第3章 勾股定理——.勾股定理的相关证明与计算- 讲义 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

编号： 7 学生姓名： 年 级： 八年级 辅导科目：数学 课题 勾股定理 教学内容 【题型预览】 题型1：初识勾股圆方图 题型2： 网格构图求长度 题型3：勾股树巧求面积 题型4：归纳勾股数规律 题型5：看到平方构直角 【重点题型讲解】 题型1：初识勾股圆方图 1.勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一.中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图① 所示的“勾股圆方图”，在该图中，以弦c为边长所得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形EFGH组成的，其中BF＝a，AF＝b. （1）请利用面积相等证明勾股定理; （2）在图① 中，若大正方形ABCD的面积是13，BF＝2，求小正方形EFGH的面积; （3）图② 是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形MNKT由8个全等的直角三角形和正方形EFGH拼接而成，记图中正方形MNKT，正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3. 若S1+S2+S3＝48，求边AB的长度. 题型2： 网格构图求长度 2.问题情境: 勾股定理是几何中一个非常重要的定理，迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500多种. 学习了勾股定理后，可借助网格计算三角形的边长和面积. 操作发现: 如图① 是9×9的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.图 ① 中△ABC的顶点A，B，C都是格点，同时正方形ADEF的顶点也都在格点上，且它的边DE， EF分别经过点C，B，小磊借助此图求出了△ABC的面积. （1）在图① 中，所画出的△ABC的三边长分别是AB＝_____，BC＝_____，AC＝_____， △ABC的面积可表示为S△ABC ＝S正方形AFED -（S△AFB+_____+S△ADC）; 实践探究: （2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法.请在图② 所示的正方形网格中画出△DEF顶点都在格点上），使DE＝5，，，并计算出△DEF的面积; 思维拓展: （3）请参照解答问题过程中的思想方法，证明:对于任意正整数a，b，c，均有+≥（a+b+c）. 题型3：勾股树巧求面积 3.勾股树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形，因重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树，也叫勾股树.勾股树是由正方形和直角三角形两类图形组成的. （1）如图① ，是一株美丽的勾股树，若正方形① ，② ，③ ，④ 的边长分别是3，5，4，2，求正方形ABCD的面积; （2）如图② ，在一株最简单的勾股树中，连接FI，BG，CH，得到六边形BCHIFG，勤学小组发现△CDH与△ADE的面积相等， 解题思路如下:分别作EJ⊥AD于点J，HK⊥CD交CD的延长线于点K，由“正方形的四个角都是直角，四条边都相等“可进一步推得△EDJ≌△HDK，则△CDH与△ADE的底和高都分别相等，所以△CDH与△ADE的面积相等. 请按照勤学小组的解题思路， ① 证明:△ABG与△ADE的面积相等; ② 当DE＝2，AE＝3时，直接写出六边形BCHIFG的面积. 题型4：归纳勾股数规律 4.勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.一般地，若三角形三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝c2，那么a、b、c称为一组勾股数.那么可通过构造勾股数探索勾股数关系式，即寻找3个正整数满足“其中两数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方“，由乘法公式我们知道: （x+y）2-（x-y）2＝4xy① ， 如果能将4xy写成平方的形式，那么就符合勾股数的关系， 因此，可设x＝m2，y＝n2，① 就可化成:（m2+n2）2-（m2-n2）2＝（2mnn）2，继续化简可得:（m2+n2）]2-[（m2-n2）]2＝（mn）2， 于是，当m，n为任意正整数，且m＞n时，（m2+n2），（m2-n2），mn就是勾股数，根据这一关系，可以表示出勾股数组的公式为 ，其中m＞n，m，n是正整数. （1）若a＝6，b＝8，c＝10，求m，n的值; （2）当n＝1时，求有一边长为13的直角三角形的面积. 题型5：看到平方构直角 5.如图,在△ABC中,AB＝AC. （1）若M，N为边BC上两点，且AM＝AN，求证:BM＝CN; （2）若P为边BC上的任意一点，求证:AB2-AP2＝PB·PC; （3）若P为BC延长线上一点，那么线段AB，AP，PB，PC之间的数量关系是否能使AP2-AB2＝ PB·PC成立？如果成立，请证明;如果不成立，请说明理由. 【综合强化练习】 1.如图是一连串直角三角形演化而成的.其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝1，记S1，S2，S3，…为相应三角形的面积.则S12+S22+S32+…+Sn2（n为正整数）的值为（ ） 2.如图的阴影部分是由4个全等的直角三角形和1个正方形拼成，直线AE，DH，FG分别两两相交于点I，J，K，若直角三角形的两直角边长分别为1和2，，，则空白部分的面积为_____. 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是BC，AC上任意一点， （1）求证:AD2+BE2＝AB2+DE2; （2）若BC，AC，AB三边长分别为a，b，c，且a、b、c均为正整数，求证:a，b中必有一个是3的倍数. 4.定义:对角线互相垂直的凸四边形叫做垂直四边形.如图① ，在四边形ABCD中，若对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则称四边形ABCD为垂直四边形. （1）如图② ，四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则四边形ABCD是垂直四边形吗？若是，请加以证明;若不是，请说明理由. （2）如图① ，小明发现垂直四边形ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间满足数量关系为AD2+BC2＝AB2+CD2，请你证明这个结论; （3）如图③ ,△ABC与△CDE中,AC＝BC＝4,DC＝EC＝2,∠ACB＝∠DCE＝90°,连接AE,BD,若AE＝3，求线段BD的长度. 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$