果规定收入为正，支出为负，收入5元记作元，那么支出9元记作（    ） A．5元 B．元 C．11元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查正负数的意义，根据收入为正，则支出为负，进行作答，判断即可．掌握正负数表示一对相反意义的量，是解题的关键． 【详解】解：收入5元记作元，那么支出9元记作元； 故选D． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）解放军组织常态化台海演习训练，一架武装直升机“停”在离海面的低空，一艘核潜艇潜在水下．设海平面的高度为，若武装直升机的高度记作，则核潜艇的高度记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键．根据题意及正数和负数表示的意义，即可得到本题答案． 【详解】解：设海平面的高度为0m， ∵一架武装直升机“停”在离海面的低空，一艘核潜艇潜在水下，若武装直升机的高度记作， ∴核潜艇的高度记作， 故答案为：． 类型二、有理数和无理数的概念 4．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）下列各数：，0，0.1010010001…，，3.1415926，其中有理数的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的概念：整数和分数统称有理数，根据有理数的定义，进行判断即可． 【详解】解：，0，0.1010010001…，，3.1415926，其中是有理数的有0，，3.1415926，共3个； 故选B． 5．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）在数，，，，0.101001，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查无理数，无理数是指无限不循环小数，据此即可解答． 【详解】解：无理数是，只有1个． 故选：A 6．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在15，中，负分数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的负分数的定义，解题的关键是熟练掌握“既是负数又是分数的数为负分数”，同时注意小数也属于分数． 【详解】解：负分数有：两个， 故选：A． 类型三、有理数的分类 7．（23-24七年级上·江苏南通·期中）请将下列各数分类： ，，，，，，，，． （1）正分数集： ； （2）整数集： ； （3）负有理数集： ． 【答案】（1），    （2），，，    （3），，，， 【分析】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，0是整数，但既不是正数，也不是负数． 【详解】解：（1）正分数集：，； （2）整数集：，，，； （3）负有理数集：，，，，． 8．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）把下列各数填在相应的大括号内：；；；；；；；；；；注意：请将序号垻入相应集合内． 正数集合：{           …}； 整数集合：{           …}； 负分数集合：{           …}； 非负有理数集合：{           …}． 【答案】；；；． 【分析】本题考查了正数、整数、负分数、非负有理数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正数、整数、负分数、非负有理数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：由，，， 则正数集合：{…}； 整数集合：{…}； 负分数集合：{…}； 非负有理数集合：{…}； 故答案为：；；；． 9．（23-24七年级上·江苏·周测）把下列各数的序号分别填在表示它所在的集合里： ①，②0，③，④，⑤（每相应两个2之间3的个数逐次增加1），⑥，⑦，⑧ 分数集合：{___________________…}； 无理数集合：{____________________…}； 非正数集合：{______________________…}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是熟练分清分数，无理数和非正数的意义． 【详解】解：，， 分数集合：{③，④，⑥，⑧，…} 无理数集合：{①，⑤，…} 非正数集合：{①，②，⑥，…} 类型四、数轴上表示的有理数 10．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴的单位长度为1，如果点表示的数是，那么点表示的数是（    ）    A．1 B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查的是利用数轴表示有理数，理解数轴的有理数的表示方法是解本题的关键． 【详解】解：数轴的单位长度为1，如果点表示的数是，那么点表示的数是； 故选D 11．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）数轴上若A表示的数为，将点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动6个单位长度到达点C．则点C表示的数为（   ）． A．5 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据数轴上的点左移减，右移加，可得答案． 【详解】解：， 则点C表示的数为2， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴上点的平移，掌握数轴上的点的平移规律是解题的关键． 12．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）在数轴上A点表示，则在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数（    ） A． B．5 C．或 D．1 【答案】C 【分析】本题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，在数轴上表示出A点，找到与点A距离2个长度单位的点所表示的数即可．此类题注意两种情况：要求的点可以在已知点的左侧或右侧．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 【详解】根据数轴可以得到在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是：或．    故选：C． 类型五、用数轴判断式子符号和比较大小 13．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用数轴比较有理数的大小，根据数轴上点的特征即可求解，熟练掌握利用数轴比较有理数大小的方法是解题的关键． 