8.1 第2课时 用二分法求方程的近似解（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

第2课时　用二分法求方程的近似解 学业标准 素养目标 1．理解二分法的操作步骤与思想．(重点) 2．能够用二分法求方程的近似解．(重点) 1．通过二分法概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过求方程的近似解提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 3．通过二分法的实际应用，提升数学建模等核心素养． [教材梳理] 导学　二分法 　在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手．某次竞猜的物品为价格在800元～1 200元之间的一款手机，选手开始报价： 选手：1 000. 主持人：低了． 选手：1100. 主持人：高了． 选手：1050. 主持人：祝贺你，答对了． (1)主持人说“低了”隐含着手机价格在哪个范围内？ (2)选手每次的报价值同竞猜前手机价格所在范围有何关系？ 提示：(1)(1 000，1 200]. (2)报价值为竞猜前手机价格所在范围的中间值． 　在上述猜物品价格的实例中，竞猜的过程是否有规律可循？ 提示：竞猜过程归结为：设原价为x，则(1)给定价格区间[a，b]；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)若c＞x，则在区间(a，c)内竞猜；若c＜x，则在区间(c，b)内竞猜；(4)依次类推，直到猜出原价x. ◎结论形成 1．二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象__连续不断__且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间__一分为二__，使所得区间的两个端点__逐步逼近__零点，进而得到零点__近似值__的方法叫作二分法． 2．用二分法求方程的一个近似解的操作流程 以上操作过程中，如果存在c使得f(c)＝0，那么c就是方程f(x)＝0的一个精确解． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有函数的零点都可以用二分法来求．(　　) (2)精确度ε就是近似值．(　　) (3)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．(　　) (4)f(x)＝x2＋2x＋2的函数零点不能用二分法求解．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.438)＝0.165 f(1.406 5)＝－0.052 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为(精确到0.1)(　　) A．1.2　　　　　　　 B．1.3 C．1.4 D．1.5 解析　∵f(1.406 5)＝－0.052＜0，f(1.438)＝0.165＞0，又1.406 5和1.438精确到0.1的近似值都是1.4，∴近似根为1.4. 答案　C 3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间(　　) A．(1，1.25) B．(1.25，1.5) C．(1.5，2) D．不能确定 解析　由已知f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，∴f(1.25)·f(1.5)＜0，因此方程的根落在区间(1.25，1.5)内，故选B. 答案　B 4．在用二分法求方程f(x)＝0在[0，1]上的近似解时，经计算，f(0.625)＜0，f(0.75)＞0，f(0.687 5)＜0，即可得出方程的一个近似解为__________．(精确到0.1) 解析　由于f(0.687 5)·f(0.75)＜0且0.687 5和0.75精确到0.1的近似值都是0.7，从而方程的近似解为0.7. 答案　 0.7 题型一　二分法定义的理解 　下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) [解析]　利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点，由于选项A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B. [答案]　B [规律方法]　 利用二分法求函数零点必须满足的两个条件 (1)图象：函数图象在零点附近是连续不断的． (2)函数值：函数在该点两侧的函数值符号相反． [触类旁通]　 1. 已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) A．4，4　　　　　 B．3，4 C．5，4 D．4，3 解析　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3，故选D. 答案　D 题型二　用二分法求方程的近似解 　判断函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点．(精确到0.1) [解析]　因为f(1)＝－1＜0，f(1.5)＝0.875＞0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1，1.5]内有零点，用二分法逐步计算，列表如下： 区间 中点值 中点函数近似值 (1，1.5) 1.25 －0.30 (1.25，1.5) 1.375 0.22 (1.25，1.375) 1.3125 －0.05 (1.3125，1.375) 1.343 75 0.08 (1.3125，1.343 75) 1.328 125 0.01 由于在f(1.3125)·f(1.328 125)＜0，且1.3125和1.328 125精确到0.1的近似值都是1.3，从而函数f(x)的近似解为1.3. [规律方法]　用二分法求方程的近似解应明确两点 (1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解． (2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解． [触类旁通] 2．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067 f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 2)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060 据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度0.01)可取____________． 解析　由f(1.562 5)≈0.003＞0，f(1.556 2)≈－0.029＜0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度0.01，所以所求近似解可取1.562 5. 答案　1.562 5(答案不唯一) 题型三　二分法思想的实际应用 　现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同且合标准，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？ [解析]　先在天平左右各放4个球．有两种情况： (1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中． 取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端． ①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重； ②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”． (2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重． 从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能． ①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重； ②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻； ③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重).显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其轻还是重． [素养聚焦]　通过二分法思想的实际应用，把数学建模核心素养体现在解题中． [规律方法]　二分法解决问题就是数学逼近思想的具体体现．二分法的思想在实际生活应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用． [触类旁通]　 3. 如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测____________次． 解析　第1次取中点把焊点数减半为＝32，第2次取中点把焊点数减半为＝16，第3次取中点把焊点数减半为＝8，第4次取中点把焊点数减半为＝4，第5次取中点把焊点数减半为＝2，第6次取中点把焊点数减半为＝1，所以至多需要检测的次数是6. 