24.1.4圆周角（1）（六大类型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

24.1.4圆周角（1）（六大类型提分练） 类型一、圆周角的概念 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题题考查了圆周角定理、以及弦、弧、圆心角的概念和联系．解题的关键是熟记与正确理解定义与定理．根据相关概念与知识点之间的联系，逐项判断．即可解题． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧相等，所对的劣弧相等，故选项错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； D、等弧一定是在同圆或等圆中， 等弧所对的弦相等，故选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交， 故图中的圆周角有和，共个， 故选：B． 3．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 类型二、圆周角定理 4．（23-24九年级上·四川广安·期中）下列说法中，正确的个数是（　　） （1）三点确定一个圆；（2）优弧大于劣弧；（3）圆中的角所对的弦是直径；（4）相等的圆心角所对的弦相等；（5）等弧所对的弦相等；（6）平分弦的直径平分弦所对的弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．也考查了圆的认识、垂径定理和圆心角、弧、弦的关系． 根据确定圆的条件对（1）（2）进行判断；根据圆周角定理对（3）进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对（4）（5）进行判断；根据角平分线对（6）进行判断； 【详解】解：不共线的三点确定一个圆，所以（1）错误； 在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，所以（2）错误； 圆中的圆周角所对的弦是直径；所以（3）错误； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以（4）错误； 能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；所以（5）正确； 平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，所以（6）错误； 故选：A 5．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，中，点是的中点，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理．由圆周角定理得到，即可求出的度数． 【详解】解：点为的中点， ， ， ， ， 故选：C． 6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的弦，相交于点E，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形外角的定义及性质，连接，由圆周角定理可得，，再由三角形外角的定义及性质即可得出答案． 【详解】解：如图：连接， ， ∵，， ∴由圆周角定理可得：，， ∴， 故选：A． 类型三、同弧或等弧所对的圆周角相等 7．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，已知是的直径，C 是圆上一点，点D 是 弧中 点，若．则为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，先由直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理得到，再由同弧或等弧所对的圆周角相等得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直径， ∴，   ∵， ∴， ∴， ∵点 D 是弧中点， ∴， ∴， ∴， 故选： C． 8．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，为的直径，为的弦，D为上一点，且，连接，若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形判定和性质，连接，交于点，易得垂直平分，利用勾股定理求出的长，得到为等腰直角三角形，得到，圆周角定理，得到，，利用三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：连接，交于点，则：， ∵， ∴垂直平分，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∴； 故选C 9．（23-24九年级下·山东青岛·开学考试）如图，为的直径，点、、在上，且，，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了圆的性质，等弧所对的圆周角相等，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，，利用圆周角定理求出，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出，即可得出答案． 【详解】如图，连接，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 类型四、直径所对的圆周角是直角 10．（2024·山西长治·模拟预测）如图，已知和内接于，AB是的直径，，则的度数是（    ） A．64° B．32° C．26° D．36° 【答案】C 【分析】此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，由是的直径，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】是的直径， ， ， ， ， 故选：C． 11．（2024·山西·模拟预测）如图，是的直径，C，D为上两点，且平分，连接，，若则的度数为 ． 【答案】29 【分析】本题考查了圆周角定理和角平分线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理，，，，可得，又平分，可得，由此求得． 【详解】解： ， ， 为的直径， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． 12．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图， 切 于点 ， 交 于点 ，且 为 的直径，点 是 上异于点 ， 的一点．若 ，则 的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，以及同角的余角相等，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接． 由题意知 ， ，， ， ． 故答案为： 类型五、利用圆周角的性质证明线段相等 13．（2022·宁夏固原·模拟预测）如图，图中两条弦相交于点E，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定和性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到，证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算，证明结论． 【详解】证明：由圆周角定理得，， 在和中， ， ∴， ， ， 即． 14．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知、为的两条弦，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了圆周角定理，同弧所对的弦是相等的，据此即可作答． 【详解】解：∵、为的两条弦， ∴ ∴ ∴ 15．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，A，P，B，C是上的四个点，．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定及圆周角定理，根据圆周角定理可得，，进而可求证结论，熟练掌握圆周角定理及等边三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：， ，， 是等边三角形． 