【详解】解：由题意知， ， 所以， 故选C． 14．（23-24七年级上·北京朝阳·阶段练习）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴得到，再逐项判断即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得：，故A选项错误，B选项正确， ，， ，故C选项错误， ， ，故D选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用数轴比较大小，根据数轴得出是解题的关键． 15．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图，有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系正确的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置确定a、b的符号以及绝对值逐项判断即可． 【详解】解：由有理数a、b在数轴上的对应点的位置可知，，且， ，因此选项A不符合题意； ，因此选项B不符合题意； ，因此选项C不符合题意； ，因此选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查数轴表示数，理解数轴表示数的方法是正确解答的前提． 16．（23-24七年级上·江苏南京·期中）在数轴上表示下列各数：，0，，，，并用“＜”号把它们连接起来． 【答案】在数轴上表示见解析， 【分析】本题考查了数轴，相反数，绝对值和有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．先在数轴上表示出各个数，比较即可． 【详解】解：，， ． 类型六、数轴上的动点问题 17．（20-21七年级上·江苏盐城·期中）点P从数轴的原点出发，第一次向右移1个单位长度，第二次向左移2个单位长度，第三次向右移3个单位长度，第四次向左移4个单位长度，…，按照这个移动规律，请问：移动5次后，点P所在的点表示的数是（　　） A．﹣7 B．﹣3 C．3 D．7 【答案】C 【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可． 【详解】解：， 所以点P移动5次后，在原点的右方， 距离原点的距离是3个单位， 表示的数是3， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴与图形的变化类，解题的关键是掌握数轴上点的移动规律是“左减右加”． 18．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图，周长为14的长方形，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为，，若将长方形沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2023次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为 ． 【答案】7083 【分析】此题是找规律的题，长方形的周长是14，长是6，宽则为1，翻滚2次的和为7，翻滚2022次的和为7077，再翻滚1次即翻滚2023和为7078， 【详解】解：长方形的周长是14，长为6，则宽为1，点A对应，点B 对应5． 翻滚1次到达数轴上的点对应6，翻滚2次到达数轴上的点对应12； 翻滚3次到达数轴上的点对应13，翻滚4次到达数轴上的点对应19； 翻滚5次到达数轴上的点对应20，翻滚6次到达数轴上的点对应26； …… 翻滚2021次到达数轴上的点对应7076，翻滚1次到达数轴上的点对应7082； 翻滚2023次到达数轴上的点对应7083，故点P对应的数是7083． 故答案为：7083． 【点睛】本题考查的是数轴的一个知识，解题的关键是找到规律． 19．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字0所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动（无滑动），那么数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母（    ）重合．    A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，一次求出与数，，，，…对应的点重合的字母，发现规律即可解决问题，能根据题中圆的运动方式，发现字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合，是解此题的关键． 【详解】解：圆的周长为4个单位长度， 将圆沿着数轴向右滚动（无滑动）时， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， …， 依次类推，字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合， 余， 数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母重合， 故选：D． 类型七、相反数及其性质 20．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．6和 C．和 D．7和 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的绝对值和相反数，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 先化简A、B、D三项中的相关数据，再根据相反数的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A．和2不互为相反数，故本选项不符合题意； B．6和互为相反数，故本选项符合题意； C．和不互为相反数，故本选项不符合题意； D．7和不互为相反数，故本选项不符合题意． 故选：B． 21．（19-20七年级上·江苏常州·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】先化简，再根据只有符号不同的两个数是相反数，可判断互为相反数的两个数． 【详解】解：A、，，相等，故本选项不符合题意； B、，，相等，故本选项不符合题意； C、，，互为相反数，故本选项符合题意； D、，，相等，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了互为相反数的判断，掌握定义是解题的关键．即只有符号不同的两个数称互为相反数． 22．（22-23七年级上·江苏·周测）数轴上，若点A、B表示互为相反数的两个数，A在B的右侧，并且这两点的距离是8，则点B表示的数是 ． 【答案】 【分析】数轴上互为相反数的两点在原点的两侧，并且到原点的距离相等求出即可． 