重难点05 与圆相关的轨迹问题-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）

重难点05 与圆相关的轨迹问题 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南焦作·期中）已知点，若在直线上有唯一点满足，且有唯一点满足，则符合条件的有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 3．（23-24高二上·四川眉山·期中）在平面直角坐标系中，设点，点M在单位圆上，则使得为直角三角形的点M的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高二上·广东东莞·期中）在棱长为1的正方体中，是的中点，点在侧面所在的平面上运动.现有下列命题： ①若点总保持，则动点的轨迹是直线； ②若点到点A的距离为，则动点的轨迹是圆； ③若点到点与点的距离比为2：1，则动点的轨迹是圆； ④若点到直线与直线的距离比为2：1，则动点的轨迹是椭圆. 其中真命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题 5．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于、两点，则的可能取值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．（23-24高二上·广东佛山·期中）在平面直角坐标中，已知点，圆．若圆上存在点，使得，则实数的值可以是（    ） A． B．0 C．2 D．4 7．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知点，，动点P满足，则（    ） A．点P的轨迹方程为椭圆 B．点P到原点O的距离的最小值为2 C．△PAB面积的最大值为12 D．的最小值为-18 8．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知直线与圆交于两点，点满足，若的中点为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，是圆上一点，，则实数的可能取值为（    ） A．1 B．2 C． D． 10．（23-24高二上·河南开封·期中）过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹不可能是（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．射线 三、填空题 11．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是 ． 12．（23-24高二上·青海海东·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 . 13．（23-24高二上·北京·期中）已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为 . 14．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知A，是圆上两点，且.若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为 . 15．（23-24高二上·河南·期中）在平面直角坐标系中，点是圆上的两个动点，且满足，记中点为，则的最小值为 ． 16．（23-24高二上·四川·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，（1）圆的标准方程为 ；（2）若为圆上任意一点，则的最大值为 . 17．（23-24高三上·四川·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，若圆上存在点满足，则的取值范围是 . 四、解答题 18．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 19．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆. (1)直线截圆的弦长为，求的值. (2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由. 20．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知定点，动点满足，O为坐标原点．    (1)求动点M的轨迹方程 (2)若点B为直线上一点，过点B作圆M的切线，切点分别为C、D，若，求点B的坐标． 21．（23-24高二上·重庆·期中）已知点，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 22．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆过点和，且与直线相切． (1)求圆的方程； (2)设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程． 23．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期中）在平面直角坐标系中，已知、，动点M满足 (1)求M的轨迹方程； (2)设，点N是MC的中点，求点N的轨迹方程； 24．（23-24高二上·四川成都·期中）如图所示，有一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为8米，在边上距离点4米的处放置一个行走仪，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，行走仪行走速度为，若行走仪和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么行走仪将被机器人捕获，称点叫捕获点. (1)求在这个矩形场地内捕获点的轨迹方程； (2)若为矩形场地边上的一点，若行走仪在线段上都能逃脱，问：点的位置应在何处？ 