8.2 第1课时 几个函数模型的比较（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

　函数与数学模型 第1课时　几个函数模型的比较 学业标准 素养目标 1．通过一次函数、指数函数和对数函数增长的比较，了解一次函数、指数函数和对数函数增长的差异． 2．理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的含义． 1．通过三种函数增长的比较，培养直观想象、数据分析等核心素养． 2．通过解决实际问题，提升数学建模、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学　一次函数、指数函数、对数函数增长的比较 下图是同一直角坐标系中，三个函数y＝2x，y＝2x，y＝log2x的图象． 　如图，当log2x＜2x＜2x时，x的范围是什么？ 提示：1＜x＜2. 　如图，当log2x＜2x＜2x时x的范围是什么？ 提示：0＜x＜1或x＞2. 　从三种函数图象的比较，当自变量x越来越大时，它们的增长速度怎样？ 提示：y＝2x快速增长，呈爆炸性增长，而y＝2x增长速度不变，呈直线增长，而y＝log2x的增长速度越来越慢． ◎结论形成 三种函数的性质及增长速度比较 指数函数 对数函数 一元一次函数 解析式 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 单调性 在(0，＋∞)上单调递增 图象(随x 的增大) 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 直线逐渐上升 增长速度 (随x的增大) y的增长速度越来越快 y的增长速度越来越慢 y值逐渐增加 增长关系 存在一个x0，当x>x0时，ax>kx>logax [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝kx＋8(k≠0)在R上是增函数．(　　) (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为.(　　) (3)函数y＝·2x－10随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快．(　　) (4)下列函数中随x的增长而增长最快的是①.(　　) ①y＝ex　②y＝ln x　③y＝2x 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．能使不等式log2x＜x2＜2x一定成立的x的取值区间是(　　) A．(0，＋∞)　　　　　 B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(4，＋∞) 答案　D 3．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为____________． 解析　由 得 所以y＝－2×0.5x＋2， 所以3月份产量为 y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件). 答案　1.75万件 4．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是____________． ①y＝10×1.05x；②y＝200＋1 000x； ③y＝30＋lg (x－1)；④y＝50. 答案　① 题型一　几类函数模型的增长差异 　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　) A．y＝1.1x　　　　　　 B．y＝2 020x2 C．y＝log2 020x D．y＝2 020x (2)四个自变量y1，y2，y3，y4随自变量x变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是____________． [解析]　(1)比较一次函数、指数函数与对数函数、二次函数可知，指数函数增长速度最快． (2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化． [答案]　(1)A　(2)y2 [规律方法]　常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增长，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． [触类旁通]　 1．当x∈(1，e)时，试探究三个函数y＝3x，y＝ln x，y＝x的增长差异，用“＞”把它们的大小关系连接起来为____________． 解析　当x∈(1，e)时，3x＞3＞x＞＞1＞ln x， 故3x＞x＞ln x. 答案　3x＞x＞ln x 题型二　函数模型的增长差异在图象上的体现 　生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应____________；B对应____________；C对应____________；D对应____________． [解析]　A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应． [答案]　(4)　(1)　(3)　(2) [规律方法]　函数模型的增长速度与图象关系 函数模型 y＝max (m＞0，a＞1) y＝kx＋b (k＞0) y＝nlogax (a＞1，n＞0) 增长速度 越来越快 不变 越来越慢 图象趋势 [触类旁通]　 2．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示． 以下四种说法： ①前三年产量增长的速度越来越快 ②前三年产量增长的速度越来越慢 ③第三年后这种产品停止生产 ④第三年后产量保持不变 其中说法正确的序号是____________． 解析　由t∈[0，3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3，8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确． 答案　②③ 题型三　函数模型的选择题点多探 多维探究 角度1　选择函数模型 　某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　) A．一次函数　　　　　　　 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数 [解析]　对数型函数初期增长迅速，后来增长越来越慢，故选D. [答案]　D 角度2　用函数模型决策 　某公司预投资100万元，有两种投资可供选择： 甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息． 哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元) [解析]　按甲方案，每年利息100×10%＝10，5年后本息合计150万元； 按乙方案，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，……，5年后本息合计100×1.095≈153.86(万元). 故按乙方案投资5年可多得利3.86万元，乙方案投资更有利． [素养聚焦]　通过实例抽象出函数模型，并解决实际问题，提升数学建模、数学运算等核心素养． [规律方法]　根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性来确定适合题意的函数模型．根据函数模型，合理决策． [触类旁通] 3．(2024·苏州高一统考)为了研究某种微生物的生长规律，研究小组对该种微生物进行培育实验．前三天观测得到该微生物的群落单位数量分别为8，14，26.根据实验数据，用y表示第x天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：①y＝ax2＋bx＋c；②y＝p·qx＋r，其中q>0且q≠1. (1)根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式； (2)若第4天和第5天观测得到的群落单位数量分别为50和98，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500. 解析　(1)对于函数模型①：把x＝1，2，3及相应y值代入得 解得a＝3，b＝－3，c＝8，所以y＝3x2－3x＋8. 对于函数模型②：把x＝1，2，3及相应y值代入得 解得p＝3，q＝2，r＝2，所以y＝3·2x＋2. (2)对于模型①，当x＝4时，y＝44；当x＝5时，y＝68，故模型①不符合观测数据； 对于模型②，当x＝4时，y＝50；当x＝5时，y＝98，符合观测数据，所以函数模型②更合适．要使3·2x＋2>500，则x≥8，即从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500. [缜密思维提能区]　易错案例 函数模型的选择 【典例】　在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01 A．y＝2x－2 B．y＝(x2－1) C．y＝log2x D. y＝logx [解析]　由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B. [答案]　B [纠错心得]　可通过画散点图观察增长快慢，选择合适的函数模型． 知识落实 技法强化 (1)三种函数增长的差异． (2)函数模型的建立． (1)常用方法：数形结合法、数学建模法． (2)注意：若三种函数在(0，＋∞)上都是单调递增的，存在x0，当x＞x0时，ax＞xn＞logax. 学科网（北京）股份有限公司 $$