【详解】解：∵点A，B表示互为相反数的两个数，A在B的右侧，并且这两点的距离为8， ∴这两个数一个为4，另一个则为﹣4， ∵A在B的右侧， ∴点B表示的数为． 故答案为：﹣4． 【点睛】本题主要考查了相反数在数轴上的几何特征，能熟记这个几何特征（数轴上互为相反数的两点在原点的两侧，并且到原点的距离相等）是解此题的关键． 23．（21-22七年级上·湖南娄底·期中）已知a、b互为相反数，那么 ． 【答案】 【分析】直接利用互为相反数的和为0计算得出答案． 【详解】解：、互为相反数， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了相反数，正确掌握相关性质是解题关键． 24．（20-21七年级上·江苏无锡·期中）已知m与n互为相反数，且m与n之间的距离为6，且m＜n．则m＝ ，n= ． 【答案】 -3 3 【分析】先根据m，n互为相反数，可得：n=-m，然后根据m＜n，且m与n在数轴上所对应的点之间的距离是6，可得：n-m=6，求出m的值即可． 【详解】∵m，n互为相反数， ∴n=-m， ∵m＜n，且m与n在数轴上所对应的点之间的距离是6， ∴n-m=6， ∴-m-m=6， ∴m=-3，n=3． 故答案为：-3，3． 【点睛】考查了数轴上两点间的距离，解题关键是由相反数的含义得到n=-m和数轴上两点之间的距离． 类型八、绝对值 25．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）若，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的求解，解答的关键是熟悉绝对值的定义； 根据绝对值的定义求解即可； 【详解】 ， 故答案为：． 26．（21-22七年级上·江苏盐城·期中）若|x|＝x，则x的取值范围是 ． 【答案】x≥0 【分析】根据绝对值的非负性计算即可； 【详解】∵|x|＝x， ∴； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，准确计算是解题的关键． 27．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）下列说法：①一个数的绝对值一定是正数；②一定是一个负数；③平方等于本身的数是0和1；④若，则是一个正数；⑤的绝对值是2020．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】③⑤/⑤③ 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数，掌握绝对值的性质是解答本题的关键．①根据绝对值的性质判断即可；②根据正数和负数的定义判断即可；③根据绝对值的性质判断即可；④根据平方运算的性质判断即可；⑤根据绝对值的性质判断即可． 【详解】解：①一个数的绝对值一定是正数，说法错误，0的绝对值是0，但0既不是正数，也不是负数； ②一定是一个负数，说法错误，当时，是正数； ③平方等于本身的数是0和1，说法正确； ④若，则a是一个正数，说法错误，0的绝对值是0，但0既不是正数，也不是负数； ⑤的绝对值是2020，说法正确； 所以正确的有③⑤． 故答案为：③⑤． 28．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）已知，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，代入求值，先根据绝对值得非负性求出，的值，然后代入解题即可． 【详解】解：由题可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 类型八、绝对值 29．（22-23七年级上·江苏徐州·期中）已知点A，B，C在数轴上表示的数分别记为a，b，c，如果线段，，且b、c的绝对值相等，那么a的值为 ． 【答案】 【分析】根据，可得，，再根据b、c的绝对值相等得，从而代入即可求解． 【详解】解：点A，B，C在数轴上表示的数分别记为a，b，c，，， ，， 又b、c的绝对值相等，， ， 即，， ； 故答案为：． 【点睛】此题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的特点和数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 30．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知a，b，c均为整数，且，那么的值 ． 【答案】1或2或3或4 【分析】此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键．首先根据，，均为整数得，均为非负整数，再根据即可得出①，，②，，③，，据此根据每一种情况求出的值即可． 【详解】解：，，均为整数， ，均为非负整数， 又， ，，或，，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，，， ； ③当，时，此时或2， 或． 综上所述，的值是1或2或3或4． 故此题答案为：1或2或3或4． 31．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）如果a是有理数，那么的最小值是 ． 【答案】2023 【分析】根据绝对值具有非负性的性质可得，进而可得答案． 【详解】解∶∵， ∴， ∴的最小值是2023． 故答案为：2023． 【点睛】此题主要考查了绝对值的非负性，关键是掌握绝对值的非负性． 32．（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）当 时，式子有最小值． 【答案】 【分析】可得，从而可得当时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：因为 ， 所以当时，即， 的最小值为，此时取得最小值， 所以当时，有最小值； 故答案：． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，理解非负性是解题的关键． 类型十、数轴综合性问题 33．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、B都在数轴上，O为原点． (1)点A表示的数是______．点B表示的数是______； (2)若点B以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，则4秒后点B表示的数是______； (3)对折纸面使数轴上点A与点B重合，则同时表示的点与表示______的点重合． 【答案】(1)2，； (2)8； (3)； 【分析】（1）本题考查数轴上点的表示，根据数轴直接填写即可得到答案； （2）本题考查数轴上两点间距离的表示，根据路程等于速度乘以时间直接求解即可得到答案； （3）本题考查数轴上点的问题，根据对折找到中点，结合数轴上两点间距离关系即可得到答案； 【详解】（1）解：由数轴得， 点B表示的数是，点A表示的数是2， 故答案为：2，； （2）解：由题意可得， ， 故答案为：8； （3）解：由（1）得， 点A与点B的中点为：， ∴的点重合的点是：， 故答案为：． 