专题23.4 中心对称（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题23.4 中心对称（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】中心对称和中心对称图形 1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 要点提示：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) . 2.中心对称图形：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 要点提示：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形. 　 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个全等图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 【知识点2】关于原点对称的点的坐标特征 关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点P（x,y）关于原点的对称点坐标为(-x,-y)，反之也成立. 题型目录： 【题型1】轴对称图形与中心对称图形识别...................................1 【题型2】由中心对称性质证明.............................................2 【题型3】由中心对称性质求值.............................................2 【题型4】坐标系中的中心对称.............................................3 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】轴对称图形与中心对称图形识别 【例1】（2024·湖南长沙·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（2024·湖南长沙·模拟预测）中国城市轨道交通持续稳步发展，线网规模和客流规模继续稳居全球第一，下列城市轨道交通标志是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A．   B．   C．   D．   【题型2】由中心对称性质证明 【例2】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，线段AC，BD相交于点O，，．线段AC上的两点E，F关于点O中心对称．求证：． 【变式】如图，与关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE． 求证：FD=BE． 【题型3】由中心对称性质求值 【例3】（2021·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于原点中心对称，且它们的顶点相距个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式】（2020·陕西·三模）如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点E在AB边上，连接CE．若点B与点O关于CE对称，则CB：AB为（　　） A． B． C． D． 【题型4】坐标系中的中心对称 【例4】（2022·贵州黔东南·中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【变式】（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，原点O为对角线的中点，轴，点B的坐标为，，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【例2】（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （    ） A． B． C． D． 2、拓展延伸 【例1】（2024·陕西西安）已知抛物线．与轴交于与点，与轴交于点，抛物线与关于原点中心对称，且的对应点为的对应点为的对应点为．     (1)求抛物线的解析式并直接写出的解析式． (2)在轴上方的抛物线上有一点，点在抛物线上的对应点为，若四边形的面积为20，请求出M的点坐标． 【例2】（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为，且与x轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点旋转，此时点A、B的对应点分别为点C、D． ①连结，当四边形为矩形时，求m的值； ②在①的条件下，若点M是直线上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23.4 中心对称（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】中心对称和中心对称图形 1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 要点提示：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) . 2.中心对称图形：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 要点提示：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形. 　 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个全等图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 【知识点2】关于原点对称的点的坐标特征 关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点P（x,y）关于原点的对称点坐标为(-x,-y)，反之也成立. 题型目录： 【题型1】轴对称图形与中心对称图形识别...................................1 【题型2】由中心对称性质证明.............................................2 【题型3】由中心对称性质求值.............................................4 【题型4】坐标系中的中心对称.............................................5 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】轴对称图形与中心对称图形识别 【例1】（2024·湖南长沙·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知定义：轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 【变式】（2024·湖南长沙·模拟预测）中国城市轨道交通持续稳步发展，线网规模和客流规模继续稳居全球第一，下列城市轨道交通标志是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义．根据定义对图形一一比较，即可选出本题答案． 解：A．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意； C．既是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图但是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 【题型2】由中心对称性质证明 【例2】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，线段AC，BD相交于点O，，．线段AC上的两点E，F关于点O中心对称．求证：． 证明：如图，连接AD，BC． ∵，， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴． ∵点E，F关于点O中心对称， ∴． 在△BOF和△DOE中， ∴， ∴． 【变式】如图，与关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE． 求证：FD=BE． 