试卷第4页，共5页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点05 与圆相关的轨迹问题 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据题设整理可得点P的轨迹方程为圆，由两圆方程消去二次项可得公共弦所在直线方程，然后由点到直线的距离公式和圆的弦长公式可得. 【详解】设，则， 整理得， 联立消去二次项得公共弦所在直线方程， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为1， 所以公共弦长为. 故选：A 2．（23-24高二上·河南焦作·期中）已知点，若在直线上有唯一点满足，且有唯一点满足，则符合条件的有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】C 【分析】根据题设确定、的轨迹圆的方程，并判断两圆的位置关系，由题意直线是两圆的公切线，即可判断条数. 【详解】若，则在以为直径的圆上，对应方程为， 令，由题设有，整理得， 所以直线与圆、均有且只有一个交点，即直线与两圆都相切， 又两圆圆心距离为5，半径之和为7，故两圆相交，它们的公切线有2条， 所以符合条件的有2条. 故选：C 3．（23-24高二上·四川眉山·期中）在平面直角坐标系中，设点，点M在单位圆上，则使得为直角三角形的点M的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】对的直角位置进行分类讨论，结合垂直关系以及圆与圆之间的位置关系即可求得不同情况下满足题意的点M的个数，综合可得共有4个. 【详解】根据题意，若为直角三角形，分以下3种情况进行讨论： ①若，则点M在过点与垂直的直线上，如下图所示：    设直线为，又可得， 所以直线的斜率为，即直线方程为，即， 此时圆心到直线的距离为， 即直线与单位圆相交，此时有两个公共点，即2个符合题意的点； ②若，则点M在过点与垂直的直线上，如下图所示：    设直线为，显然直线的斜率为，即直线方程为，即， 此时圆心到直线的距离为， 即直线与单位圆相离，此时无公共点； ③若，则点M在以直径的圆上，如下图所示：    易知的中点为，且， 即以直径的圆的方程为， 易知此时两圆心距为， 显然，即两圆相交，此时有两个符合题意的点. 综上可知，符合题意的点共有4个. 故选：D 4．（23-24高二上·广东东莞·期中）在棱长为1的正方体中，是的中点，点在侧面所在的平面上运动.现有下列命题： ①若点总保持，则动点的轨迹是直线； ②若点到点A的距离为，则动点的轨迹是圆； ③若点到点与点的距离比为2：1，则动点的轨迹是圆； ④若点到直线与直线的距离比为2：1，则动点的轨迹是椭圆. 其中真命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】证明平面，判断①，由平面，得，从而得为定值，确定轨迹，判断②，利用平面解析几何知识求解轨迹判断③，问题转化为平面上的轨迹问题判断④． 【详解】①，如图正方体中，平面，平面，∴， 又，平面，∴平面， 而平面，∴，同理， 又平面，∴平面， 而，则平面，又在平面上，所以，正确；    ②，平面，平面，∴， ∴， ∴点轨迹是以为圆心，半径为的圆，正确；    ③，在平面上，以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，，设， 由得， 整理得，∴点轨迹是圆，正确；    ④，平面，垂足为，因此到直线的距离就是的长， 因此点为平面内到点的距离等于到直线的距离的点，轨迹为抛物线，④错误； 正确的有3个， 故选：B． 二、多选题 5．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于、两点，则的可能取值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】BCD 【分析】中点为，连接，，确定点的轨迹为以为直径的圆，根据得到答案. 【详解】如图所示：中点为，连接，，故，，， 故点的轨迹为以为直径的圆，圆心为，半径为， ，，即， 则. 故选：BCD 6．（23-24高二上·广东佛山·期中）在平面直角坐标中，已知点，圆．若圆上存在点，使得，则实数的值可以是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】BC 【分析】设，求得点的轨迹方程，根据圆与圆的位置关系求得的取值范围，进而求得正确答案. 【详解】设，由得：， 整理得，所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 圆的圆心为，半径， 由于点存在，两圆有公共点， 所以，即， 其中恒成立， 由得，， 所以AD选项错误，BC选项正确. 故选：BC 7．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知点，，动点P满足，则（    ） A．点P的轨迹方程为椭圆 B．点P到原点O的距离的最小值为2 C．△PAB面积的最大值为12 D．的最小值为-18 【答案】BC 【分析】根据动点性质得点P的轨迹方程为圆，即可判断A；根据点P的轨迹确定点P到原点O的距离的最小值，及PAB面积的最大值即可判断B，C；再数量积的坐标运算即可得的最小值来判断D. 【详解】设动点，则由得：， 则化简得：，故A错误； 所以点P轨迹是圆心为，半径为4的圆，则点P到原点O的距离最小值为，故B正确； 因为A，B和点P轨迹的圆心都在x轴上，且，所以P点的纵坐标最大值为4，△PAB面积的最大值为，故C正确； 又，因为，所以，故D错误． 故选：BC. 8．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知直线与圆交于两点，点满足，若的中点为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设则，由点在圆上得，进而可得点的轨迹方程，即可求的取值范围. 【详解】 设则， 由点在圆上可得，， 则， 所以， 又因为， 所以即， 综上，，整理得，，即为点的轨迹方程， 所以在以为圆心，为半径的圆上， 所以,所以, 所以， 故选：AC. 9．