34．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为0，点D表示的数为． (1)将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点A表示的数是 ； (2)将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数表示的点与点 重合； (3)将正方形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第 次滚动后，点A离原点最远； ②当正方形结束滚动时，点D表示的数是什么？ 【答案】(1) (2) (3)①3；②-9 【分析】（1）根据正方形滚动1周后点的位置得出点对应的数； （2）根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数的点； （3）①先判断每次滚动后点的位置，再根据所得结果判断点距离原点最近和点距离原点最远的出现的次数； ②根据正方形结束运动时，点C的位置得出其所表示的数即可． 此题主要考查数轴的特点，解题的关键是根据题意得到正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． 【详解】（1）由题可得，正方形向左滚动一周，正方形的顶点4向左移动4个单位， 所以正方形向左滚动一周后，点对应的数为：， 故答案为：； （2）∵ 所以在滚动过程中，点经过数轴上的数； 故答案为：； （3）①因为5次运动后，点依次对应的数为： ； ； ； ； 所以第3次滚动后，点距离原点最远； ②由①可得: 当正方形结束运动时, 此时点表示的数是， ∴点表示的数为：， 故答案为：①3；②-9． 35．（23-24七年级上·江苏南通·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、、满足 (1)__，__，__； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____的点重合； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为则_____，______，______用含的代数式表示 【答案】(1)，， (2) (3)，， 【分析】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． （1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）先求出对称点，即可得出结果； （3）利用题意结合数轴表示出A、B、C三点表示的数，进而可得、、的长． 【详解】（1） ， 解得：， 是最小的正整数 ， 故答案为：，， （2）点A与点C的中点对应的数为： 点B到2的距离为1,所以与点B重合的是： 故答案为：3 （3）点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动。 秒钟过后，点A表示为，点B表示为，点C表示为， ， ， ， 故答案为：，，． 类型十一、绝对值的有关距离最值的综合问题 36．（23-24七年级上·江苏南通·期中）阅读下面的材料： 根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是_________；数轴上表示x与2的两点之间的距离是_______． (2)若，则_______． (3)满足的整数x有_______个． (4)当_______时，代数式的最小值是3． 【答案】(1)15； (2)0或6 (3)6 (4)或 【分析】本题考查数轴上两点间距离计算； （1）根据两点间距离公式计算； （2）根据数轴上两点间距离公式的定义，结合数轴求解； （3）由数轴上两点间距离公式，可判断x在与3之间，即可； （4）由数轴上两点间距离公式，由题意得当表示x的点在表示的点与表示的点之间（含两点）时，取最小值，然后分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示6与的两点之间的距离是； 数轴上表示x与2的两点之间的距离是． 故答案为：15； （2）解：表示x与3的距离为3， ∴或6． 故答案为：0或6 （3）解：表示x与的距离与它与3的距离之和为5， ∴x在与3之间， ∴这样的整数x有，共6个． 故答案为：6 （4）解：的值为“表示x的点与表示的点的距离”与“表示x的点与表示的点的距离”之和． 当表示x的点在表示的点与表示的点之间（含两点）时，取最小值． ∴表示的点与表示的点的距离为3． 若，即， 则， ∴． 若，即， 则， ∴． 综上，当a取或时，原式的最小值是3． 故答案为：或 37．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①______； ②若，则点表示的数为______； ③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______． 【答案】（1）7；（2）①或；②1；（3）①6；②4或12；③3或5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． （1）根据两点之间的距离公式列式计算即可求解； （2）①②根据两点之间的距离公式列出方程即可求解； （3）①由数轴知，，去绝对值符号即可求解； ②由数轴知，，结合，求得或，据此求解即可； ③分情况讨论，求得，或，据此求解即可． 【详解】解：（1）数轴上表示3与的两点之间的距离为， 故答案为：7； （2）①若，则或， 解得或， 故答案为：或； ②若，则（舍去）或， 解得， 故答案为：1； （3）①由数轴知，，∴，，∴； 故答案为：6； ②由数轴知，，即，结合，即，∴，∴或，解得或；根据数轴知，，∴点表示的数为4或12；故答案为：4或12； ③由题意可知，点在线段上，可得，则，，∴，，当时，，∴， 故， 当时，，则，故， ∵最小，故时，取值最小； 当时，，，∴，即； 当时，，，∴（不成立，舍去）； 当时，，，∴，即， 综上，，或， 当时，、两点之间的距离为； 当时，、两点之间的距离为； ∴、两点之间的距离为3或5． 故答案为：3或5． 38．（22-23七年级上·江苏南通·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为______； (2)若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于41的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为______；②的值为______．