【分析】根据中心对称得出OB=OD，OA=OC，求出OF=OE，根据SAS推出△DOF≌△BOE即可． 证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，∴OB=OD，OA=OC． ∵AF=CE，∴OF=OE． ∵在△DOF和△BOE中， ， ∴△DOF≌△BOE（SAS）． ∴FD=BE． 【题型3】由中心对称性质求值 【例3】（2021·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于原点中心对称，且它们的顶点相距个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，先求出抛物线的对称轴，再根据两条抛物线的顶点相距个单位长度，则顶点到原点的距离为5，即可得到顶点的纵坐标的绝对值，然后即可求得的值． 解， 该抛物线的对称轴是直线， 有两条抛物线关于原点成中心对称，且它们的顶点相距个单位长度， 顶点到原点的距离是， 顶点的纵坐标的绝对值是：， ， 解得，，故选：C． 【点拨】本题主要考查了成中心对称的两个图形的性质、二次函数的性质，关键是求得顶点的纵坐标的绝对值． 【变式】（2020·陕西·三模）如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点E在AB边上，连接CE．若点B与点O关于CE对称，则CB：AB为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接DB，AC，OE，利用对称得出OE＝EB，进而利用全等三角形的判定和性质得出OC＝BC，进而解答即可． 解：连接DB，AC，OE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝DB，∠ABC＝90°，OC＝OA＝OB＝OD， ∵点B与点O关于CE对称， ∴OE＝EB，∠OEC＝∠BEC， 在△COE与△CBE中， ， ∴△COE≌△CBE（SAS）， ∴OC＝CB， ∴AC＝2BC， ∵∠ABC＝90°， ∴AB＝CB， 即CB：AB＝， 故选：C． 【点拨】此题考查中心对称，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，和勾股定理，利用对称得出OE=EB是解题的关键． 【题型4】坐标系中的中心对称 【例4】（2022·贵州黔东南·中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可． 解：∵， ∴抛物线的顶点为（-1，-2）， 将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2）， 旋转后的抛物线为， 再向下平移5个单位，即． ∴新抛物线的顶点（1，-3） 故答案是：（1，-3）． 【点拨】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键． 【变式】（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，原点O为对角线的中点，轴，点B的坐标为，，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标特征，平行四边形的性质，正确理解题意得到点B和点D，点A和点C关于原点对称是解题的关键． 解：∵原点O为对角线的中点， ∴点B和点D，点A和点C关于原点对称， ∵点B的坐标为， ∴点D的坐标是：， 又∵轴， ∴点A的坐标是：， ∴点C的坐标为， 故选：B． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 【例2】（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 解：∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∴，， 设正比例函数的解析式为：，把代入，得：， ∴； 故选A． 2、拓展延伸 【例1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线．与轴交于与点，与轴交于点，抛物线与关于原点中心对称，且的对应点为的对应点为的对应点为．     (1)求抛物线的解析式并直接写出的解析式． (2)在轴上方的抛物线上有一点，点在抛物线上的对应点为，若四边形的面积为20，请求出M的点坐标． 【答案】(1)抛物线L的函数表达式是，抛物线的函数表达式是： (2)或． 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式，二次函数关于原点对称的特征，四边形的面积转化为三角形的面积问题，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏． （1）先用待定系数法求抛物线的解析式，再由抛物线与关于原点中心对称，两函数图象的顶点关于原点对称，开口方向相反即可求出的解析式； （2）根据与关于原点对称可以得到，然后得出，再把代入中，求出x即可． 解：（1）将点和点代入 中， 得 解得 ，    ∴抛物线L的函数表达式是 ， ∵抛物线与关于原点中心对称， ∴抛物线的函数表达式是： （2）∴点A 的坐标是，抛物线与关于原点中心对称， , ∵如图，点与关于原点对称，设点坐标为，而且.    ， ∴解得 当时， ，解得 ， ，； 综上所述，点P的坐标是，． 【例2】（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为，且与x轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点旋转，此时点A、B的对应点分别为点C、D． ①连结，当四边形为矩形时，求m的值； ②在①的条件下，若点M是直线上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（或）(2)①，②存在符合条件的点Q，其坐标为或或 【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为，再把代入即可得出答案； （2）①过点作轴于点E，根据，又因为，证明出，从而得出，将，，代入即可求出m的值； ②根据上问可以得到，点M的横坐标为4，，要让以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，所以分为三种情况讨论：1）当以为边时，存在平行四边形为；2）当以为边时，存在平行四边形为；3）当以为对角线时，存在平行四边形为；即可得出答案． 解（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为， ∴设二次函数的表达式为， 又∵，∴， 解得：， ∴（或）； （2）①∵点P在x轴正半轴上， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴， 过点作轴于点E， ∴，， 在中，， 当四边形为矩形时，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 解得； ②由题可得点与点C关于点成中心对称， ∴， ∵点M在直线上， ∴点M的横坐标为4， 存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形， （1）、当以为边时，平行四边形为， 点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同， ∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同， ∴代入， 解得：， ∴， （2）、当以为边时，平行四边形为， 点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同， ∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同， ∴代入， 解得：， ∴， 3）、当以为对角线时， 点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同， ∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同， ∴代入， 得：， ∴， 综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为或或． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，中心对称，平行四边形的存在性问题，矩形的性质，熟练掌握以上性质并作出辅助线是本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$