2.1 等式性质与不等式性质（七大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

2．1 等式性质与不等式性质 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：用不等式（组）表示不等关系 4 题型二：作差法比较两数（式）的大小 5 题型三：作商法比较两数（式）的大小 6 题型四：利用不等式的性质判断命题真假 7 题型五：利用不等式的性质证明不等式 8 题型六：利用不等式的性质比较大小 9 题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 10 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： （3）可乘方性： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 【典型例题】 题型一：用不等式（组）表示不等关系 【典例1-1】（2024·高一·全国·课后作业）下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 将不等关系表示成不等式（组）的思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量． （2）用适当的不等号连接． （3）多个不等关系用不等式组表示． 【变式1-1】（2024·高二·陕西渭南·期末）某体育器材公司投资一项新产品，先投资本金a（）元，得到的利润为b（）元，收益率为（%），假设在该投资的基础上，此公司再追加投资x（）元，得到的利润也增加了x元，若使得该项投资的总收益率是增加的，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高一·全国·课后作业）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高一·河北邢台·阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 题型二：作差法比较两数（式）的大小 【典例2-1】（2024·高一·全国·随堂练习）若，设，，则M，N的大小关系是 ． 【典例2-2】（2024·高一·上海·随堂练习）比较大小： ． 【方法技巧与总结】 作差法比较大小的步骤 【变式2-1】（2024·高一·上海·随堂练习）已知，，记，，则M与N的大小关系是 ． 【变式2-2】（2024·高一·上海·假期作业）（1） ;    （2） ; （3） ;      （4） ,; （5） 【变式2-3】（2024·高一·上海·课后作业）设，，，则，，，的大小顺序是 ． 【变式2-4】（2024·高一·上海·课堂例题）设x是实数，比较与的值的大小. 【变式2-5】（2024·高一·上海·课堂例题）已知是实数， (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)求证：如果，那么. 题型三：作商法比较两数（式）的大小 【典例3-1】（2024·高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【典例3-2】（2024·高一·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 【方法技巧与总结】 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）若，求证：． 【变式3-2】（2024·高一·上海·专题练习）已知，比较与的大小 【变式3-3】（2024·高一·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 题型四：利用不等式的性质判断命题真假 【典例4-1】（2024·高一·湖北·期中）若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·高一·山西朔州·阶段练习）如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 运用不等式的性质判断真假的技巧 （1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． （2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 【变式4-1】（2024·高二·云南昭通·阶段练习）已知，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高一·上海·单元测试）若，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·高一·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-4】（2024·高一·北京·期末）已知、、，则下列选项可能成立的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、， 题型五：利用不等式的性质证明不等式 【典例5-1】（2024·高一·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【典例5-2】（2024·高一·上海·课堂例题）已知实数a、b、c满足，且.求证：且. 【方法技巧与总结】 对利用不等式的性质证明不等式的说明 （1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b>0⇒a>b；a-b=0⇒a=b；a-b<0⇒a<b．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础． （2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系． （3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用． 【变式5-1】（2024·高一·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 【变式5-2】（2024·高一·上海·假期作业）（1）已知，，求证：； （2）已知，求证：，其中为正整数. 【变式5-3】（2024·高一·上海·假期作业）已知，证明：若，则或. 【变式5-4】（2024·高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：. 【变式5-5】（2024·高一·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【变式5-6】（2024·高一·安徽·阶段练习）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 题型六：利用不等式的性质比较大小 【典例6-1】（多选题）（2024·高一·广西·开学考试）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】（多选题）（2024·高一·河南郑州·阶段练习）若， 则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 注意点： ①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 【变式6-1】（多选题）（2024·高一·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式6-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（多选题）（2024·高一·江苏常州·期中）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．