7.3.2 第1课时 正弦函数、余弦函数（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

7．3.2　三角函数的图象与性质 第1课时　正弦函数、余弦函数 学业标准 素养目标 1．了解利用单位圆画正弦曲线的方法． 2．掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线． 3．理解和掌握正弦函数与余弦函数性质． 1．通过正弦函数、余弦函数图象画法的学习，培养数学抽象、直观想象等核心素养． 2．通过正弦函数、余弦函数图象的简单应用，提升直观想象、逻辑推理等核心素养． [教材梳理] 导学1　正弦函数的图象 　描点法作函数图象有哪几个步骤？ 提示：列表、描点、连线． 　如何用描点法画y＝sin x在[0，2π]上的图象？ 提示：列表取值→描点→连线． ◎结论形成 1．正弦曲线 正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“__波浪起伏__”的连续光滑曲线． 2．正弦函数图象的画法 (1)单位圆法 ①利用单位圆画出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象； ②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度). (2)五点法 ①画出正弦函数在[0，2π]上的图象的五个关键点__(0，0)__，，__(π，0)__，，__(2π，0)__，用光滑的曲线连接； ②将所得图象__向左、向右__平行移动(每次2π个单位长度). 导学2　余弦函数的图象 1．余弦曲线 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫作余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“__波浪起伏__”的连续光滑曲线． 2．余弦函数图象的画法 (1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向__左平移个__单位长度即可，这是由于cos x＝__sin___. (2)用“五点法”：画余弦函数y＝cos x在[0，2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为__(0，1)__，____，__(π，－1)__，____，__(2π，1)__，再用光滑的曲线连接． 导学3　正弦函数、余弦函数的性质 　观察正弦函数和余弦函数的图象，根据图象，正弦函数在上函数值的变化有什么特点？余弦函数在[0，2π]上函数值的变化有什么特点？ 提示：y＝sin x在上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1；在上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1.y＝cos x在[0，π]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1；在[π，2π]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1. ◎结论形成 正弦函数、余弦函数的图象和性质 正弦函数 余弦函数 解析式 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] 周期 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在， (k∈Z)上是单调增函数， 在，(k∈Z)上是单调减函数 在[－π＋2kπ，2kπ]，(k∈Z)上是单调递增函数， 在[2kπ，π＋2kπ]，(k∈Z)上是单调递减函数 最值 当x＝＋2kπ，(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ，(k∈Z)时，ymin＝－1 当x＝2kπ，(k∈Z)时， ymax＝1； 当x＝π＋2kπ，(k∈Z)时，ymin＝－1 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sin x的图象向右平移个单位得到函数y＝cos x的图象．(　　) (2)函数y＝cos x的图象关于x轴对称．(　　) (3)函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象与函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象的形状完全一致．(　　) (4)函数y＝m cos x＋1的值域是[1－m，1＋m].(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列图象中，y＝－sin x在[0，2π]上的图象是(　　) 解析　由y＝sin x在[0，2π]上的图象作关于x轴的对称图形，应为D项． 答案　D 3．函数f(x)＝－2sin x＋1，x∈的值域是__________． 解析　∵x∈，∴sin x∈[－1，1]， ∴f(x)＝－2sin x＋1∈[－1，3]. 答案　[－1，3] 4．函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点有____________个． 解析　如图所示： 答案　2 5．sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为____________． 解析　∵<2<3<π， y＝sin x在上是单调减函数，故sin 3<sin 2. 答案　sin 3<sin 2 题型一　“五点法”作图的应用 　利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图． [解析]　取值列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 描点连线，如图所示． [素养聚焦]　利用关键的五个点作图，把直观想象与核心素养体现在解题过程中． [规律方法]　用“五点法”画函数y＝A sin x＋b(A≠0)或y＝A cos x＋b(A≠0)在[0，2π]上的简图的步骤如下： (1)列表： x 0 π 2π sin x(或cos x) y (2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，，(π，y)，，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的． (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接． [触类旁通]　 1．