4.2 第1课时 对数的概念（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

　对数 第1课时　对数的概念 学业标准 素养目标 1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质． 2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质求值． 1．通过对数概念的学习，发展数学抽象等核心素养． 2．通过求简单的对数值，提升数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　对数的概念 　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，以此类推，那么1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数N是多少？ 上述问题中，如果已知细胞分裂后的个数N，能求出分裂次数x吗？ 提示：N＝2x；能，x＝log2N. ◎结论形成 (1)指数式与对数式的互化及有关概念 (2)底数a的范围是__a＞0且a≠1__． (3)常用对数与自然对数 导学2　对数的性质及对数恒等式 　是不是所有的实数都有对数？为什么？ 提示：零和负数没有对数，因为ax＝N(a>0且a≠1)中无论x取什么值，N总大于0，故零和负数无对数． 　根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1及logaa的值吗？ 提示：设loga1＝x，则ax＝1＝a0，故x＝0，即loga1＝0，同理logaa＝1. 　根据对数的定义，你能推出对数恒等式alogaN＝N吗？ 提示：因为ax＝N⇔x＝logaN，所以alogaN＝N. ◎结论形成 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数log39和log93的意义一样．(　　) (2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　) (3)对数运算的实质是求幂指数．(　　) (4)若ln N＝2，则N＝2e.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．求下列各式的值： (1)log636＝____________． (2)ln e3＝____________． (3)log50.2＝____________． 解析　(1)设log636＝x，则6x＝36＝62，∴x＝2， ∴log636＝2. (2)ln e3＝x，则ex＝e3，∴x＝3，∴ln e3＝3. (3)log50.2＝x，则5x＝0.2＝5－1， ∴x＝－1，∴log55－1＝－1. 答案　(1)2　(2)3　(3)－1 3．若log3＝1，则m＝____________． 解析　因为log3＝1， 所以＝3，解得m＝4. 答案　4 4．41＋log42的值为____________． 解析　41＋log42＝4×4log42＝4×2＝8. 答案　8 题型一　对数的概念 　(1)若N＝a5(a＞0，a≠1)，则有(　　) A．loga5＝N　　　　　　 B．logaN＝5 C．logN5＝a D．logNa＝5 (2)若对数式log(x－1)(2x－3)有意义，则x的取值范围是(　　) A．≤x＜2 B．＜x＜2 C．＜x＜2或x＞2 D．2≤x≤3 (3)(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是(　　) A．e0＝1与ln 1＝0 B．8＝与log8 ＝－ C．log3 9＝2与9＝3 D．log7 7＝1与71＝7 [解析]　(1)由N＝a5化为对数式为logaN＝5. (2)x应满足 所以x＞且x≠2， 即＜x＜2或x＞2. [答案]　(1)B　(2)C　(3)ABD [规律方法]　(1)logaN＝b与ab＝N(a＞0，且a≠1)是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系．如下图： (2)根据这个关系式可以将指数式与对数式互化：将指数式化为对数式，只需将幂作为真数，指数作为对数，底数不变；而将对数式化为指数式，只需将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变． [触类旁通]　 1．将下列指数式与对数式进行互化． (1)5＝；(2)log4＝4； (3)lg 0.001＝－3. 解析　(1)由5＝，可得log5＝－. (2)由log4＝4，可得()4＝4. (3)由lg 0.001＝－3，可得10－3＝0.001. 题型二　利用指数式与对数式的关系求值 　求下列各式中x的值． (1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2； (3)log＝x；(4)logx27＝； (5)lg 0.01＝x. [解析]　(1)∵4x＝5·3x，∴＝5， ∴＝5，∴x＝log5. (2)∵log7(x＋2)＝2，∴x＋2＝72＝49，∴x＝47. (3)∵log＝x，∴＝， ∴＝，∴x＝－2. (4)∵logx27＝，∴x＝27，∴x＝27＝32＝9. (5)∵lg 0.01＝x，∴10x＝0.01＝10－2，∴x＝－2. [解题策略] 利用指数与对数的互化求变量值的策略 (1)若已知的式子为指数式，则直接利用指数运算求值． (2)若已知式子为对数式，则先把对数式化为指数式，再求值． [触类旁通]　 2．(1)计算log9 27，log 81的值． (2)求下列各式中x的值： ①log27 x＝－；②logx 16＝－4. 解析　(1)设x＝log9 27，则9x＝27，32x＝33， ∴2x＝3，x＝. 设x＝log 81，则()x＝81，3＝34， ∴＝4，x＝16. (2)①∵log27 x＝－， ∴x＝27－＝(33)－＝3－1＝. ②∵logx 16＝－4，∴x－4＝16，则x4＝＝，又x>0，且x≠1，∴x＝. 题型三　利用对数性质和对数恒等式求值一题多变 　求下列各式中x的值． (1)log2(lg x)＝1； (3)已知log5(log3(log2a))＝0，计算的值． [解析]　(1)∵log2(lg x)＝1，∴lg x＝2， ∴x＝102＝100. [母题变式]　 1．(变结论)本例(3)条件不变，试求a1＋loga36的值． 解析　由例3(3)条件可知a＝8， 答案　288 2．(变条件、变结论)将例3(3)改为已知loga＝3，试求36log36a的值． 解析　因为loga＝3，所以a＝＝， 所以原式＝a＝. 答案　 [素养聚焦]　通过利用对数性质和对数恒等式求值，把逻辑推理、数学运算核心素养体现在解题过程中． [规律方法]　(1)在对数的运算中，常用对数的基本性质：①负数和零没有对数，②loga1＝0(a>0，a≠1)，③logaa＝1(a>0，a≠1)进行对数的化简与求值． (2)对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时，应充分考虑对数恒等式的应用．对数恒等式alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)的结构形式：①指数中含有对数式；②它们是同底的；③其值为对数的真数． [触类旁通] 3．__________． (2)已知m＝lg 2，10n＝3，计算104m－3n的值． 答案　 (2)解析　由10n＝3得：n＝lg 3，而m＝lg 2， 所以，104m－3n＝104lg 2－3lg 3＝10lg 16－lg 27＝10lg 16÷10lg 27＝. [缜密思维提能区]　规范答题 利用对数性质求值 【典例】　(13分)已知log(x＋3)(x2＋3x)＝1，求实数x的值. [规范解答]　 由对数的性质知 (10分) 解得x＝1.故实数x的值为1.(13分) [纠错心得]　(1)在对数表达式x＝logaN中，需满足底数a＞0，且a≠1，真数N＞0. (2)在利用对数式的性质求出a的值后，务必验证底数和真数是否满足对数式的意义． 知识落实 技法强化 (1)对数的概念，自然对数、常用对数． (2)指数式与对数式的互化，及对数的性质． (1)常用方法：转化法． (2)易错点：忽视对数式中底数与真数的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$