（最小值） 【答案】(1)8 (2)或 (3)①1；②820 【分析】（1）根据“美好关联数”定义进行求解即可； （2）根据“美好关联数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 【详解】（1）解：， 故答案为：8； （2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4， ∴， ∴， 解得或； （3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴只有当时，有最小值1； ②由题意可知：， ∵ ∴的最小值； ， ∵ 的最小值； 同理，， 的最小值； ， 的最小值； ， 的最小值； ∴的最小值：     ． 故答案为：1,820 一、单选题 1．在有理数，，，，，中，负数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据去括号法则、有理数的乘方法则、绝对值的性质进行计算，判断即可． 【详解】解：-（-3）=3，是正数；-（-2）2=-4，是负数；-|-2|=-2，是负数；-22=-4，是负数；是负数， 共有4个负数， 故选：D． 【点睛】本题考查的是正数和负数、绝对值、有理数的乘方，掌握相关的概念和性质是解题的关键． 2．如图，数轴上的点分别表示数，，若，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴，由可得，结合算出值即可． 【详解】解：∵在数轴上， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数轴与有理数、数轴上两点之间的距离等知识，解题关键是由得到． 3．如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字（    ）重合． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，1，2，3的点重合． 【详解】解：由题意知：圆的周长为4个单位长度． 到共有2022个单位长度， 当，则数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：． 【点睛】本题考查了数轴、循环的有关知识，找到表示数-2021的点与圆周上起点处表示的数字重合，是解题的关键． 4．下列各式：①；②；③；④，其中值一定是负数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了正数和负数，绝对值，熟练掌握负数的定义是解题的关键．根据题意进行判断即可． 【详解】解：时，为正数，故①不符合题意； 当时，，故②不符合题意； 当时，，故③不符合题意； 无论取何值，一定为负数，故④符合题意． 故选A． 5．若实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，绝对值得意义，由数轴得，，，，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴得，，，， ，，， 故选：D． 6．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且；①；②；③；④．其中错误的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据图示，可得，据此逐项判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴①符合题意． ∵， ∴， ∴， ∴②不符合题意． ∵， ∴， ∴， ∴③不符合题意． ∵， ∴④符合题意， ∴错误的个数有2个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了数轴，以及绝对值的性质，要熟练掌握． 7．下列各数：，，，，，，其中既是负数又是有理数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照有理数的分类解答即可． 【详解】解：，， 在数，，，，，中， 既是负数又是有理数的有，，，共个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正数和负数以及有理数的知识，掌握有理数的分类是解答本题的关键． 8．设，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】表示在数轴上，数到，，的距离之和，则可知当时，取得最小值为，则问题随之得解. 【详解】∵表示在数轴上，数到，，的距离之和，且设该值为a， 结合数轴可知：当数x在1的左侧，此时a的值必然大于2；当数x在3的右侧，此时a的值也必然大于2；当数x在1和3之间时，此时数x到1和3距离之和为定值2，此时若数x与数2重合，即数x到数2距离为0，则a的值取最小，为2； 即当时，取得最小值，为， ∴， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为． 故选：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，理解表示在数轴上数到，，的距离之和，是解答本题的关键． 9．a、b是有理数，且，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据已知条件可以判断出a到原点的距离大于b到原点的距离，据此判断即可. 【详解】解：∵a、b是有理数，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数轴上点的位置，属于基础题，要熟练掌握. 10．规定：，．例如，．下列结论中，正确的个数是（　　） ①能使成立的的值为或； ②若，则； ③式子的最小值是； ④式子的最大值是． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用题目的新规定和绝对值的意义对每个结论进行判断，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴或， ∴或， ∴①的结论正确； ∵，， ∴， ∵当时， ∴ ， ∴②的结论正确； ∵ ， 又∵当时，有最小值， ∴③的结论错误； ∵ ， 又∵当时，， 当时，， 当时，|， ∴当时，式子的最大值是， ∴④的结论正确， 综上，正确的结论有：①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，应用新定义和绝对值的性质解题是解答本题的关键． 二、填空题 11．已知数在数轴上的位置如图所示，化简 ．    【答案】 【分析】由数轴上右边的数总比左边的数大，且离原点的距离大小即为绝对值的大小，判断出绝对值符号里代数式的正负，利用绝对值的意义化简，合并同类项即可． 【详解】解：由数轴上点的位置可得：，且 ， ， ，，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，化简绝对值关键在于判别绝对值里的代数式的符号（正负）情况，对照各种情况去绝对值符号． 12．已知数轴上两点A、B对应的数分别为，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为 ． 