4.1.2 比较线段长短 学案 2024-2025学年北师大版七年级数学上册

第四章《基本平面图形》---4.1.2比较线段的长短 教学目标 1) 能够熟练运用度量法、叠合法等数学工具和方法，准确比较两条线段的长短，并能在实际情境中应用这些方法进行判断； 2) 理解“两点之间线段最短”的几何事实：学生能够理解并应用这一基本事实，解释现实生活中的相关现象，如为什么人们倾向于选择直线路径而非曲线路径； 3) 通过动手操作，积累实践经验：通过尺规作图、测量等实践活动，学生能够亲身体验比较线段长短的过程，积累操作经验，提高动手能力；能够运用逻辑推理的方法，分析线段、射线和直线之间的关系，以及它们在实际问题中的应用，从而培养解决实际问题的能力。 重点：掌握比较线段长短的方法：包括度量法、叠合法等，这些方法在实际生活中有广泛应用，因此掌握它们对于培养学生的数学素养具有重要意义。 难点：用准确的几何语言描述线段、射线和直线的性质及它们之间的关系可能存在一定的困难。 课堂探究 基础知识导读1：比较线段的长短 理论知识固然重要，但动手实践才是检验真理的唯一标准。在本节课中，我们将通过一系列精心设计的实践活动，让你亲身体验比较线段长短的过程。无论是使用尺子进行度量，还是利用叠合法进行直观比较，你都能在活动中找到乐趣，感受到数学的魅力。同时，这些实践活动也将帮助你巩固所学知识，提高你的动手能力和解决问题的能力。让我们携手并进，在探索线段长短之路上留下坚实的足迹吧！ 我们知道直线、射线、线段中，直线和射线都是无限延伸的，所以是无法测量其大小的，而线段有两个端点，从生活中距离的角度思考，线段是有长度的，可测量的，可以比较大小的． 那么如何比较两条线段的大小呢？ 比较两条线段、的长短，我们把它们移到同一条直线上，使两条线段的一个端点和重合，另一个端点和落在直线上和的同侧（图2-10）．如果点和重合（图2-10（1）），就说线段和相等，记作．如果点在线段上且不与点重合（图2-10（2）），就说线段大于，记作．如果点在线段的延长线上（图2-10（3）），就说线段小于，记作． 图2-10 用刻度尺量一条线段的长度，实际上就是看这条线段与刻度尺上哪一条线段相等．例如图2-11中线段与刻度尺上长度是1．8厘米的线段相等．量出了线段的长度，也就可以按照长度来比较它们的大小了，线段的大小关系和它们长度的大小关系是一致的．所以，线段大小的比较不仅可以从“图形”上去判断，也可以从“数量”上去比较． 图2-11 既然线段有大小，那么我们就可以研究线段的和、差、倍、分关系． 设线段（图2-12），在直线上画线段，再在的延长线上画线段，线段就是和的和，记作．如果在线段上画线段，那么线段就是与的差，记作． 基础知识导读2：线段的中点 如图2-13（1），点把线段分成相等的两条线段与，点是线段的中点．类似地，还有线段的三等分点、四等分点等（图2-13（2）（3））． 线段的中点定义：文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点. 图形语言： 符号语言： ∵ M是线段AB的中点 ∴ ， 【例1】 已知线段，在的延长线上取一点，使，再在的延长线上取一点，使． （1）线段等于线段的几倍？ （2）线段等于线段的几分之几？ （3）线段等于线段的几分之几？ 把两点、用线段和其他不同形状的线连起来（如图2-15），然后把这些线拉直进行比较，可以发现线段有下面性质：联接两点的所有线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短． 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离(distance)． 【例2】 设线段的长为16，、为上任意两点，点到的距离是6，、分别为、的中点．求的长． 分析：由于此题中、为上任意两点，点到的距离是6，因此要注意分两种情况讨论，见图（1）和图（2），点、相对于点的位置有两种可能． 课堂练习 一、单选题 1. 如图，从A到B有①，②，③三条路线，最短的路线是①，其理由是（    ） A．因为它最直 B．两点确定一条直线 C．两点间的距离的概念 D．两点之间，线段最短 2. 如图，C，D为线段上的两点，且，E是线段的中点，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 3. 已知点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 4. 下列说法中正确的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．延长线段和延长线段的含义是相同的 C．若，，三点在同一直线上，且，则点是线段的中点 D．连结两点的线段长度叫做两点间的距离 5. 如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 6. 将线段延长到点，使得，若，点为线段的中点，则的长为 ． 三、解答题 7. A，B，C，D四个车站的位置如图所示．求：(1)A，D两站的距离；(2)C，D两站的距离；(3)若，C为的中点，求b的值． 8. 已知线段．(1)若点是线段上一点，，则的长为_________；(2)若点是线段的中点，则的长为_________；(3)若点是线段的一个三等分点，则的长为_________． 9. 如图，是线段的中点，且cm，，分别是线段，上的点，，，求线段的长． 10. 如图，已知长度为m、n（）的两条线段．(1)尺规作图：作线段，其中（保留作图痕迹，不写作法）．(2)在（1）的条件下，若点D是线段的中点，当时，求线段的长度． 11. 如图，已知、在线段上．(1)图中共有_______条线段；(2)若．①比较线段的长短： _______ （填：“”、“”或“”）；②若，，是的中点，是的中点，求的长度．(3)若与长度不相等，是的中点，是的中点，设，．请用含有，的代数式表示的长度．（直接写出结果） 12. 如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点．(1)求线段的长度；(2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度；(3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时：①点P恰好为线段的中点？②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$