类型六、圆周角的性质综合问题 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点 (1)求证：； (2)若 ，的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用，可得，再根据圆内接四边形性质可得，即可得到结论； （2）利用，可得，根据圆周角定理得到，再根据直角三角形两锐角互余即可得到的度数； 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 即： （2）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握垂径定理是是解决本题的关键． 17．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，，连接 (1)求的度数； (2)若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）先由圆内接四边形得出再结合圆周角定理，即可作答． （2）因为弧与弧相等，所以，则，证明等边三角形，所以，即可证明四边形是菱形； 【详解】（1）∵四边形内接于， ∴ ∴ （2）解：如图：连接 ∵弧与弧相等 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴等边三角形， ∴ 四边形是菱形； 【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）如图，已知的内接，为直径，于点，连接． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查圆周角定理，由圆周角定理，推出，，由垂直的定义得到，由三角形内角和定理推出． 【详解】是圆的直径， ， ∴， ， ， ∴， ， ． 19．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为的直径，是弦延长线上一点，，的延长线交于点，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，灵活运用所学知识是解题关键． （1）如图：连接，先证明，再根据等腰三角形的性质以及等量代换即可证明结论； （2）根据的度数为可得到，根据且即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， 是的直径， ， 又， ， ， ， ； （2）解：的度数为， ， 又，， ． 一、单选题 1．（2023·河南洛阳·模拟预测）如图，点，，在上，，连结，过作交于点，交于点，若点是半径中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，连接，利用余弦的定义求出，再根据圆周角定理得到，最后由角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵点是半径中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）如图，点A、B、C、D、E 都在上，是直径，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键. 连接，根据平行线的性质求出根据圆周角定理得到进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可. 【详解】解：如图, 连接, ， ， ∵是的直径, ， ， ∵四边形为的内接四边形， ， ， 故选: . 3．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）点是的外心，若，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念以及圆周角定理，掌握三角形的外心的概念、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．根据题意画出图形、运用分情况讨论思想和圆周角定理解得即可． 【详解】解：，， ， ， 当是锐角三角形时，， 当是钝角三角形时，． 故选：C．    4．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得出，则，根据圆周角定理求出，再根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，四边形内接于，为的直径，，，D为弧的中点，M是弦上任意一点（不与端点A、C重合），连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】过点作于，过点作于，连接，根据圆周角定理可证，则，故，从而的最小值为的长，再利用三角函数计算即可． 【详解】解：过点作于，过点作于，连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为的长， 为弧的中点， ， 在中，， ， 的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，特殊角的三角函数，垂线段最短等知识，将的最小值转化为的长是解题的关键． 二、填空题 6．（20-21九年级上·江苏扬州·阶段练习）在半径为1的 中，弦 的长等于的半径，则弦所对圆周角等于 ． 【答案】或 【分析】此题考查了圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．首先根据题意画出图形，再根据“中的弦长等于半径长”得到等边三角形，则弦所对的圆心角为度，要求这条弦所对的圆周角分两种情况：圆周角的顶点在弦所对的劣弧或优弧上，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可求出两种类型的圆周角． 【详解】解：如图， ∵为的弦，且， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 都是弦所对的圆周角．所以圆的弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角是或． 故答案为：或． 7．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，正确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键；连接，由于为的直径，由圆周角定理可知，则，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，由四边形是的内接四边形得到，由此得解． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴，即； 又∵，， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴ 故答案为：． 8．（2024·内蒙古乌海·一模）如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质，同弧所对的圆周角相等．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质，同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 由是直径，可得，由题意知，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是直径， ∴， 由题意知，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，是半圆的直径，，点在半圆上，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】连接，取的中点，连接，由题意先判断出点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值，然后利用勾股定理，求出的长，再利用勾股定理，求出的长，再利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出的长，再由，即可算出的长． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， ∵， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值， ∵是直径， ∴， 在中， ∵，， ∴由勾股定理得：， ∵为的中点， ∴， 在中， ∵，， ∴由勾股定理得：， 又∵，且点为的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能够判断出动点的运动轨迹是解本题的关键． 三、解答题 10．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，以为直径的与分别相交于点D、E，连接． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质解答； （2）连接，根据圆周角定理得到，计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）连接． ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴． 11．（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，为圆O直径，C为圆上一点，连接． (1)尺规作图：作的中点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过点作于，交于，即可得解； （2）由圆周角定理得出，由勾股定理得出，由垂径定理得出，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作． （2）解：设交于． ∵是直径， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（23-24九年级下·辽宁锦州·开学考试）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，即平分． ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴是直径， ∴； （2）解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13．（沪科版2023-2024学年九年级上册数学期末模拟试卷）已知四边形内接于⊙O，对角线是⊙O的直径． (1)如图1，连接、，若，求证：平分； (2)如图2，E为⊙O内一点，满足，．若，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）由垂径定理证出，则可得出结论． （2）延长交于M，延长交于N，证明四边形是平行四边形，则，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即平分． （2）延长交于M，延长交于N， ∵，， ∴， ∵是⊙O的直径， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． ( 25 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1.4圆周角（1）（六大类型提分练） 类型一、圆周角的概念 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 类型二、圆周角定理 4．（23-24九年级上·四川广安·期中）下列说法中，正确的个数是（　　） （1）三点确定一个圆；（2）优弧大于劣弧；（3）圆中的角所对的弦是直径；（4）相等的圆心角所对的弦相等；（5）等弧所对的弦相等；（6）平分弦的直径平分弦所对的弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，中，点是的中点，若，则（  ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的弦，相交于点E，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 类型三、同弧或等弧所对的圆周角相等 7．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，已知是的直径，C 是圆上一点，点D 是 弧中 点，若．则为 （   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，为的直径，为的弦，D为上一点，且，连接，若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 9．（23-24九年级下·山东青岛·开学考试）如图，为的直径，点、、在上，且，，则的度数为 ． 类型四、直径所对的圆周角是直角 10．（2024·山西长治·模拟预测）如图，已知和内接于，AB是的直径，，则的度数是（    ） A．64° B．32° C．26° D．36° 11．（2024·山西·模拟预测）如图，是的直径，C，D为上两点，且平分，连接，，若则的度数为 ． 12．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图， 切 于点 ， 交 于点 ，且 为 的直径，点 是 上异于点 ， 的一点．若 ，则 的度数为 ． 类型五、利用圆周角的性质证明线段相等 13．（2022·宁夏固原·模拟预测）如图，图中两条弦相交于点E，且，求证：． 14．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知、为的两条弦，，求证：． 15．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，A，P，B，C是上的四个点，．求证：是等边三角形．    类型六、圆周角的性质综合问题 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点 (1)求证：； (2)若 ，的度数为，求的度数． 17．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，，连接 (1)求的度数； (2)若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 18．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）如图，已知的内接，为直径，于点，连接． 求证：． 19．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为的直径，是弦延长线上一点，，的延长线交于点，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，求的度数． 一、单选题 1．（2023·河南洛阳·模拟预测）如图，点，，在上，，连结，过作交于点，交于点，若点是半径中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）如图，点A、B、C、D、E 都在上，是直径，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）点是的外心，若，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 4．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，四边形内接于，为的直径，，，D为弧的中点，M是弦上任意一点（不与端点A、C重合），连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D．4 二、填空题 6．（20-21九年级上·江苏扬州·阶段练习）在半径为1的 中，弦 的长等于的半径，则弦所对圆周角等于 ． 7．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则的度数为 ． 8．（2024·内蒙古乌海·一模）如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，，若，，则的度数为 ． 9．（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，是半圆的直径，，点在半圆上，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ． 三、解答题 10．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，以为直径的与分别相交于点D、E，连接． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 11．（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，为圆O直径，C为圆上一点，连接． (1)尺规作图：作的中点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，在（1）的条件下，求的长． 12．（23-24九年级下·辽宁锦州·开学考试）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 13．（沪科版2023-2024学年九年级上册数学期末模拟试卷）已知四边形内接于⊙O，对角线是⊙O的直径． (1)如图1，连接、，若，求证：平分； (2)如图2，E为⊙O内一点，满足，．若，，求弦的长． ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$