重难点04 函数的奇偶性、对称性与周期性-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019必修第一册）

重难点04 函数的奇偶性、对称性与周期性 一、单项选择题 1．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 2．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽安庆·期中）函 的定义域为 ，且满足 ，若 ，则（    ） A． B． C．2 D．1 4．（23-24高一上·湖南长沙·期中）已知函数的定义域为，满足，当，且时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广东佛山·期中）函数与函数的图象关于x轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数是定义在R上的偶函数，且满足，且当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 7．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 8．（23-24高一上·重庆·期中）设定义在上函数满足为偶函数，为奇函数，，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 9．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数满足，，且，则的值为（    ） A．96 B． C．102 D． 10．（23-24高三上·河北邯郸·阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．为奇函数 D． 二、多项选择题 11．（23-24高一上·江苏南京·期中）关于函数的下列四个说法中，正确的是（    ） A．若对一切实数成立，则是增函数 B．若对一切实数成立，则 C．若对一切实数成立，则的图象关于轴对称 D．若对一切实数成立，其中且，则是奇函数或偶函数 12．（23-24高一上·湖北黄冈·期中）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·安徽池州·期中）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．函数的图象关于对称 C． D．函数的图象关于对称 14．（23-24高一上·安徽六安·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于对称 D． 15．（23-24高一上·重庆·期中）已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．在区间上单调递减 C．的图像关于直线对称 D．在区间上共有个实根 16．（23-24高一上·山东·期中）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数关于对称，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是（    ） A．在上为减函数 B．的最大值是1 C．的图象关于直线对称 D．在上有5个零点 18．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．图象关于直线对称 C．若的值域为，则 D． 19．（23-24高一上·江西九江·期中）设为定义在整数集上的函数，，对任意的整数均有．则下列正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．关于对称 D． 三、填空题 20．（23-24高一上·广东深圳·期中）定义在上的函数满足对任意的实数都有，当时，，当时，，则 . 21．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数是R上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为 . 22．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知奇函数的定义域为.若为偶函数，则 . 23．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 ． 24．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则 ． 25．（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知定义域为R的函数在上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系是 ． 26．（23-24高一上·山西·期中）已知函数，若，且，则 . 27．（23-24高一上·四川成都·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．那么，函数图象的对称中心是 ． 四、解答题 28．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知幂函数． (1)若函数在定义域上不单调，函数的图像关于对称，当时，，求函数的解析式； (2)若在R上单调递增，求函数在上的最大值． 29．（23-24高一上·河北石家庄·期中）设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数. (1)证明：函数的图象关于点对称； (2)已知函数的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 30．（23-24高一上·上海·期中）已知定义在全体实数上的函数满足：①是偶函数；②不是常值函数；③对于任何实数，都有． (1)求和的值； (2)证明：对于任何实数，都有； (3)若还满足对有，求的值． 31．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知奇函数满足，且当时，． (1)证明：； (2)求的值． 试卷第4页，共5页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点04 函数的奇偶性、对称性与周期性 一、单项选择题 1．