第5章 教考衔接3（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

一、真题展示 1.(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则(k)＝(　　) A．－21　　　　　　　 B．－22 C．－23 D．－24 2．(2023·新课标Ⅰ卷改编)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，给出以下结论①f(0)＝0；②f(1)＝0；③f(x)是偶函数．其中正确结论的序号为________． 二、真题溯源 [教科书P127] 9．设a为给定实数，函数f(x)的定义域为A. (1)若对于任意x∈A，都有f(a－x)－f(a＋x)＝0，问：此函数的图象一定具有怎样的对称性？说明理由． (2)若对于任意x∈A，都有f(a－x)＋f(a＋x)＝0，问：此函数的图象一定具有怎样的对称性？说明理由． 三、类法探究 抽象函数的单调性问题一般用单调性的定义来处理，但要运用好所给的条件，判断出函数值之间的关系．常见的思路：先在所证区间上任取x1，x2(x1＜x2)，然后利用题设条件向已知区间上转化，最后利用函数的单调性的定义解决问题． 类型一　抽象函数的单调性 　(多选)已知定义在R上的函数f(x)，满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)f(y)，则(　　) A．函数f(x)一定为非奇非偶函数 B．函数f(x)可能为奇函数又是偶函数 C．当x＞0时，f(x)＞1，则f(x)在R上单调递增 D．当x＜0时，f(x)＜1，则f(x)在R上单调递减 [解析]　对于A，B：令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)f(0)，所以f(0)＝0或f(0)＝1， 当f(0)＝0时，令y＝0，则f(x)＝f(x)f(0)＝0，则f(－x)＝0＝±f(x)， 所以此时f(x)既是奇函数又是偶函数，故A错误，B正确； 对于C：当x＞0时，f(x)＞1，则f(1)＞1，又f(1)＝f(0)f(1)，所以f(0)≠0，则f(0)＝1， 设x1＞x2，则x1－x2＞0，则f(x1－x2)＞1， 所以f(x1)＝f(x1－x2＋x2)＝f(x1－x2)f(x2)， 由于f(x＋y)＝f(x)f(y)， 取y＝－x，得f(0)＝f(x)f(－x)，所以f(x)＝＝， 则当x∈(－∞，0)时，f(－x)＞1，则f(x)＞0， 所以f(x1)＝f(x1－x2)f(x2)＞f(x2)，则f(x)在R上单调递增，故C正确； 对于D：设x1＜x2，则x1－x2＜0，则f(x1－x2)＜1， 所以f(x1)＝f(x1－x2＋x2)＝f(x1－x2)f(x2)＜f(x2)， 则f(x)在R上单调递增，故D错误；故选BC. [答案]　BC [反思感悟]　(1)若给出的是和型抽象函数(f(x＋y)＝…)，则可变形为f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x2－x1＋x1)或f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)； (2)若给出的是积型抽象函数(f(xy)＝…)，则可变形为f(x1)－f(x2)＝f－f(x2)或f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f. 类型二　抽象函数的奇偶性 　已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论错误的是(　　) A．f(0)＝2 B．f(x)为偶函数 C．f(x)为奇函数 D．f(2)＝－1 [解析]　因为∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)， 取x＝1，y＝0可得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)， 又f(1)＝1，所以f(0)＝2；A正确； 取x＝0，y＝x可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)， 因为f(0)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，C错误，B正确； 取x＝1，y＝1可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，又f(1)＝1，f(0)＝2； 所以f(2)＝－1，D正确；故选C. [答案]　C [反思感悟]　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 类型三　抽象函数的对称性 　已知y＝f(x－1)＋1是奇函数，则下列等式成立的是(　　) A．f(x－1)＋f(－x－1)＝－2 B．f(x－1)＋f(－x－1)＝2 C．f(x＋1)＝f(x－1) D．f(x＋1)＝f(－x－1) [解析]　y＝f(x－1)＋1是奇函数，则有f(x－1)＋1＝－[f(－x－1)＋1]，即f(x－1)＋f(－x－1)＝－2，故选项A正确；选项B错误； 把函数y＝f(x－1)＋1的图象向左平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，可以得到函数y＝f(x)的图象， 则由函数y＝f(x－1)＋1有对称中心(0，0)，可知函数y＝f(x)有对称中心(－1，－1). 选项C：由f(x＋1)＝f(x－1)，可得函数y＝f(x)的周期为2，判断错误； 选项D：由f(x＋1)＝f(－x－1)，可得函数y＝f(x)有对称轴x＝0，判断错误，故选A. [答案]　A [反思感悟]　对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称． (3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称． 学科网（北京）股份有限公司 $$