【答案】或4.5 【分析】本题考查了数轴上表示有理数以及数轴两点间的距离，根据“点P到点A、B的距离之和为7”列出方程并解答． 【详解】解：依题意，得 ， 因为A、B之间的距离小于7， 即，则，此时不符合题意， 当时， 解得． 当时，（x-2）+（x+1）=7， 解得． 所以或4.5． 故答案为：或4.5． 13．已知，则 ． 【答案】2或0/0或2 【分析】本题考查绝对值方程，解题的关键是熟记绝对值的意义． 根据绝对值的意义即可求解． 【详解】∵ ∴或 ∴或0． 故答案为：2或0． 14．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简： ．    【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，去绝对值时先确定绝对值内代数式的正负性是解本题的关键．根据绝对值的性质去绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：由、、在数轴上的位置可知： ，， ． 故答案为：． 15．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点的中点计算公式，先根据题意求出折叠点为，再由数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，得到点A在折叠点的左边，且到折叠点的距离为5，据此利用数轴上两点距离计算公式即可求出答案． 【详解】解：∵折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合， ∴折叠点为， ∵数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合， ∴点A在折叠点的左边，且到折叠点的距离为5， ∴点A表示的数为， 故答案为：． 16．在数轴上，点表示的数为1，点距离点3个单位长度，点距离点5个单位长度，则点与点之间的最小距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离．熟练掌握数轴上两点之间的距离的计算是解题的关键． 由题意知，当在点两侧时，点与点之间的距离最小，如图，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，当在点两侧时，点与点之间的距离最小，如图，    由题意知，，， ∴， 故答案为：2． 17．已知点M和N在同一条数轴上，点M在数轴上表示的数为7，点N与点M之间的距离为，则点N表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，符合条件的点一共有两个，分别在点左右方向上各一个，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：当点N在点M左边时，， 当点N在点M右边时，， 故答案为：或． 18．将下列各数：在数轴上表示出来； 并比较它们的大小（用“”连接）：______． 【答案】见详解， 【分析】本题主要考查了数轴，有理数比较大小，首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再用“＜”连接即可． 【详解】解：， 在数轴上表示如下： 故它们的大小为： 故答案为：． 19．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、两点之间的距离为2024（A在的左侧），且A、两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的知识，注意根据轴对称的性质，可以求得使两个点重合的折痕经过的点所表示的数即是两个数的平均数． 【详解】解：依题意得：两数是关于和8的中点对称，即关于对称， 、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经以上方法折叠后重合，则、关于3所对应的点对称， ． 故答案为：． 20．在数轴上，有理数，的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为，，，，，且，．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ．    【答案】①③④ 【分析】根据数轴表示数以及绝对值的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：，， ，且距离原点比较远，，且距离原点比较近， 中点所表示的数在原点的左侧， ， ①正确； 由数轴所表示的数可知，可能大于0，也可能小于0， 符号不确定， ②不正确； ， 表示数的点到表示数的点距离既可以表示为，也可以表示为， ， ③正确； 在原点的左侧，而在原点右侧， 表示数的点到表示数的点距离为， 到的距离为， 即： ④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查数轴，绝对值的定义．掌握数轴表示数的方法以及两点距离的定义是解题的关键，也是本题的难点 三、解答题 21．已知有理数，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为． (1)______，______； (2)写出大于的所有负整数： (3)在数轴上标出表示的点，并用“”连接起来． 【答案】(1)，； (2)、、； (3)． 【分析】（）根据点表示的数即可求出，根据是负数且到原点的距离为可以得出的值； （）根据有理数的大小比较法则即可得出答案； （）先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可； 本题考查了有理数的比较大小，相反数，数轴，绝对值等知识点，能熟记有理数的大小法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，， ∵是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为， ∴， 故答案为：，； （2）解：为，，； （3）解：，， 各数在数轴上表示为： 由数轴可得，． 22．如图，直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点、表示的数是互为相反数，请回答下列问题： (1)填空：C表示的数是_________． (2)把如图的直线补充成一条数轴，并在数轴上表示：，，，． (3)将(2)中各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了相反数的意义，有理数与数轴，根据数轴比较有理数的大小； （1）根据题意确定原点的位置，进而即可求解； （2）先化简，，然后再在数轴上表示各数，即可求解； （3）根据数轴上右边的数大于左边的数，用“”连接起来． 【详解】（1）解：∵直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点、表示的数是互为相反数， ∴点表示是数是，点表示的数是 故答案为：． （2）解：，， 如图所示， （3）解：根据数轴可得， 23．