为互不相等的正数，且，则 【变式6-4】（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【典例7-1】（2024·高三·江苏连云港·阶段练习）已知，，则的范围是 . 【典例7-2】（2024·高一·全国·课后作业）若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是（    ） A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5 C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4 【方法技巧与总结】 利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 【变式7-1】（2024·高一·河南·期中）已知实数x，y满足，，则的范围为 ． 【变式7-2】（多选题）（2024·高一·四川成都·阶段练习）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【变式7-3】（2024·高一·浙江·期末）已知，，则的范围是 ，的范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2．1 等式性质与不等式性质 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：用不等式（组）表示不等关系 4 题型二：作差法比较两数（式）的大小 5 题型三：作商法比较两数（式）的大小 8 题型四：利用不等式的性质判断命题真假 11 题型五：利用不等式的性质证明不等式 13 题型六：利用不等式的性质比较大小 15 题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 18 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： （3）可乘方性： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 【典型例题】 题型一：用不等式（组）表示不等关系 【典例1-1】（2024·高一·全国·课后作业）下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为非正数小于等于0，则能表示“a与b的和是非正数”的不等式为. 故选：C. 【典例1-2】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 【方法技巧与总结】 将不等关系表示成不等式（组）的思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量． （2）用适当的不等号连接． （3）多个不等关系用不等式组表示． 【变式1-1】（2024·高二·陕西渭南·期末）某体育器材公司投资一项新产品，先投资本金a（）元，得到的利润为b（）元，收益率为（%），假设在该投资的基础上，此公司再追加投资x（）元，得到的利润也增加了x元，若使得该项投资的总收益率是增加的，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若使得该项投资的总收益率是增加的，则，， 得. 故选：C 【变式1-2】（2024·高一·全国·课后作业）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，请工人满足的关系式是， 即. 故选：D 【变式1-3】（2024·高一·河北邢台·阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知导火索的长度（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒， 人在此时间内跑的路程为米，由题意可得. 故选：B. 题型二：作差法比较两数（式）的大小 【典例2-1】（2024·高一·全国·随堂练习）若，设，，则M，N的大小关系是 ． 【答案】 【解析】因为，， 则， 且，则， 可得，即. 故答案为：. 【典例2-2】（2024·高一·上海·随堂练习）比较大小： ． 【答案】＞ 【解析】因为， 所以. 故答案为：>. 【方法技巧与总结】 作差法比较大小的步骤 【变式2-1】（2024·高一·上海·随堂练习）已知，，记，，则M与N的大小关系是 ． 【答案】 【解析】因为，且，， 所以． 故答案为：. 【变式2-2】（2024·高一·上海·假期作业）（1） ;    （2） ; （3） ;      （4） ,; （5） 【答案】 < < < > > 【解析】（1）因为, 所以; （2）因为, 所以; （3）因为, 所以; （4）, 因为,所以, 则; （5）, 因为,所以, 则. 故答案为:（1）;（2）;（3）;（4）;（5）. 【变式2-3】（2024·高一·上海·课后作业）设，，，则，，，的大小顺序是 ． 【答案】 【解析】方法一：特殊值法  取，，，， 则，，，，则． 方法二：作差法 因为，，，所以， 所以， 所以． 因为，，， 所以，， 所以，，所以． 或，所以． ，所以． 所以． 故答案为： 【变式2-4】（2024·高一·上海·课堂例题）设x是实数，比较与的值的大小. 【解析】，， 因为，所以， 即. 【变式2-5】（2024·高一·上海·课堂例题）已知是实数， (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)求证：如果，那么. 【解析】（1）因为， 当且仅当，即时，等号成立； （2）因为，则，又（等号不成立）， 所以，故. 题型三：作商法比较两数（式）的大小 【典例3-1】（2024·高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【解析】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【典例3-2】（2024·高一·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 【解析】， ， ， . 【方法技巧与总结】 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）若，求证：． 【解析】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 【变式3-2】（2024·高一·上海·专题练习）已知，比较与的大小 【解析】, 同理，, 从而， 即>. 