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 【答案】B 【分析】根据奇函数的对称性，在区间上的性质，可得到函数在区间上的性质，即可求解. 【详解】由题意，奇函数在区间上是减函数，根据奇函数的对称性，可得函数在 区间上也是减函数，又由奇函数在区间上的最小值是4， 即，所以，所以函数在区间上的 最大值为， 故选：B. 2．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，确定函数图象的对称轴，再结合单调性比较大小即得. 【详解】由函数满足，得函数的图象关于直线对称， 显然，，而，在上是增函数， 因此，所以. 故选：B 3．（23-24高一上·安徽安庆·期中）函 的定义域为 ，且满足 ，若 ，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据，可得,，然后推出是周期为4的周期函数，且 ，进而求解结果. 【详解】由， 可知，， 易得 ，所以 ， 即 ， 又 ，易得 ， 又 ，则 ， 所以 是周期为4的周期函数，且 ， 综上， , ， 所以 . 故选：A 【点睛】本题根据函数的关系式推出函数的周期，求出一个周期的函数值，进而可以求解结果. 4．（23-24高一上·湖南长沙·期中）已知函数的定义域为，满足，当，且时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得函数的图象关于对称，且在上是减函数，根据函数的对称性的单调性比较大小即可. 【详解】因为，所以函数的图象关于对称， 因为当，且时，恒成立， 所以函数在上是减函数， 又，，且， 所以. 故选：D. 5．（23-24高一上·广东佛山·期中）函数与函数的图象关于x轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数和中心对称的性质求解即可. 【详解】因为是奇函数， ，即， 所以是关于对称. 由于函数与函数的图象关于x轴对称 所以的中心对称点为. 故选：B 6．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数是定义在R上的偶函数，且满足，且当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定函数的周期，再结合偶函数的性质及已知函数计算即得. 【详解】由，得，则是以4为周期的周期函数， 又函数是定义在R上的偶函数，当时，， 所以． 故选：C 7．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题设易知关于原点对称，将代入条件得，结合奇函数性质得，即，进而推出是周期为16的奇函数，利用周期性、奇函数性质求函数值. 【详解】由的图象关于点对称，则关于原点对称， 故又，，则， 由，则， 所以，故， 所以，即， 则， 综上，是周期为16的奇函数， 所以，而， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据题设得到是周期为16的奇函数为关键. 8．（23-24高一上·重庆·期中）设定义在上函数满足为偶函数，为奇函数，，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】先根据为奇函数和为偶函数得出对称轴及对称中心，再化简得出周期，最后应用已知函数值即可求解. 【详解】为偶函数，, 为奇函数，,, , , . 故选:C. 9．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数满足，，且，则的值为（    ） A．96 B． C．102 D． 【答案】C 【分析】根据题意，推得既关于成轴对称，又关于点成中心对称，由和，结合函数的对称性和周期性，即可求解. 【详解】根据题意，函数满足，可得函数关于点成中心对称， 又由函数满足，即 所以函数关于对称， 所以函数既关于成轴对称，又关于点成中心对称， 所以，且函数的周期， 又因为，所以， 可得， 所以 . 故答案为：. 10．（23-24高三上·河北邯郸·阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．为奇函数 D． 【答案】D 【分析】由题意可得，，结合时，，可判断AB；求出函数的周期，进而可判断CD. 【详解】因为为奇函数， 所以，即， 则，所以， 因为为偶函数， 所以，即， 则，故A错误； 由当时，，得， 则，故B错误； ，则， 所以， 所以，故D正确； 对于C，由，得， 若为奇函数，则也为奇函数， 令，则为奇函数，则， 又，矛盾， 所以不是奇函数，即不是奇函数，故C错误. 故选：D. 【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为. 二、多项选择题 11．（23-24高一上·江苏南京·期中）关于函数的下列四个说法中，正确的是（    ） A．若对一切实数成立，则是增函数 B．若对一切实数成立，则 C．若对一切实数成立，则的图象关于轴对称 D．若对一切实数成立，其中且，则是奇函数或偶函数 【答案】BC 【分析】取特殊函数判断AD，根据所给性质推理判断BC. 【详解】若，其中表示不超过的最大整数，显然， 即对一切实数成立，但不是增函数，故A错； 由可得， 所以，故B正确； 由可得，即，所以函数为偶函数，图象关于y轴对称，故C正确； 若，满足，但函数是非奇非偶函数，故D错误. 故选：BC 12．（23-24高一上·湖北黄冈·期中）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据奇函数的性质求值判断A，根据奇偶性得函数的周期，利用周期性求值判断B，根据函数单调性比较大小判断CD. 【详解】因为为奇函数，所以，即，故A错误； 因为为偶函数，所以， 则有，， 又由为奇函数，得， 即，， 所以，，， 所以，B正确； 由可知当得， 由知，当得， 所以，所以， 又，都有即， 所以在上单调递增，且，所以， 所以，所以C正确； 由及 得，， 所以， 因为在上单调递增，且，所以， 所以，即，所以D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：有关函数的奇偶性、周期性的题目，关键是要掌握抽象函数运算，还要记忆一些常用的结论.如等等，这些都是与周期性有关；如等等，这些都是与对称性有关. 13．（23-24高一上·安徽池州·期中）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．函数的图象关于对称 C． D．