把下列各数分别填入相应的集合里： −2.5，3，0，π，2022． 正有理数集合：{　 　…}； 负分数集合：{　 　…}； 整数集合：{　 　…}； 自然数集合：{　 　…}． 【答案】3，2022；−2.5；0，2022；0，2022 【分析】根据有理数的有关概念解答． 【详解】解：根据实数的有关概念可以得到： 正有理数集合：{，2022}； 负分数集合：{−2.5}； 整数集合：{0，2022}； 自然数集合：{0，2022}． 故答案为：3，2022；−2.5；0，2022；0，2022． 【点睛】本题考查有理数的应用，熟练掌握有理数的分类和有关概念是解题关键．　 24．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 回答下列问题： (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______； ②在①的情况下，如果，那么x为______． (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数、2、x，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是3， 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： 解决问题： ①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米． (3)若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、5，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)；或5 (2)2．C，12 (3)的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离： （1）根据两点间距离公式可得结论； （2）①根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12； （3）根据两点间的距离公式分别表示，代入计算可得答案． 【详解】（1）①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是； ②∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或5． 故答案为：；或5． （2）①当时，则有： ， ∴的最小值是 2； ②设C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，则工作人员取配件所走的路程为， 当时，有最小值12， 即：一只配件箱应该放在工作C处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 12米． 故答案为：2．C，12． （3）根据题意得：，， ∴． ∴的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2． 25．如图，在一张长方形纸条上画一条数轴．        (1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 _________ ；如果数轴上两点之间的距离为11，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 _________ ； (2)如图2，点A、B表示的数分别是、4，数轴上有点C，使点C到点A的距离是点C到点B 距离的2倍，那么点C表示的数是 _________ ； (3)如图2，若将此纸条沿A、B两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数． 【答案】(1)2， (2)2或10 (3) 【分析】（1）设折痕与数轴的交点表示的数为，根据折痕与数轴的交点是−1与5对应点的中点可得方程，解方程即可求得答案；按照（1）的折叠方式，中点为2，两点之间的距离为11，则左边数到中点的距离为个单位，据此即可求得答案； （2）分点C在A、B之间和B点右侧两种情况利用数轴上两点距离公式建立方程求解即可； （3）A、B两点之间距离为，连续对折5次后，共有段，每两条相邻折痕间的距离为，则最左端的折痕与数轴的交点为，即可解得答案． 【详解】（1）解：设折痕与数轴的交点表示的数为， 由题意得，， 解得， ∴折痕与数轴的交点表示的数是2， 设左边点表示的数为，则，解得， ∴左边这个点表示的数是； 故答案为：2，； （2）解：设点C表示的数为， ∵， ∴点C离点B较近，只有两种情况： ①点C在线段上时，，解得：； ②当点C在点B的右边数轴上时，，解得：． 综上所述，点C表示的数为2或10， 故答案为：2或10； （3）解：对折5次后，每两条相邻折痕间的距离为， ∴最左端的折痕与数轴的交点表示的数为． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点距离公式，解题的关键是掌握数轴上点的特点，以及理解图形对称的性质． 26．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度． (1)在图1的数轴上，　　个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的　　； (2)求数轴上点B所对应的数b； (3)在图1的数轴上，点Q是线段上一点，满足，求点Q所表示的数． 【答案】(1)9；0.6 (2) (3) 【分析】（1）用右边点表示的数减去左边点表示的数即可得到线段的长度，从尺子上读出线段实际长度除以对应的长度单位，即可求出一个长度单位对应实际的长度． （2）从尺子读出的实际长度，再结合（1）中的结论列式计算即可． （3）右边点表示的数减去左边点表示的数即可得到线段的长度，结合，列式计算即可． 【详解】（1）解：， 数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的． 故答案为：9；0.6． （2）解：依题意有， 解得， 即数轴上点B所对应的数b为； （3）解：设点Q所表示的数是x，依题意有， 解得． 故点Q所表示的数是． 【点睛】本题主要考查数轴上线段长度与点表示的数之间的转化，能够熟练计算两点之间的距离时解题关键． 27．阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为，则．    回答下列问题： (1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点A表示数x，点B表示数1，如果，那么x的值为 ； (2)①时，那么 ， ； ②代数式取最小值时，相应的整数x的个数为 个； (3)在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． ①当 时，； ②在整个运动过程中，请用含t的式子表示． 