【变式3-3】（2024·高一·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【解析】① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 题型四：利用不等式的性质判断命题真假 【典例4-1】（2024·高一·湖北·期中）若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，若，则，但、（因为无意义）、不成立，故ABD错误； 由易得C项正确. 故选：C. 【典例4-2】（2024·高一·山西朔州·阶段练习）如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如果，， 对于A，，，故A错误； 对于B，，即，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D，，即，故D错误. 故选：C. 【方法技巧与总结】 运用不等式的性质判断真假的技巧 （1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． （2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 【变式4-1】（2024·高二·云南昭通·阶段练习）已知，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，取，则满足，但，故A错误； 对B，根据不等式性质，故B正确； 对C，取，则，故C错误； 对D，取，则，故D错误. 故选：B. 【变式4-2】（2024·高一·上海·单元测试）若，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对A：由，，则，故A正确； 对B：取，，则有，故B错误； 对C：取，，则有，故C错误； 对D：取，，则有，故D错误. 故选：A. 【变式4-3】（2024·高一·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】对于A，取，则，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于C，， 由，得，所以，故C正确； 对于D，由，得，又，所以，故D正确． 故选：A． 【变式4-4】（2024·高一·北京·期末）已知、、，则下列选项可能成立的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、， 【答案】C 【解析】因为、，故，排除BD； 因为，所以，， 又，所以， 故A错误，C正确. 故选：C 题型五：利用不等式的性质证明不等式 【典例5-1】（2024·高一·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【解析】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 【典例5-2】（2024·高一·上海·课堂例题）已知实数a、b、c满足，且.求证：且. 【解析】由于实数a、b、c满足，且， 所以，即， ，即， 综上，且 【方法技巧与总结】 对利用不等式的性质证明不等式的说明 （1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b>0⇒a>b；a-b=0⇒a=b；a-b<0⇒a<b．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础． （2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系． （3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用． 【变式5-1】（2024·高一·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 【解析】（1）由，得，则， 又，则，即， 不等式两边同乘，得， 而，所以． （2）由，，得，即， 又，所以． 【变式5-2】（2024·高一·上海·假期作业）（1）已知，，求证：； （2）已知，求证：，其中为正整数. 【解析】（1），，由不等式的传递性，得. （2）将（1）结论中的换成，换成，就得到 结合，再次利用（1）的结论，可得，反复运用（1）的结论，最终就得到. 【变式5-3】（2024·高一·上海·假期作业）已知，证明：若，则或. 【解析】假设且，则，与已知矛盾， 所以假设不成立，故或. 【变式5-4】（2024·高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：. 【解析】证明：因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 【变式5-5】（2024·高一·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【解析】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 【变式5-6】（2024·高一·安徽·阶段练习）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 【解析】（1）因为， 作差得 ， 因为，，所以，， 所以，即； （2）因为，且，，， 所以， 所以 所以， 所以， 所以， 故. 题型六：利用不等式的性质比较大小 【典例6-1】（多选题）（2024·高一·广西·开学考试）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，由，得，所以，所以，则A正确； 对于B，当时，，则B错误； 对于C，由，得，所以，则C正确； 对于D，当时，，此时，则D错误. 故选：AC 【典例6-2】（多选题）（2024·高一·河南郑州·阶段练习）若， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】A选项，不妨令，，此时，A错误； B选项，因为，所以，B正确． C选项，由不等式的性质得，C正确． D选项，当时，，D错误． 故选：BC 【方法技巧与总结】 注意点： ①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 【变式6-1】（多选题）（2024·高一·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【解析】对于A，若，则，故A错误； 对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确； 对于C，利用作差法知， 由，，知， 即，故C正确； 对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确. 故选：BCD 【变式6-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为，所以，故A项错误，C项正确； ，则B项正确； ，则D项错误， 故选：BC 【变式6-3】（多选题）（2024·高一·江苏常州·期中）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．