画出函数y＝3＋2cos x，x∈[0，2π]的简图． 解析　列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 3＋2cos x 5 3 1 3 5 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，得函数y＝3＋2cos x，x∈[0，2π]的图象(如图所示). 题型二　求正弦、余弦函数的单调区间 　求下列函数的单调区间． (1)y＝2sin ； (2)y＝cos 2x. [解析]　(1)令z＝x－，则y＝2sin z. ∵z＝x－是单调增函数，∴y＝2sin z的单调增(减)区间即为原函数的单调增(减)区间， y＝2sin z在(k∈Z)上是单调增函数， 令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)， 即x∈(k∈Z). 故函数y＝2sin 的单调增区间为(k∈Z)， 同理可求函数y＝2sin 的单调减区间为(k∈Z). (2)由题意，令2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ，k∈Z， 故y＝cos 2x的单调增区间为(k∈Z). 令2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z， 得kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 故y＝cos 2x的单调减区间为(k∈Z). [规律方法]　用整体替换法求函数y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式． [触类旁通]　 2．函数y＝2sin ，x∈[0，2π]的单调递减区间为__________． 解析　由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 得f(x)＝2sin 的单调递增区间为k∈Z. 又x∈[0，2π]， ∴0≤x≤或≤x≤2π， 同理函数f(x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调递减区间为. ∴函数f(x)＝2sin ，x∈[0，2π]的单调递增区间为，，单调递减区间为. 答案　 题型三　正弦、余弦函数的值域或最值一题多变 　(1)若y＝a sin x＋b的最大值为3，最小值为1，则b的值为____________． (2)求函数f(x)＝2sin2x＋2sinx－，x∈的值域． (1)[解析]　当a>0时，由得 当a<0时，由得∴b＝2. [答案]　2 (2)[解析]　令t＝sin x，因为x∈， 所以t∈，则f(x)可化为 y＝2t2＋2t－＝2－1，t∈， 所以当t＝时，ymin＝1， 当t＝1时，ymax＝， 故f(x)的值域是. [母题变式]　 (变条件)对于本例(1)中的函数变为y＝a cos x＋b，x∈[0，π]，其他条件不变，求b的值． 解析　cos x∈[－1，1].当a>0时， 由得 当a<0时，由得 ∴b＝2. [规律方法]　一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种： (1)对于形如y＝a sin x(或y＝a cos x)的函数的最值要注意对a的讨论． (2)形如y＝sin (ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域). (3)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值). [触类旁通] 3．(1)(2024·上冈高级中学校联考期末)已知函数f＝sin 2x－cos x＋a，f＝0在区间上有解，则a的取值范围是____________． (2)(2024·镇江高一统考开学考试)已知函数f(x)＝a sin x＋2>0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为____________． 解析　(1)令f＝sin2x－cosx＋a＝0，则a＝cos2x＋cosx－1，令t＝cos x，则a＝t2＋t－1. ∵－<x<，∴0<cos x≤1，即0<t≤1， ∴函数y＝t2＋t－1在内是单调递增的，且y∈. ∵f＝0在区间上有解， ∴a的取值范围为. (2)因为f＝a sin x＋2>0对任意实数x恒成立，则min>0. 当a＝0时，符合题意； 当a>0时，min＝－a＋2>0⇒ 0<a<2； 当a<0时，min＝a＋2>0⇒ －2<a<0. 综上，－2<a<2.故答案为(－2，2). 答案　(1)　(2)(－2，2) [缜密思维提能区]　易错案例 函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间 【典例】　求函数y＝2sin 的单调增区间． [解析]　y＝2sin ＝－2sin ， 令z＝x－， 则y＝－2sin z. 因为z是x的一次函数且是单调增函数，所以要求y＝－2sin z的单调增区间，即求y＝sin z的单调减区间，令2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z)， ∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)， 2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， ∴函数y＝2sin 的单调增区间为 (k∈Z). [纠错心得]　先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间． 知识落实 技法强化 (1)正弦函数、余弦函数的图象． (2)“五点法”作图． (3)正(余)弦函数的性质． (1)常用方法：数形结合法、换元法． (2)注意：五点的选取；平移得余弦函数的图象． 学科网（北京）股份有限公司 $$