【答案】(1)①；②或3； (2)①；2；②4； (3)①2或4；②当时，；当时，；当时，；当时， 【分析】此题主要考查有理数与数轴的应用， （1）①根据A、B两点之间的距离公式即可求解； ②根据及A、B两点之间的距离公式分情况讨论即可求解； （2）①根据绝对值的非负性即可求解； ②根据代数式的含义为点到和2的距离之和，故可得到取最小值时，相应的整数x的值，即可求解； （3）①先求出点D、点E所表示的数，分当点P还没到达E点时、当点P到达E点返回时两种情况讨论，可得t的值； ②根据P点位置分情况讨论，用含t的式子表示的长，即可求解． 解题的关键是根据题意分类讨论求解． 【详解】（1）∵点A表示数x，点B表示数1， ∴A、B两点之间的距离表示为； ②点A表示数x，点B表示数1， ∵， ∴ ∴或 ∴或 故答案为：①；②或3； （2）①∵， ∴，， ∴，， ②代数式的含义为点到和2的距离之和， ∴当x的值为这4个值时，的最小值为3， 即相应的整数x的个数为4个； 故答案为：①；2；②4； （3）①在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5， ∴点D表示的数是，点E表示的数是5，D、E之间的距离， ∵点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动， ∴ ∵ ∴点P还没到达E点时，（秒）， 当点P到达E点返回时，（秒）， 故答案为：2或4； ②当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，；当时，；当时，；当时，． 28．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．    (1)求a，b，c的值； (2)如图1，若点A，B，C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和个单位长度向左运动，假设经过t秒后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间距离表示为，若的值始终保持不变，求m的值； (3)如图2，将图1中的数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发仍以（2）中的每秒m个单位长度的速度沿“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1) (2) (3)或或11或17 【分析】（1）根据绝对值与偶次方的非负性可分别求出a和c的值，又由a，b互为相反数即可求出b的值； （2）分别用含有t的式子表示出、的长度，再根据列式计算即可； （3）P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等有五种情况，分别进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，即， ， 解得， 又∵a，b互为相反数， ， 综上所述：； （2）解：经过t秒后，，，， 由（1）知， ， ， 整理得， 的值始终保持不变， ， 解得； （3）解：图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度，且a，b互为相反数， ， P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等有五种情况， 由题意得：P在上运动的速度，在上运动的速度，在上运动的速度； Q在上运动的速度，在上运动的速度，在上运动的速度； ①：P在，Q在上运动时， ， ， 解得：； ②P在，Q在上运动时， ，， ， 解得：； ③P在，Q在上运动时， ， ， 解得：； ④P在，Q在上运动时， ， ， 解得：， ⑤当P在，Q在上时， ，， ， ． 综上所述，当或或11或17时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【点睛】本题重点考查如何表示线段的长度，根据题目要求正确列出方程求解是解题的关键，另外还要注意运动过程中速度的变化． 29．数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．借助数轴解决下列问题： 【知识回顾】 数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为； （1）若，则 ； 若，则 ； 一般地， （用含a，b的代数式表示）． 【概念理解】 （2）代数式的最小值为 ； 【深入探究】 （3）代数式（m为常数）的最小值随m值的变化而变化，直接写出该代数式的最小值及对应的m的取值范围（用含m的代数式表示）； （4）若代数式（m为常数）的最小值为8，则m的值为 ． 【答案】（1）4，3，；（2）7；（3）见解析；（4）3或5 【分析】（1）根据数轴上两点距离公式进行求解即可； （2）分当时，当时，当时，三种情况去绝对值进行求解即可； （3）分当时，当时，当时，三种情况根据（2）的结论进行求解即可； （4）当时， 当时，当时，根据（2）的结论求出的最小值，然后建立方程求解即可； 【详解】解：（1）若，则； 若，则； 一般地，； 故答案为：4，3，； （2）当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，有最小值7， 故答案为：7； （3）当时，由（2）可知当时， 的最值为， ∵当时，有最小值0， ∴当时，有最小值，最小值为； 当时，由（2）可知，当时， 的最值为7， ∵当时，有最小值0， ∴当时，有最小值，最小值为； 当时，由（2）可知，当时， 的最值为， ∵当时，有最小值0， ∴当时，有最小值，最小值为； （4） ， 当时，由（2）可知的最小值为7， 当时，由（2）可知的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∵代数式（m为常数）的最小值为8， ∴， ∴； 当时，同理可得当时，有最小值，不符合题意； 当时，同理可得当时，的最小值为， 解得； 综上所述，m的值为3或5． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，绝对值的意义，正确推出在时，有最小值是解题的关键． 30．已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足．    (1)比较大小： 0， 0， 0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)＜，＝ ，＜ (2) (3) 【分析】本题考查有理数的大小比较、数轴、绝对值等知识， （1）根据数轴上的点左边的数比右边的数小和，即可判断； （2）利用绝对值的性质化简即可解决问题； （3）利用绝对值的性质化简即可解决问题 【详解】（1）解：由数轴可得：， ∵， ∴，，； （2）解：原式＝ ＝ （3）解：原式＝ ＝ ＝ ( 15 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$