为互不相等的正数，且，则 【答案】ACD 【解析】对于A，由，知，由不等式的性质可得，，因此A正确； 对于B，令，则，， 显然，因此B错误； 对于C，由，又，， 则，即，因此C正确； 对于D，由为互不相等的正数，则，又，， 即，，即，， 又， ，即，因此D正确； 故选：ACD. 【变式6-4】（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于A，若，则，否则，矛盾，所以，所以，故A正确； 对于B，若，则，即，故B正确； 对于C，若，则， 因为当且仅当，所以显然不可能（因为）， 所以，所以，即，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：ABC. 题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【典例7-1】（2024·高三·江苏连云港·阶段练习）已知，，则的范围是 . 【答案】 【解析】设，其中、， 则，解得，所以，， 因为，，则，， 由不等式的基本性质可得，即. 故答案为：. 【典例7-2】（2024·高一·全国·课后作业）若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是（    ） A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5 C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4 【答案】C 【解析】∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0. 又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3. 故选：C. 【方法技巧与总结】 利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 【变式7-1】（2024·高一·河南·期中）已知实数x，y满足，，则的范围为 ． 【答案】 【解析】设，则，解得， ∴ ∵，∴， ∵，∴ ∴． 【变式7-2】（多选题）（2024·高一·四川成都·阶段练习）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【答案】ABC 【解析】因为实数、满足：，由不等式的可加性可得，解得，A对； 由题意可得，由不等式的可加性可得，解得，B对； 设，则，解得， 所以，， 因为，由不等式的可加性可得，C对D错. 故选：ABC. 【变式7-3】（2024·高一·浙江·期末）已知，，则的范围是 ，的范围是 ． 【答案】 【解析】，，两个不等式相加可得，解得， 设， 所以，，解得，， 因为，， 由不等式的基本性质可得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2．1 等式性质与不等式性质 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 知识点一、比较大小基本方法 稿定PPT 作差法 (a，b∈R). a－b>0⇔a b， a－b＝0⇔a b， a－b<0⇔a b > < ＝ 作商法 ⇔a b， ⇔a b， ⇔a b > < ＝ 知识梳理 知识点二、不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔ ； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒ ； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ ；a>b，c<0⇒ ； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒ ； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ ； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). b<a a>c ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd 03 典型例题 【典例1-1】（2024·高一·全国·课后作业）下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为非正数小于等于0， 则能表示“a与b的和是非正数”的不等式为. 故选：C. 题型一：用不等式（组）表示不等关系 典型例题 【典例1-2】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 【方法技巧与总结】 将不等关系表示成不等式（组）的思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量． （2）用适当的不等号连接． （3）多个不等关系用不等式组表示． 题型一：用不等式（组）表示不等关系 典型例题 【变式1-1】（2024·高二·陕西渭南·期末）某体育器材公司投资一项新产品，先投资本金a（）元，得到的利润为b（）元，收益率为（%），假设在该投资的基础上，此公司再追加投资x（）元，得到的利润也增加了x元，若使得该项投资的总收益率是增加的，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若使得该项投资的总收益率是增加的， 则，， 得. 故选：C 题型一：用不等式（组）表示不等关系 典型例题 【典例2-1】（2024·高一·全国·随堂练习）若，设，，则M，N的大小关系是 ． 【答案】 【解析】因为，， 则， 且，则， 可得，即. 故答案为：. 题型二：作差法比较两数（式）的大小 典型例题 【典例2-2】（2024·高一·上海·随堂练习）比较大小： ． 【答案】＞ 【解析】因为， 所以. 故答案为：>. 【方法技巧与总结】 作差法比较大小的步骤 题型二：作差法比较两数（式）的大小 典型例题 【变式2-1】（2024·高一·上海·随堂练习）已知0<a<1，0<<1，记，，则M与N的大小关系是 ． 【答案】 【解析】因为， 且0<a<1，0<<1 ， 所以． 故答案为：. 题型二：作差法比较两数（式）的大小 典型例题 【典例3-1】（2024·高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【解析】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 题型三：作商法比较两数（式）的大小 典型例题 【典例3-2】（2024·高一·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 【解析】， ， ， . 【方法技巧与总结】 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①；②；③． 题型三：作商法比较两数（式）的大小 典型例题 【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）若，求证：． 【解析】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 题型三：作商法比较两数（式）的大小 典型例题 【典例4-1】（2024·高一·湖北·期中）若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，若， 则，但、（因为无意义）、不成立，故ABD错误； 由易得C项正确. 