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，是圆上一点，，则实数的可能取值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】BCD 【分析】由可得在以为直径的圆上，求出圆的半径和圆心，由圆与圆有公共点，则，解不等式即可得出答案. 【详解】，在以为直径的圆上，其圆心为， 半径，圆的圆心为，半径． 由题知，圆与圆有公共点，则， 即， 解得或， 故选:BCD． 10．（23-24高二上·河南开封·期中）过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹不可能是（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．射线 【答案】CD 【分析】先根据两个圆内切得到圆心间的距离为半径之差，再得到该值为定值得到轨迹为椭圆，考虑特殊情况椭圆，两焦点重合情况，此时为圆即可. 【详解】如图，设已知圆的圆心为，半径为，圆内的定点为，动圆的半径为．若点与点不重合，由于两圆相内切，则，由于，    因为，即， 所以动点C到两个定点，的距离和为常数， 又因为为圆内的定点，所以． 所以此时动点C的轨迹为椭圆； 若，重合为一点，则此时动点C的轨迹为以为直径的圆． 故选：CD 三、填空题 11．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】首先设中点坐标为，再设出相关点的坐标，代入圆的方程，即可求解. 【详解】设连线的中点为，则， 则，即. 故答案为： 12．（23-24高二上·青海海东·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式计算即得. 【详解】设点，由，得，整理得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 点到直线：的距离为， 所以点到直线最大距离为. 故答案为： 13．（23-24高二上·北京·期中）已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设出点的坐标，由勾股定理得到等式，化简后除去曲线与轴的交点得答案. 【详解】设，则， 即， 整理得：. ∵三点构成三角形，∴. ∴顶点的轨迹方程为. 故答案为：. 14．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知A，是圆上两点，且.若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知可推得，即可得出点在以为圆心，1为半径的圆上，方程为.求出直线的定点，结合方程判断，，点在以为直径的圆上，求出圆的方程为.进而得出两圆的位置关系，得出关系式，代入数据即可求出答案. 【详解】由已知可得，圆的圆心为，半径， 根据垂径定理可得，， 所以，点在以为圆心，1为半径的圆上， 方程为，半径. 由已知可得，， 解可得，所以直线过定点. 又， 解可得，所以直线过定点. 因为，所以. 又点为两直线的交点， 所以，点在以为直径的圆上. 因为，且中点， 所以，圆心，半径， 所以，圆的方程为. 综上可得，点是圆与圆的公共点， 所以两圆位置关系为相交、外切、内切， 所以，有，即. 又，所以， 解得，所以. 故答案为：.    15．（23-24高二上·河南·期中）在平面直角坐标系中，点是圆上的两个动点，且满足，记中点为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题可利用中点去研究，根据得到点的轨迹，由图形的几何特征,求出模的最值，得到本题答案. 【详解】   ∵圆， ∴，圆心，半径， ∵点在圆上，， ∴， 即，点在以为圆心，半径的圆上. ∴· ∴，即的最小值为. 故答案为：. 16．（23-24高二上·四川·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，（1）圆的标准方程为 ；（2）若为圆上任意一点，则的最大值为 . 【答案】 40 【分析】设点，用坐标表示点满足的条件得其轨迹方程，然后利用三角换元法换元代入，再由三角函数知识得最大值． 【详解】因为，点满足， 设点，则，化简得：，即； 圆的方程可化为，设， 则（） 所以的最大值为40. 故答案为：40. 17．（23-24高三上·四川·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，若圆上存在点满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求P的轨迹方程为圆，利用两圆相有公共点求解. 【详解】设，由，得， 整理得，即， 即点的轨迹为圆，圆心为，半径为2. 因为圆上存在点满足， 所以圆C与圆E有公共点， 所以，解得， 即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 18．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据，求出，代入圆的方程，可得解； （2）设，求出直线，从而得到点的坐标，化简，得证. 【详解】（1）根据题意，，， 设，则， 由于，所以， 则，得，将其代入， 得，故点的轨迹方程为； （2）设，则， 直线方程是，代入，得， 直线方程是，代入，得， 所以 ，即为定值．    【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法： （1）直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含的等式，就得到轨迹方程。 （2）相关点法：若轨迹点与已知曲线上的动点有关联，则可先列出关于的方程组，利用表示出，把代入已知曲线方程便得动点的轨迹方程。 （3）定义法：运用解析几何中一些常用定义（圆锥曲线的定义），再从曲线定义出发直接写出轨迹方程。 （4）参数法（交轨法）：如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把联系起来．其实某种意来说，交轨法也可看作参数法。 （5）点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的问题一般可用点差法， 19．