答案　6 [缜密思维提能区]　易错案例 唯一零点问题 【典例】　证明方程6－3x＝2x在区间[1，2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确到0.1) [证明]　设函数f(x)＝2x＋3x－6， ∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0，又∵f(x)是增函数， ∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1，2]内有唯一的零点， 则方程6－3x＝2x在区间[1，2]内有唯一一个实数解． 设该解为x0，则x0∈[1，2]， 取x1＝1.5，∵f(1.5)≈1.33＞0， ∴f(1)f(1.5)＜0， ∴x0∈(1，1.5)； 取x2＝1.25，∵f(1.25)≈0.128＞0， ∴f(1)f(1.25)＜0，∴x0∈(1，1.25)； 取x3＝1.125，∵f(1.125)≈－0.444＜0， ∴f(1.125)f(1.25)＜0， ∴x0∈(1.125，1.25)； 取x4＝1.187 5，∵f(1.187 5)≈－0.16＜0， ∴f(1.187 5)f(1.25)＜0， ∴x0∈(1.187 5，1.25). 取x5＝1.218 75， ∵f(1.218 75)≈0.19＞0， ∴f(1.187 5)f(1.218 75)＜0， ∴x0∈(1.187 5，1.218 75). ∵1.1875和1.218 75精确到0.1的近似值都是1.2， ∴1.2可作为这个方程的实数解． [纠错心得]　证明函数在某区间存在唯一零点，存在性和唯一性都要说明． 知识落实 技法强化 (1)二分法的定义． (2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解． (3)二分法在实际生活中的应用． (1)常用方法：化归、逼近． (2)注意：二分法并不适用求所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的． [必备知识·基础巩固] 1．(多选)以下图象表示的函数有零点，能且用二分法求函数零点的是(　　) 解析　根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间(a，b)一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点． 答案　ABD 2．(多选)用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，不可作为初始区间的是(　　) A．[－1，0]　　　　　　 B．[0，1] C．[1，2] D．[2，3] 解析　f(－1)＝－＜0，f(0)＝－2＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，f(3)＝5＞0，则f(1)·f(2)＜0，即初始区间可选[1，2].A，B，D不可作为初始区间． 答案　ABD 3．已知函数f(x)在区间[0，a]中有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)在区间中有零点 B．函数f(x)在区间或中有零点 C．函数f(x)在区间中无零点 D．函数f(x)在区间或中有零点，或零点是 答案　D 4．用二分法求f(x)＝0的近似解，f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，下一个求f(m)，则m＝____________． 解析　由于f(1.5)>0，f(1.375)<0，故下一个应求f(1.4375)，故m＝1.4375. 答案　1.4375 5．下列是函数f(x)在区间[1，2]上一些点的函数值. x 1 1.25 1.375 1.406 5 1.438 f(x) －2 －0.984 －0.260 －0.052 0.165 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 f(x) 0.625 1.982 2.645 4.35 6 由此可判断：方程f(x)＝0的一个近似解为________(精确到0.1). 解析　∵f(1.438)·f(1.406 5)<0， 且1.438和1.406 5精确到0.1的近似值都为1.4， ∴f(x)＝0的一个近似解为1.4. 答案　1.4 6.如图，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子． (1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域； (2)如果要做一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少(精确到0.1 cm)? 解析　(1)盒子的体积y是以x为自变量的函数. 解析式为：y＝x(15－2x)2，x∈(0，7.5)； (2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程(15－2x)2·x＝150. 下面用二分法来求方程在(0，7.5)内的近似解． 令f(x)＝x(15－2x)2－150，由计算器可以确定f(x)分别在(0，1)和(4，5)内各有一个零点，即方程(15－2x)2·x＝150分别在区间(0，1)和(4，5)内各有一个解． 下面用二分法求方程的近似解． 取区间(0，1)的中点x1＝0.5， 计算得f(0.5)＝－52， 所以零点x0∈(0.5，1). 再取(0.5，1)的中点x2＝0.75，计算得f(0.75)≈－13.31，所以x0∈(0.75，1). 同理可得x0∈(0.75，0.875)； x0∈(0.812 5，0.875)， x0∈(0.843 75，0.875)； x0∈(0.843 73，0.859 375)； x0∈(0.843 75，0.851 562 5)； x0∈(0.843 75，0.847 656 25). 此时，0.843 75和0.847 656 25精确到0.1的近似值都是0.8， 所以方程在区间(0，1)内精确到0.1的近似解为0.8.同理可得方程在区间(4，5)内精确到0.1的近似值为4.7，所以要做成一个容积为150 cm3的无盖盒子时，截去小正方形的边长大约是0.8 cm或4.7 cm. [关键能力·综合提升] 7．若函数f(x)图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)·f(2)·f(4)＜0，则下列命题正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点 B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点 C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点 D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点 解析　f(1)·f(2)·f(4)＜0，则f(1)，f(2)，f(4)中有一个小于0，另两个大于0或三个都小于0，则有零点可能区间(0，1)，(1，2)，(0，2)，但它们都包含于(0，4)，因此选项D正确． 答案　D 8．函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为____________，函数f(x)＝ln (x＋1)－的零点所在的大致区间是(k，k＋1)k∈Z, 则k＝____________． 解析　由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0， ∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10. 因为f(1)＝ln 2－<0，f(2)＝ln 3－1>0，且函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续， 所以函数的零点所在区间为(1，2).故k＝1. 答案　x＝1或x＝10　1 9．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确到0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他取的x的4个值依次是____________． 解析　第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5). 答案　1.5，1.75，1.875，1.812 5 10．某电视台有一档娱乐节目，主持人会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间．选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？ 解析　取价格区间[500，1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750，1 000]的中点875；否则取另一个区间[500，750]的中点；若遇到小数取整数(小数位无论是几都舍去).照这样的方案游戏过程猜价如下：750，875，812，843，859，851，经过6次可以猜中价格． [核心价值·探索创新] 11．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　) A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln 解析　g(x)＝4x＋2x－2的零点，即函数y＝4x与函数y＝－2x＋2图象交点的横坐标，如图： 由图知g(x)的零点0＜x0＜， 又f(x)＝4x－1的零点为，∴选A. 答案　A 学科网（北京）股份有限公司 $$