故选：C. 题型四：利用不等式的性质判断命题真假 典型例题 【典例4-2】（2024·高一·山西朔州·阶段练习）如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如果，， 对于A，，，故A错误； 对于B，，即，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D，，即，故D错误. 故选：C. 题型四：利用不等式的性质判断命题真假 【方法技巧与总结】 运用不等式的性质判断真假的技巧 （1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． （2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 典型例题 【变式4-1】（2024·高二·云南昭通·阶段练习）已知，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，取，则满足，但，故A错误； 对B，根据不等式性质，故B正确； 对C，取，则，故C错误； 对D，取，则，故D错误. 故选：B. 题型四：利用不等式的性质判断命题真假 典型例题 【典例5-1】(1)已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【解析】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为，所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立，所以成立． 题型五：利用不等式的性质证明不等式 典型例题 【典例5-2】（2024·高一·上海·课堂例题）已知实数a、b、c满足，且.求证：且. 【解析】由于实数a、b、c满足，且， 所以，即， ，即， 综上，且 【方法技巧与总结】 对利用不等式的性质证明不等式的说明 （1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b>0⇒a>b；a-b=0⇒a=b；a-b<0⇒a<b．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础． （2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系． （3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用． 题型五：利用不等式的性质证明不等式 典型例题 【变式5-1】（2024·高一·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 【解析】（1）由，得，则， 又，则，即， 不等式两边同乘，得， 而，所以． （2）由，，得，即， 又，所以． 题型五：利用不等式的性质证明不等式 典型例题 【典例6-1】（多选题）（2024·高一·广西·开学考试）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，由，得，所以，所以，则A正确； 对于B，当时，，则B错误； 对于C，由，得，所以，则C正确； 对于D，当时，，此时，则D错误. 故选：AC 题型六：利用不等式的性质比较大小 典型例题 【典例6-2】（多选题）（2024·高一·河南郑州·阶段练习） 若， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】A选项，不妨令，，此时，A错误； B选项，因为，所以，B正确． C选项，由不等式的性质得，C正确． D选项，当时，，D错误． 故选：BC 题型六：利用不等式的性质比较大小 【方法技巧与总结】 注意点： ①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 典型例题 【变式6-1】（多选题）（2024·高一·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【解析】对于A，若，则，故A错误； 对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确； 对于C，利用作差法知， 由，，知， 即，故C正确； 对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确. 故选：BCD 题型六：利用不等式的性质比较大小 典型例题 【典例7-1】（2024·高三·江苏连云港·阶段练习）已知，，则的范围是 . 【答案】 【解析】设，其中、， 则，解得，所以，， 因为，，则，， 由不等式的基本性质可得，即. 故答案为：. 题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 典型例题 【典例7-2】（2024·高一·全国·课后作业）若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是（    ） A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5 C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4 【答案】C 【解析】∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0. 又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.故选：C.  【方法技巧与总结】 利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 典型例题 【变式7-1】（2024·高一·河南·期中）已知实数x，y满足， ，则的范围为 ． 【答案】 【解析】设，则，解得， ∴ ∵，∴， ∵，∴ ∴． 题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2006年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））若，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（1987年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））设a，b是满足的实数，那么（    ） A． B． C． D． 3．（2003 年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））设，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2004 年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））已知，，，均为实数，有下列命题： （1）若，，则； （2）若，，则； （3）若，，则， 其中正确命题的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 C B A D $$