函数的图象关于对称 【答案】ABC 【分析】根据抽象函数的周期性、奇偶性和对称性，依次判断选项即可. 【详解】A：由函数为偶函数，得， 由，得，则， 所以函数的周期为4，由， 得，所以函数为偶函数，故A正确； B：由函数为偶函数，得， 又，所以， 故函数的图象关于点对称，故B正确； C：由知，又为偶函数，所以， 所以，得，故C正确； D：由函数为偶函数，得， 函数的图象关于直线对称，故D错误. 故选：ABC. 14．（23-24高一上·安徽六安·期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于对称 D． 【答案】BCD 【分析】根据函数的奇偶性和题设条件，推得是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，利用单调性比较大小，逐项判定即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以，即函数关于对称， 故函数不是奇函数，故选项A错误，选项C正确； 由函数关于对称知， 又因为为偶函数，所以，即函数关于对称， 则，所以，即， 所以，所以是周期为4的周期函数， 所以，又，所以， 所以，所以，故选项B正确； 对任意的，且，都有， 所以函数在上单调递增， 又，所以， 所以，故选项D正确. 故选：BCD 15．（23-24高一上·重庆·期中）已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．在区间上单调递减 C．的图像关于直线对称 D．在区间上共有个实根 【答案】BCD 【分析】首先利用赋值，确定，再根据周期函数的性质确定函数的周期，判断A；并利用周期和条件判断B；结合条件和对称性的定义，即可判断C；根据一个周期的零点个数，结合周期，即可判断D. 【详解】令，则，则， 因为函数是R上的偶函数，则， 所以，即， 那么， 所以函数的一个周期为，故A错误； 因为函数在区间上是增函数，且为偶函数，则在区间为减函数， 函数的周期为12，则函数在区间为减函数，故B正确； 因为函数满足，所以函数关于对称，故C正确； 根据以上可知，，且在区间上是增函数，为减函数， 所以函数在一个周期内有2个零点，， 即在区间有168个周期，其中包含336个零点，在区间中， 其中，所以在区间有个零点， 则在区间有个零点，故D正确. 故选：BCD 16．（23-24高一上·山东·期中）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用抽象函数的奇偶性与对称性、周期性一一判定即可. 【详解】∵为奇函数，， ∴关于对称. ∵为偶函数，， ∴关于对称， ∴ ，即的一个周期为4， 故． ∵关于对称，∴， ∴，即， 故得到关于和对称，即B、D正确. 不妨设，显然符合题意，此时， 即A、C错误. 故选：BD． 17．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数关于对称，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是（    ） A．在上为减函数 B．的最大值是1 C．的图象关于直线对称 D．在上有5个零点 【答案】BCD 【分析】根据函数的性质可推导出函数为偶函数且关于成中心对称，推导出函数的周期为， 据此可得关于，对称，判断AC，作出函数图象判断BD. 【详解】因为函数关于对称，所以由函数图象平移知关于对称，即为偶函数，因为当时，单调递减，所以函数在上为减函数错误，故A错误； 因为是奇函数，所以，即， 即函数关于成中心对称，且由可知，， 所以，即，所以周期， 据此，所以函数图象关于对称，由周期，可知函数图象也关于对称，故C正确； 由上述分析作函数图象如下， 由图象知，的最大值是1，在上有5个零点，故BD正确. 故选：BCD 18．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．图象关于直线对称 C．若的值域为，则 D． 【答案】BCD 【分析】将转化为，与联立解得，借助函数图像关于直线对称，化简得，可判断；将转化为，借助为偶函数得，可判断；借助，得关于点成中心对称，可判断；判断为偶函数，且周期为，根据，有，带入计算可判断. 【详解】对于，因为，令，所以， 因为的图像关于直线对称，所以，， 因为，所以，， 令，有，所以，得函数周期为， 所以，即，故为偶函数，故错误； 对于，因为，令，得，令，得, 因为为偶函数，得，得，所以图像关于直线对称，故正确； 对于，因为，所以关于点成中心对称， 所以存在一对最小值与最大值也关于点成中心对称，即成立，故正确； 对于，因为，令，得， 所以，，即，所以是偶函数， 因为，所以函数周期为， 因为是偶函数，所以， 所以，所以，即， 所以，故正确. 故选：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数的性质和应用，理解抽象函数，理解自变量的任意性，从而学会变形，达到判断性质的目的. 19．（23-24高一上·江西九江·期中）设为定义在整数集上的函数，，对任意的整数均有．则下列正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．关于对称 D． 【答案】ABD 【分析】先应用赋值法求出特殊值，然后判断奇偶性和对称性，再由对称性得到函数的周期，最后根据周期求出即可. 【详解】对于A：令，则， 所以，A正确； 对于B：令，则， 又因为，所以； 令取为，则， 即，所以为奇函数，B正确； 对于C：令，则， 所以关于直线对称； 因为关于直线对称且为奇函数，所以， 所以，所以不恒成立， 否则即，与矛盾, 故不关于直线对称，C错误； 对于D：由C知，所以的周期为4， 又 ，所以， 所以， 所以，D正确， 故选：ABD 三、填空题 20．（23-24高一上·广东深圳·期中）定义在上的函数满足对任意的实数都有，当时，，当时，，则 . 【答案】338 【分析】由，得到函数的周期为6，再结合当时，，当时，，求得求解. 【详解】解：因为定义在上的函数满足对任意的实数都有， 所以函数的周期为6， 又因为当时，，当时，， 所以 ， ， 所以， 所以， 故答案为：338 21．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数是R上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为 . 【答案】1 【分析】利用对称性和奇偶性可推导得到是周期为4的周期函数，并求得，，，的值，将所有的式子利用周期进行转化即可求解. 