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆. (1)直线截圆的弦长为，求的值. (2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由. 【答案】(1) (2)有，公共弦长为 【分析】（1）计算圆心到直线距离为，再根据弦长公式计算得到答案. （2）设，根据得到，计算圆心距得到两圆相交，确定公共弦方程，计算弦长得到答案. 【详解】（1）圆心到直线距离为，故，解得； （2），设，由得， 化简得：，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 圆心距，，两圆相交， 所以两圆有两个公共点， 由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为， 圆心到公共弦的距离为，则公共弦长为. 20．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知定点，动点满足，O为坐标原点．    (1)求动点M的轨迹方程 (2)若点B为直线上一点，过点B作圆M的切线，切点分别为C、D，若，求点B的坐标． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积的坐标表示列式，化简即得. （2）利用圆的切线性质，结合两点间的距离公式，列出方程组求解即得. 【详解】（1）依题意，， ，即， 所以的轨迹方程为. （2）由点为直线上一点，又分别与圆相切于点， 得，而，则有四边形为矩形，又， 因此四边形为正方形，由（1）知，，则，    设，则，解得或， 所以点的坐标为或. 21．（23-24高二上·重庆·期中）已知点，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设P点坐标为，根据题意结合两点间距离公式运算求解； （2）方法一：根据数量积的运算律分析可得，结合两点间距离公式可得，再根据点的轨迹结合圆的性质分析求解；方法二：分类讨论直线MN的斜率是否存在，设直线MN的方程为，，联立方程，根据向量的坐标运算结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）设P点坐标为， 由可得，化简得， 所以C的轨迹方程为. （2）因为表示圆心为，半径为2，的圆， 且，则点A的直线与C必相交， 法一：设MN的中点为， 因为，则点的轨迹是以的中点为圆心，半径为的圆， 则 ， 又因为表示点到定点的距离的平方，即， 可知，所以； 法二：当直线MN的斜率不存在时，不妨取， 此时； 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为， 联立方程，整理得， 设，则， 因为， 则 ， 因为，则，可得，所以； 综上所述：． 22．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆过点和，且与直线相切． (1)求圆的方程； (2)设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据弦的垂直平分线过圆心可知，圆心在线段的垂直平分线上，先求的垂直平分线，设圆心，半径，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，从而可求得圆心坐标，可得圆的标准方程； （2）设M点坐标为，P点坐标为，由中点坐标公式可用分别表示，将点代入圆的方程从而可得关于点M的轨迹方程． 【详解】（1）圆心显然在线段的垂直平分线上， 设圆心为，半径为，则圆的标准方程为， 由点在圆上得：， 又圆与直线相切，有． 于是，解得，或， 所以圆的标准方程为或. （2）设点坐标为，点坐标为， 由为的中点，，则，即 又点在圆上， 若圆的方程为，有， 则，整理得：， 此时点的轨迹方程为． 若圆的方程为，有， 则，整理得：， 此时点的轨迹方程为， 综上，点的轨迹方程为或. 23．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期中）在平面直角坐标系中，已知、，动点M满足 (1)求M的轨迹方程； (2)设，点N是MC的中点，求点N的轨迹方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据向量数量积求解即可得答案； （2）设，，进而根据相关点法求解即可； 【详解】（1）设，则， 所以，即 所以M的轨迹方程为. （2）设，， 因为点N是的中点， 所以，即， 又因为在上， 所以，即. 所以点N的轨迹方程为. 24．（23-24高二上·四川成都·期中）如图所示，有一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为8米，在边上距离点4米的处放置一个行走仪，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，行走仪行走速度为，若行走仪和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么行走仪将被机器人捕获，称点叫捕获点. (1)求在这个矩形场地内捕获点的轨迹方程； (2)若为矩形场地边上的一点，若行走仪在线段上都能逃脱，问：点的位置应在何处？ 【答案】(1) (2)的横坐标范围为 【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据求出轨迹方程，注意； （2）作出第一问中求出的点的轨迹，数形结合得线段与（1）中圆弧相离时，则行走仪在线段上能逃脱，设出直线方程，从而利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）分别以为轴，建立平面直角坐标系，则， 设捕获点，可得，即， 化简得，因为点需在矩形场地内， 所以，且在第一象限，解得， 故所求轨迹方程为. （2）画出点的轨迹，如图所示， 当线段与（1）中圆弧相离时，则行走仪在线段上能逃脱， 其中， 设线段的方程为， 则到直线的距离为，结合， 解得， 中，令得， 故点的横坐标取值范围是. 试卷第22页，共23页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$