【详解】因为图像关于点对称，所以. 又因为函数是R上的偶函数， 所以，所以， 则. 故函数的周期为4. 所以，又， 所以 . 故答案为：1 22．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知奇函数的定义域为.若为偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据奇偶函数的性质推出函数的周期及，从而得解. 【详解】奇函数的定义域为，则且， 又为偶函数，所以，即， 即，所以， 即是以为周期的周期函数，则. 故答案为： 23．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用函数性质解决不等式恒等问题 【详解】因为，则，可知函数的图象关于点对称，且单调递增， 不等式，化为，所以，则． 故答案为： 24．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则 ． 【答案】48 【分析】求函数图像的对称中心，由函数的对称性求值. 【详解】函数满足，则函数的图像关于点对称， 函数，函数的图像关于原点对称，则函数的图像关于点对称， 与的图象的8个交点，也两两关于点对称， 则. 故答案为：48 25．（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知定义域为R的函数在上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】由题干分析函数是关于对称的函数，且在上单调递减，上单调递增.再通过距离对称轴的远近来比较函数值的大小即可. 【详解】由于是偶函数，则是关于对称的函数， 又因为是定义域为R，且在上单调递减， 所以函数的上单调递增.则根据增减性的特点，分析得到距离对称轴越近，函数值越大.由于 所以. 故答案为： 26．（23-24高一上·山西·期中）已知函数，若，且，则 . 【答案】 【分析】根据可得图象的对称轴为直线，从而求得，即可求解. 【详解】因为图象的对称轴为直线， 所以，则. 故答案为：. 27．（23-24高一上·四川成都·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．那么，函数图象的对称中心是 ． 【答案】 【分析】计算出，得到，求出，得到对称中心. 【详解】 ， 要想函数为奇函数，只需恒成立， 即，解得， 故图象的对称中心为 故答案为： 四、解答题 28．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知幂函数． (1)若函数在定义域上不单调，函数的图像关于对称，当时，，求函数的解析式； (2)若在R上单调递增，求函数在上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数定义得到方程，结合函数的单调性得到，从而求出的解析式； （2）先由（1）得到，，画出函数图象，数形结合得到在上的最大值在，，中取得，分，，结合函数单调性得到最值，得到答案. 【详解】（1）由题意，解得或， 当时，在R上单调递增，不合题意，舍去； 当时，在定义域上不单调，所以， 设，则，时， 因为关于对称，所以， 所以； （2）由（1）可知，在R上单调递增，满足要求， 由题意知，，作出大致图象如图：    易得，， 所以可判断在上的最大值在，，中取得． 当时，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又， ①若，则； ②若，则． 综上可知，在区间上，. 29．（23-24高一上·河北石家庄·期中）设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数. (1)证明：函数的图象关于点对称； (2)已知函数的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据对称中心的定义，证明：对任意的，都有成立，即可得结论； （2）由题意，对任意的，总存在，使得成立，则．根据函数的单调性可知，再根据函数的对称性，结合二次函数的性质，采用分类讨论即可求出函数的最大值，进而求出答案. 【详解】（1）∵，∴. ∴. 即对任意的，都有成立. ∴函数的图像关于点对称； （2）若对任意的，总存在，使得成立，则. ∵，易知在上单调递增，∴． ∵时，， ∴，即函数的图象过对称中心. 当，即时，函数在上单调递增. 由对称性知，在上单调递增，∴函数在上单调递增. ∴，∴，又，则， 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增. 由对称性，知在上单调递增，在上单调递减. ∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. ∴或. ∵，∴， 易知，即时符合条件. 当，即时，函数在上单调递减. 由对称性，知在上单调递减，∴函数在上单调递减. ∴，∴，又，则， 综上，实数的取值范围为. 30．（23-24高一上·上海·期中）已知定义在全体实数上的函数满足：①是偶函数；②不是常值函数；③对于任何实数，都有． (1)求和的值； (2)证明：对于任何实数，都有； (3)若还满足对有，求的值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取，代入计算得到，取得到，得到答案. （2）取，结合函数为偶函数得到，变换得到，得到证明. （3）根据函数的周期性和奇偶性计算，取和取，得到，根据周期性得到，计算得到答案. 【详解】（1） 取，得到，即； 取得到， 不是常值函数，故； （2）， 取得到， 是偶函数，故，即， . （3），为偶函数， 取，则，即； 取，则，即； 故， ，，， 故， 取得到， 取，得到， ，，解得， ， 31．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知奇函数满足，且当时，． (1)证明：； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据结合奇函数的性质证明即可； （2）由（1）可知函数的周期为4，利用周期将函数的自变量化简到内求解即可. 【详解】（1）证明：因为奇函数满足， 所以， 所以， 所以， 即； （2）由（1）可知4为的周期， 因为，所以， 得，所以， 所以 . 试卷第24页，共24页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$